Appunti Matematica

INSIEMI

Un insieme è una famiglia di oggetti di natura qualsiasi.

Dato un oggetto x questo può stare o no nel mio insieme:

se lo è x ∈ A ; se non lo è x ∉ A

L'insieme privo di elementi è ∅ ; l'insieme vuoto

SOTTOINSIEME

Data A ⊇ B si dice che B ⊂ A se ogni elemento di Bappartiene anche ad A. Quindi B è contenuto in A.

ES. A = {a; b; c; f} B = {c} ⇒ B ⊂ A

∅ è un sottoinsieme di ogni insieme.

Se B ⊂ A e A ⊂ B allora A = B, quindi si dice che A e B sonocoincidenti ⇒ A ⊆ B

INSIEMI NUMERICI

ℕ = insieme dei numeri naturali (numeri interi e positivi) = {1; 2; 3; ...}

ℤ = insieme dei numeri interi (numeri interi, positivi e negativi) = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}

ℚ = insieme dei numeri razionali = ∗ x | x = p/q ∗; p; q ∈ ℤ q ≠ 0

ℜ = insieme dei numeri reali

&complex; = insieme dei numeri complessi

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℜ ⊂ &complex;

DIAGRAMMI DI VENN

• Rappresentazione grafica degli insiemi

Si dice complementare in A di un sottoinsieme B ⊂ A, il sottoinsieme di Aformato dagli elementi che non appartengono a B.

B^c = {x ∈ A | x ∉ B}

INSIEMI

Un insieme e' una famiglia di oggetti di natura qualsiasi

Dato un oggetto x questo puo' stare o no nel mio insieme:

se lo e' x ∈ A ; se non lo e' x ∉ A

L'insieme privo di elementi e' ∅ ; l'insieme vuoto

SOTTOINSIEME

Data A e B si dice che B ⊂ A se ogni elemento di B appartiene anche ad A.

Quindi B e’ contenuto in A.

ES. A = {a; b; c; f} B = {c} → B ⊂ A

Ø e' un sottoinsieme di ogni insieme.

Se B ⊂ A e A ⊂ B allora A = B , quindi si dice che A e B sono coincidenti → A ≡ B

INSIEMI NUMERICI

• ℕ : insieme dei numeri naturali ( numeri interi e positivi) = {1; 2; 3...}
• ℤ : insieme dei numeri interi ( numeri interi, positivi e negativi) = {...-2; -1; 0; 1; 2;1}
• ℚ : insieme dei numeri razionali = {x | x = p/q → p; 9 ∈ ℤ 9+0}
• ℝ : insieme dei numeri reali
• ℂ : insieme dei numeri complessi

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

DIAGRAMMI DI VENN

• Rappresentazione grafica degli insiemi

Si dice complementare in A di un sottoinsieme B ⊂ A, il sottoinsieme di A formato dagli elementi che non appartengono a B.

B^c = {x ∈ A | x ∉ B}

OPERAZIONI TRA DUE INSIEMI

• Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

• Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A e deve ∈ B}

  Se B ⊂ A A ∩ B = B

• Differenza: A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

• Prodotto cartesiano: A x B = {(a;b) | a ∈ A e b ∈ B}

A = {3;4;5}

B = {4;5;6}

A ∪ B = {3;4;5;6}

A ∩ B = {4;5}

A \ B = {3}

B \ A = {6}

• Si dice potenza o cardinalita' di A il numero di elementi di A.

  Si indica con: card (A) o |A|

  Es. A = {3;4;5} |A| = 3

Corrispondenza Biunivoca

Ad ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A e quando la corrispondenza è assieme di A corrisponde uno e un solo elemento di B.

Corrispondenza Unicoca

Ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B.

La corrispondenza univoca da A a B si dice funzione dell'insieme A nell'insieme B e si indica with f : A → B

• ∀ x∈A corrisponde f(x) ∈ B, ossia l'immagine di x tramite f.
• Se f(A) = B (se il dominio A corrisponde al codominio B) f(x) si dice suriettiva.
• Se f(x)≠f(x¹) (se ogni elemento è B , e l'immagine di un solo x ∈ A) f(x) si dice iniettiva.

Se f(x) e sia iniettiva che suriettiva. Si dice che A e B sono in corrispondenza biunivoca.

Operazioni con gli Insiemi Numerici

• IN: - Addizione
• Risultato è un numero naturale.
• Su IN non esiste l'inverso additivo, nè l'elemento neutro della somma; ma esiste l'inverso moltiplicativo inui esiste l'elemento neutro della moltiplicazione.
• IR: - Addizione
• Su IZ l'inverso moltiplicato , l'lemento neutro della somma, della moltiplicazione e IZ l'inverso additivo.
• IQ: - Addizione
• Su Q l'inverso additivo e quello moltiplicativo l'elemento neutro della somma e quello del prodotto.

Elemento Neutro della Somma : 0

Inverso Additivo : N+(-EM)=0

Elemento Neutro della Moltiplicazione : 1

Inverso Moltiplicativo : N*(1/n)=1

• Contare vuol dire associare un elemento di un insieme A al numero 1, un altro elemento al numero 2 e così via. Quindi vuol dire mettere in corrispondenza biunivoca l'insieme A con l'insieme N.
• Se due insiemi sono in corrispondenza biunivoca, hanno la stessa cardinalità: |A| = |N|
• Ogni insieme che posso mettere in corrispondenza biunivoca con N si dice numerabile. Un insieme numerabile o finito si dice discreto.

TEOR