Appunti esame Matematica Generale (solo primo parziale), prof. Nardini, libro consigliato "Matematica generale" - Simon, Blume

MATEMATICA GENERALE

PRIMO PARZIALE (gli argomenti sottolineati sono quelli che

dovrebbero essere oggetto d'esame; il professore fa tenere gli

appunti durante l'esame)

MODELLO INPUT-OUTPUT DI LEONTIEF



b quantità di bene i necessaria per produrre unità di bene j

i,j 

1000l 100kwh 1l 1kwh

L 0,1 = b 2 = b

1,1 1,2

Kwh 0,2 = b 0,1 = b

2,1 2,2



X quantità di bene 1 da produrre

1 

X quantità di bene 2 da produrre

2

⎧x = 1000 + 0,1x + 2x

1 1 2

⎩x = 100 + 0,2x + 0,1x

2 1 2  

Risolto otteniamo: x = 2682,9 per 1000l e x = 707,3 per 100kwh

1 2

1 equazione e 1 incognita:

≠ ≠



ax = b se a 0 allora x = b/a, se a = o e b 0 allora nessuna soluzione, se a = 0

e b = 0 allora infinite soluzioni

2 equazioni e 2 incognite:

⎧a x + a x = b

1,1 1 1,2 2 1

⎩a x + a x = b

2,1 1 2,2 2 2

≠

se a = 0 e a b

2,1 2,2 2

⎧a x + a x = b

1,1 1 1,2 2 1

⎩a x = b

2,2 2 2

⎧a x + a × (b /a ) = b

1,1 1 1,2 2 2,2 1

⎩x = b /a

2 2 2,2 ⎢ 

A =⎢a a matrice con coefficienti delle incognite

1,1 1,2

⎢a ⎢

a

2,1 2,2

⎢ 

B =⎢b colonna dei termini noti

1

⎢b ⎢

2

In generale un sistema di 2 equazioni e 2 incognite è determinato se si conosce la

matrice dei coefficienti delle incognite e la colonna dei termini noti

ESEMPIO

⎧x + 2x = 3

1 2

⎩3x - x = -2

1 2 ⎢

A =⎢1 2

⎢3 -1⎢

⎢

B =⎢ 3

⎢-2 ⎢

Risolvendo otteniamo: x = -1/7 e x = 11/7

1 2

SISTEMA DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE X , X , X

1 2 n

⎧a x + a x + ... + a x = b

1,1 1 1,2 2 1,n n 1

⎢a x + a x + ... + a x = b

2,1 1 2,2 2 2,n n 2

⎢...

⎩a x + a x + ...+ a x = b

m,1 1 m,2 2 m,n n m

⍷ 

a R coefficienti delle incognite

i,j



b termini noti

j

Due sistemi sono equivalenti se tutte e sole le soluzioni del primo sono tutte e sole le

soluzioni del secondo

⎢a ⎢b ⎢ 

a ... a matrice completa o aumentata

1,1 1,2 1,n 1

⎢a ⎢b ⎢

a ... a

2,1 2,2 2,n 2

⎢ ⎢... ⎢

...

⎢a ⎢b ⎢

a ... a

m,1 m,2 m,n m

La matrice dei coefficienti delle incognite si dice triangolare superiore se a = 0 per

i,j

i>j

Tutti i termini sotto la diagonale principale sono numeri nulli



TEOREMA A matrice m×n quadrata triangolare superiore, con a = 0 e j =

i,i

1,2,...,n; allora il sistema ha una e una sola soluzione ⎢1 ⎢0⎢

A =⎢ 1 -2 1⎢ A =⎢ 1 -2 1⎢ B =⎢0⎢ A = -2 1⎢ B =

⎢0 ⎢0 ⎢1⎢ ⎢0 ⎢1⎢

1 2⎢ 0 2⎢ 0 2⎢

⎢0 ⎢0 ⎢1⎢ ⎢0 ⎢2⎢

0 4⎢ 0 4⎢ 0 4⎢

(matrice triangolare nessuna soluzione infinite soluzioni

superiore)

1 soluzione

 

n>m ci sono più incognite che equazioni, la matrice A ha forma di scala una

≠

matrice è a scala se e solo se è triangolare superiore e a 0 e j = 1,2,...,n

i,i

⎢

A =⎢0 0 p ............. a

1 n

⎢0 ⎢

0 0 p ... a

2 2n 

p si dicono pivot della matrice con j = 1,...,m le incognite che non hanno come

j

coefficiente un pivot si chiamano incognite libere

ESEMPIO

⎧2x + 3x + 4x = 1

1 2 3

⎩x - x = 0

2 3

⎧2x + 3x + 4x = 1

1 2 3

⎩x = x

2 3

⎧2x + 3x = 1 - 4x

1 2 3

⎩x = x

2 3

⎧2x + 3x = 1 - 4h

1 2

⎩x = h

2

⎧x = h

2

⎩2x = 1 - 4h - 3h = 1 - 7h

1

⎧x = (1-7h)/2

1

⎢x = h

2

⎩x = h

3

Se la matrice di un sistema lineare m×n con m<n è a scala, allora portando al

membro destro tutte le incognite che non hanno come coefficiente un pivot, ottengo

un sistema m×n con un'unica soluzione

OPERAZIONI ELEMENTARI SULLE RIGHE DEL SISTEMA

Per trasformare un sistema generico in uno a scala:

