Appunti esame Matematica Generale (solo primo parziale), prof. Nardini, libro consigliato "Matematica generale" - Simon, Blume

Proprietà dei numeri reali

NUMERI REALI = insieme dei numeri reali {⍷}

2R = (x, x): x, x ∈ R

3R = (x, x, x): x, x, x ∈ R

nR = (x, x, ..., x) con j=1,2,...,n

R = insieme dei vettori n-dimensionali

1 2 n

jn = numero di beni; x = quantità di bene j

Proprietà dell'addizione

(a+b)⍷ ⍷ ⍷n

na,b ∈ R, a ∈ R, b ∈ R, ..., a ∈ R, ..., b ∈ R, ...

a = (a, a)

b = (b, b)

a+b = (a+b, a+b+b)

1 2 n

1 2 n

1 1 2 2 n n

→ Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)

→ Proprietà commutativa: a+b=b+a

a+0=a

→ Esistenza dell'opposto: per ogni a esiste -a tale che a+(-a)=0

Proprietà della moltiplicazione

(a b)→ Proprietà associativa: (a×b)×c=a×(b×c)

→ Proprietà commutativa: a×b=b×a

a×1=a

a×(1/a)=1 con a≠0

→ Proprietà distributiva: a×(b+c)=ab+ac

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

l ∈ R, ..., a ∈ R, ..., la = (a, a) l

<pre>&times; a = (la ,la )1 2 n 1 2 n_l &times; (a+b) = la + lb_(l+m) &times; a = la + ma_(l &times; m) &times; a = l &times; (m &times; a) ,…,vCOMBINAZIONE LINEARE DI v ,v1 2 k⍷ ⍷n,…,v ,…,lv ,v R l ,l R1 2 k 1 2 n,…,v ,…,lDEFINIZIONE v ,v sono linearmente indipendenti se l v ,l v v =0,1 2 k 1 1 2 2 k k= … = lAllora l = l = 01 2 kESEMPIOv =(1,0) e v =(0,1)1 2l v + l v = l (1,0) + l (0,1) = (l ,0) + (0,l ) = (l ,l ) = (0,0)1 1 2 2 1 2 1 2 1 2quindi l = 0 e l = 01 2v =(1,1)3l v + l v + l v = (l ,0) + (0,l ) + (l ,l ) = (l + l , l + l ) = (0,0)1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 quindi l + l = 0 l = 1, l = 1 e l + l = 0 l = -11 2 1 2 3 3 32 sono linearmente indipendenti, 3 non lo sonoESEMPIOv =(1,2,-1) v =(-1,0,1) v =(-5,-2,5)1 2 3l v + l v + l v = (l -l -5l , 2l +0-2l , -l +l +5l ) = (0,0,0)1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 3Metto a sistema:⎧l -l -5l = 01 2 3⎢2l +0 -2l = 01 3⎩-l +l +5l = 01 2 3Ottengo la matrice:⎢⎢1 -1 5⎢⎢2 0 -2⎢ k =</pre>

-22⎢-1 1 5⎢ k = 13

Applico Gauss e ottengo:

⎢1 ⎢-1 5⎢0 2 8⎢

⎢0 0 0⎢

Il rg=2 se rgA=3 allora sono linearmente indipendenti, se rgA<3 allora sono linearmente dipendenti ⍷ ⍷ ⍷

n n n,…,v ,…,lDEFINIZIONE v ,v R generano R se per ogni x R esistono l ,l1 2 k 1 2 kn + … + lR ; tali che l v + l v v = x1 1 2 2 k k n,…,v ,…,v