1. se in un sistema scambio 2 righe, ottengo un sistema equivalente

2. se in un sistema moltiplico entrambi i membri di un'equazione per una costante k

≠ 0, ottengo un sistema equivalente

3. se in un sistema sostituisco un'equazione con la somma di questa con un'altra,

ottengo un sistema equivalente

METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS

⎢ ⎢ ⎢

a a a b

1,1 1,2 1,3 1

⎢a ⎢b ⎢

-(a /a ×a a -(a /a ×a a -(a /a ×a -(a /a ×b

2,1 2,1 1,1) 1,1 2,2 2,1 1,1) 1,2 2,3 2,1 1,1) 1,3 2 2,1 1,1) 1

⎢a ⎢b ⎢

-(a /a )× a a -(a /a )×a a -(a /a )× a -(a /a )×b

3,1 3,1 1,1 1,1 3,2 3,1 1,1 1,2 3,3 3,1 1,1 1,3 3 3,1 1,1 1

⎢ ⎢ ⎢

a a a b

m1 m2 m3 m

ESEMPIO

⎧x + x + x = 1

1 2 3

⎢2x + 3x + 2x = 0

1 2 3

⎩x + 2x - x = 0

1 2 3

⎢1 ⎢1⎢

1 1

⎢2 ⎢0⎢

3 2 k = - a /a = -2

2 2,1 1,1

⎢1 2 -1⎢0⎢ k = - a /a = -1

3 3,1 1,1

⎢ ⎢ ⎢

1 1 1 1

⎢2-2×1 ⎢0-2×1⎢

3-2×1 2-2×1

⎢1-1×1 2-1×1 -1-1×1⎢0-1×1⎢

⎢1 ⎢1 ⎢

1 1

⎢0 ⎢-2⎢

1 0 -a /a = -1

3,2 2,2

⎢0 1 -2⎢-1⎢

⎢1 ⎢ ⎢

1 1 1

⎢0 ⎢ ⎢

1 0 -2

⎢0 ⎢ ⎢

1-1×1 -2-1×0 -1-1×(-2)

⎢1 ⎢1 ⎢

1 1

⎢0 ⎢-2⎢

1 0

⎢0 ⎢ ⎢

0 -2 1

⎧x + x + x = 1

1 2 3

⎢x = -2

2

⎩-2x = 1

3

⎧x = 7/2

1

⎢x = -2

2

⎩x = -1/2

3

ESEMPIO

⎧x + 3x + x = 0

1 2 3

⎢3x + 9x + 4x = 1

1 2 3

⎩2x + x + 5x = 0

1 2 3

⎢1 ⎢ ⎢

3 1 0

⎢3 ⎢ ⎢

9 4 1

⎢2 ⎢ ⎢

1 5 0

Applico Gauss e ottengo la matrice:

⎢1 ⎢

3 1 0⎢

⎢0 ⎢

0 1 1⎢

⎢0 -5 3⎢ 0⎢

Scambio quindi la seconda e la terza riga e ottengo il seguente sistema:

⎧x + 3x + x = 0

1 2 3

⎢- 5x + 3x = 0

2 3

⎩x = 1

3

⎧x = -14/5

1

⎢x = 3/5

2

⎩x = 1

3

ESEMPIO

⎧- 3x - 8x + 6x = 4

1 2 3

⎢3x + 7x - 6x = -11

1 2 3

⎩2x + 4x - 4x = -12

1 2 3

⎢-3 ⎢ ⎢

-8 6 4

⎢3 ⎢ ⎢

7 -6 -11

⎢2 ⎢ ⎢

4 -4 -12

Applico Gauss e ottengo:

⎢-3 -8 6⎢ 4⎢

⎢0 -1 0⎢-7⎢

⎢0 -4/3 0⎢ 3⎢ -a /a =-4/3

3,2 2,2

Ottengo:

⎢-3 ⎢

-8 6⎢4

⎢0 -1 0⎢-7⎢

⎢0 ⎢

0 0⎢0

⎧- 3x - 8x + 6x = 4

1 2 3

⎩- x = -7

2

⎧x = h

3

⎢x = 7

2

⎩x 

= -1/3 × (4 + 8x - 6x ) x = (-1/3) × (4 + 56 - 6h)

1 2 3 1

⎧x = (6h-60)/3 = -20+2h

1

⎢x = 7

2

⎩x = h

3

Sia A una matrice m×n, applicando il metodo di riduzione di Gauss si trasforma nella

⎢S ⎢,

matrice dove S è una matrice a scala e O è la matrice nulla

⎢O⎢ 

DEFINIZIONE il numero di pivot di S non dipende da come applico il metodo di

riduzione di Gauss e si chiama rango della matrice (rgA)



TEOREMA un sistema di m equazioni lineari in n incognite ha soluzione se e solo

se rgA = rgC, dove A è la matrice dei coefficienti e C è la matrice completa.

Se