DEFINIZIONE v ,v è una base di R se v ,v sono linearmente1 2 k 1 2 kn

indipendenti e generano R

SOTTOSPAZIO ⍷ ⍷ ⍷ ⍷n 2 V è uno sotto spazio ideale di R se v ,v V, v + v V, l R , lv V ogni1 2 1 2 1

combinazione lineare di elementi di V è ancora un elemento di V

TEOREMA ogni base di V ha lo stesso numero di elementi e questo numero si

dice dimensione di V

{x ⍷ ⍷V3 3V = R : x = 0} x x = (x ,x ,0)3 1 2

x + y = (x + y , x + y , 0) l

x = (lx ,lx ,0)1 1 2 2 1 2

v =(1,0,0) e v =(0,1,0) sono linearmente indipendenti e generano tutto V1 2

piani coordinati assi coordinati

⍵ {x ⍷ 3Asse

sottospazi di sottospazi di= R x ={x ⍷ 3 1 2V = R : x = 0}3x dimensione 2 dimensione 1x = 0}1 3⍵ {x ⍷ 3Asse sottospazi di = R x = sottospazi di{x ⍷ 3 2 1V = R : x = 0}3x dimensione 2 dimensione 1x = 0}2 3⍵ {x ⍷ 3Asse sottospazi di = R x = sottospazi di{x ⍷ 3 3 1V = R : x = 0}3x dimensione 2 dimensione 1x = 0}3 2⍷ { ⍷ }n,…,v ,…,v + … + l ,…,lv ,v R SPAN(v ,v ) = l v + l v v ; l ,l R1 2 k 1 2 k 1 1 2 2 k k 1 2 k,…,vsottospazio generato dai vettori v ,v1 2 kESEMPIOv =(0,-1,4) v =(-2,2,0)1 2 { ⍷ }SPAN(0,-1,4;-2,2,0) = l (0,-1,4) + l (-2,2,0); l ,l R1 2 1 2x ,x ,x = l (0,-1,4) + l (-2,2,0) = (-2l , -l + 2l , 4l )1 2 3 1 2 2 1 2 1⎧-2l2⎢-l + 2l1 2⎩4l1⎧l = (1/4)x1 3⎢l = (-1/2)x2 1⎩(-1/4)x - x = x 4x + 4x + x = 0 (equazione cartesiana del sottospazio)3 1 2 1 2 3⍷Se x SPAN(v ,v ), allora 4 x + 4 x + x = 01 2 1 2 3⍷ n nDEFINIZIONE V R sottospazio di R⍷ n,…,vv R1 k,…,vv sono linearmente indipendenti1 k

{v },…,v ,…,vV = SPAN(v ) è una base di V1 k 1 k

MATRICI

A =⎢a a ... a1,1 1,2 1,n⎢a ⎢a ... a2,1 2,2 2,n⎢ ⎢...⎢a ⎢a ... am,1 m,2 m,n⎢

B =⎢b b ... b1,1 1,2 1,n⎢b ⎢b ... b2,1 2,2 2,n⎢ ⎢...⎢b ⎢b ... bm,1 m,2 m,n⎢

A + B = +b a +b ... a +b1,1 1,1 1,2 1,2 1,n 1,n⎢a ⎢+b a +b ... a +b2,1 2,1 2,2 2,2 2,n 2,n⎢ ⎢...⎢a ⎢+b a +b ... a +bm,1 m,1 m,2 m,2 m,n m,n⍷ ⍷ ⍷mxn mxn mxn

…;a ;…;b ;…;a(a ) R (b ) R (a +b +b ) R1,1 m,n 1,1 m,n 1,1 1,1 m,n m,n

L'insieme delle matrici m×n è uno spazio vettoriale

Base R base canonica (1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)

1 ⎢0 ⎢0 ⎢0

0 ⎢1 ⎢0 ⎢0

0 ⎢0 ⎢1 ⎢0

0 ⎢0 ⎢0 ⎢1

base per lo spazio delle matrici 2x2

0⎢ 1⎢ 0⎢ 0

0⎢ 0⎢ 1⎢0

0⎢ 0⎢ 0⎢1

MOLTIPLICAZIONE RIGHE × COLONNE

ESEMPIO

4A =⎢ 1 -2⎢ B = -2⎢

2A × B = - 2×1 1×(-2) - 2×2 -6⎢

-1×4 ⎢0 ⎢+ 4×1 -1×(-2)

+ 4×2⎢ 10⎢4×1 ⎢6B × A = - 2×(-1) 4×(-2) - 2×4⎢ = -16⎢⎢1×1 ⎢-1 ⎢+ 2×(-1) 1×(-2) + 2×4⎢ 6_proprietà:• (A × B) × C = A × (B × C)• ≠A × B B × A• AI = A con I = matrice identità• A (B + C) = AB + ACDIVISORI DELLO ZERO ≠ PROBLEMA data A n×n, esiste B n×n A×B=I? con A 0⎢0A =⎢0 -2⎢ B = 3⎢⎢ ⎢00 0⎢ 0⎢⎢0×0 A×B = - 2×0 0×3 - 2×0⎢ non vale la legge di annullamento del prodotto⎢0×0 + 0×0 0×3 + 0×0⎢-1 ≠PROBLEMA AxA =I? con A 0⎢ ⎢A =⎢a a X =⎢x x1,1 1,2 1,1 1,2⎢a ⎢ ⎢x ⎢a x2,1 2,2 2,1 2,2 ⎢= ⎢1⎢aAX=I x +a x a x +a x 0⎢1,1 1,1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,2⎢a ⎢ ⎢0x +a x a x +a x 1⎢2,1 1,1 2,2 2,1 2,1 1,2 2,2 2,2ESEMPIOA =⎢2 0⎢⎢0 -1⎢⎢2 ⎢10 0⎢⎢0 -1⎢0 1⎢Divido tutto per i pivot:⎢1 -10⎢1/2 0⎢ =

AT = 
[0 1]
[0 -1]

A-1 = 
[1/2 0]
[0 -1]

A x A = 
[1/2 + 0   0 x 0 + 2 x 0   0 x (-1)]
[0 x (1/2) + 0 x 0   0 x 0 + (-1) x (-1)]

= 
[0]
[1]

ESEMPIO 
[1/a -10 ... 0 0 ... 0]
[a A = 
  1,1  1,1
  ...
  0]
[0 ... 0 ... 0 a ... 0]
[1 -1]

non esiste (non ha l'inversa) perché c'è uno 0 nella diagonale

MATRICI INVERTIBILI 
A
[I -1]

TEOREMA 
A matrice n x n, esiste A se e solo se rgA = n

DEFINIZIONE 
se A è una matrice n x n, diciamo che A è non singolare se rgA = n, mentre A è singolare se rgA < n

Per ottenere la matrice inversa basta applicare il metodo di Gauss-Jordan e poi dividere tutto per pivot, la matrice di destra diventa la matrice inversa e quella di sinistra la matrice identità I

-3(-4) = 141,1 1,1 1,2 1,2
4 2
ESEMPIOA =
2 1 1
4 1 0
-2 2 1
= aA + aA + aA = 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3
1 4 4
1 1 2
1 2 1
= 2 × (-1) DET. 0
+ 1 × (-1) DET. 0
+ 1 × (-1) DET. 1
= 2(-1 × 1 - 2 × 0) - 1(4 × 1 - 2 × 0) + 1(4 × 2 - 1 × (-2)) = 8
Proprietà del determinante:
1. DET.(A + B) = DET.A + DET.B
2. DET.(λ × A) = λ DET.A
3. a. Se A è una matrice n × n, B è una matrice dipendente da A scambiando due righe, DET.A = -DET.B
   b. Se la matrice A n × n ha due righe uguali, allora DET.A = 0

MATRICE TRASPOSTA (A^t)
a^t
A = a a
1,1 2,1 n,1
a a
1,2 2,2 n,2
a a
1,n 2,n n,m t

Se una matrice ha due colonne uguali, allora DET.A = DET.A^t

TRASFORMAZIONI ELEMENTARI
1. Sostituendo una riga (o colonna) con la somma di questa con un'altra riga (o colonna), il DET. non cambia
   stessa cosa se viene moltiplicata per un fattore λ
2. Se A è