Appunti Matematica

INSIEMI

Un insieme è una famiglia di oggetti di natura qualsiasi. Dato un oggetto x questo può stare o no nel mio insieme: se lo è, x ∈ A; se non lo è, x ∉ A.

L'insieme privo di elementi è ∅: l'insieme vuoto

SOTTOINSIEME

Dato A e B, si dice che B ⊂ A se ogni elemento di B appartiene anche ad A. Quindi B è contenuto in A. ES. A = {a; b; c;}, B = {c;} ⟹ B ⊂ A

∅ è un sottoinsieme di ogni insieme.

Se B ⊂ A e A ⊂ B allora A = B, quindi si dice che A e B sono coincidenti ⟹ A ⊆ B

INSIEMI NUMERICI

• N = insieme dei numeri naturali (numeri interi e positivi) = {1; 2; 3...}
• Z = insieme dei numeri interi (numeri interi, positivi e negativi) = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}
• Q = insieme dei numeri razionali = {x | x = p/q → p; q ∈ ℤ, q ≠ 0}
• R = insieme dei numeri reali
• C = insieme dei numeri complessi

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

DIAGRAMMI DI VEN

Rappresentazione grafica degli insiemi

Si dice complementare in A di un sottoinsieme B ⊂ A, il sottoinsieme di A formato dagli elementi che non appartengono a B.

B^c = {x ∈ A | x ∉ B}_{}

Operazioni tra due insiemi

• Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A e deve x ∈ B}
• Differenza: A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
• Prodotto cartesiano: A × B = {(a;b) | a ∈ A e b ∈ B}

A = {3;4;5} B = {4;5;6} A ∪ B = {3;4;5;6} A ∩ B = {4;5} A \ B = {3} B \ A = {6}

• Si dice potenza o cardinalità di A il numero di elementi di A.

Si indica con: card (A) o |A| Es. A = {3;4;5} |A| = 3

Massimi e Minimi

Sia A ⊂ R. A ≠ Ø si dice che M &element; A è il massimo di A se a ≤ M ∀a &element; A e si dice che m &element; A è il minimo di A se a ≥ m ∀a &element; A.

Definizione

Si dice che M &element; R è un maggiorante di A (→)

Si dice che m &element; R è un minorante di A (→)

A ⊂ R si dice limitato superiormente se ha un maggiorante.

A ⊂ R si dice limitato inferiormente se ha un minorante.

A ⊂ R si dice limitato se ha un maggiorante e un minorante.

Definizione

• Il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore e si indica con sup(A)
• Il più grande dei minoranti si chiama estremo inferiore e si indica con inf(A)

Se A ha massimo allora M coincide con sup(A); se A ha minimo allora m coincide con inf(A).

Funzione di Variabile Reale

f: R → R (codominio) x &element; R

y = f(x)

• La y è il valore di x dopo aver applicato la regola della funzione.
• La variabile x si dice variabile indipendente.
• La variabile y si dice variabile dipendente.

* D ⊆ R, il dominio della funzione, è l'insieme degli x &element; R tali che f(x) è definita e i suoi corrispondenti sono reali e finiti.

• Una funzione è suriettiva se f(D) ≡ R (codominio)

• Una funzione è iniettiva se ∀ x ≠ x' &element; D → f(x) ≠ f(x')

Se la funzione è iniettiva posso costruire un'altra funzione: la funzione inversa in cui la y sarà la variabile indipendente e la x quella dipendente, considerando che ∀ y &element; f(D) va a corrispondere un solo x &element; al dominio.

f^-1: f(D) → D

FUNZIONI IRRAZIONALI

y = √g(x)

• se n è dispari ≡ con il dominio di g(x)
• se n è pari: {x ∈ R | g(x) ≥ 0}

SUCCESSIONI

f: ℕ → ℝ

f(n) = a_n

Esempio:

a_n = 1/n

a_n = (-1)ⁿ

• se n è pari è uguale a 1
• se n è dispari è uguale a -1

a_n = n! : n(n-1) ... 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

SUCCESSIONE DI FIBONACCI

a_n = a_n-2 + a_n-1

ESEMPIO

DATI

• a₀ = 0
• a₁ = 1
• a₂ = a_2-2 + a_2-1 = a₀ + a₁ = 0 + 1 = 1
• a₃ = a_3-2 + a_3-1 = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2
• a₄ = a_4-2 + a_4-1 = a₂ + a₃ = 1 + 2 = 3

ESISTONO 3 TIPI DI SUCCESSIONI

1. SUCCESSIONI CONVERGENTI: I cui termini si avvicinano ad un determinato valore
2. SUCCESSIONI DIVERGENTI: I cui termini crescono o decrescono illimitatamente
3. SUCCESSIONI INDETERMINATE: I cui termini non fanno un andamento preciso, ma oscillano sulla retta reale.

SERIE GEOMETRICA

\( q_n = x^n \)

\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} x^n\)

(1) Se \( x = 1 \) la serie DIVERGE \( S_n \to \infty \)

(2) Se \( x \neq 1 \)

\(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \begin{cases} +\infty \text{ se } x > 1 \\ \frac{1}{1-x} \text{ se } 0 < x < 1 \\ \text{indeterminata se } x \leq -1 \end{cases}\)

ESEMPIO

\( x = \frac{1}{2} \)

\(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\)

\(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)} = 1\)

LIMITI DI FUNZIONI

\( f : D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

Sia \( D \) illimitato inferiormente e/o superiormente, bisogna calcolare il

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \begin{cases} l \quad \text{dove } l \in \mathbb{R} \\ +\infty \\ -\infty \end{cases}\)

DEFINIZIONE

1. Sia \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dove \( D \) è illimitato superiormente e \( f \) diverge positivamente, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \text{ se } \forall k \in \mathbb{R} \, \exists \, \bar{x}_k \, t.c. \, x > \bar{x}_k \, \text{ risulti } f(x) > k\).
2. Sia \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dove \( D \) è illimitato inferiormente e \( f \) diverge negativamente \(\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \text{ se } \forall k \in \mathbb{R} \, \exists \, \bar{x}_k \, t.c. \, x < \bar{x}_k \, \text{ risulta } f(x) < k\)
3. Sia \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dove \( D \) è illimitato inferiormente e \( f \) diverge negativamente, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \text{ se } \forall k \in \mathbb{R} \, \exists \, \bar{x}_k \, t.c. \, x \leq \bar{x}_k \, \text{ risulta } f(x) < k\).
4. Sia \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dove \( D \) è illimitato superiormente e f converge a \( l \), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \) se \( \forall \epsilon > 0 \, \exists \, \bar{x}_{\epsilon} \, t.c. \, \forall x > \bar{x}_{\epsilon} \, \text{ risulti } \, |f(x) - l| < \epsilon\).
5. Sia \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), dove \( D \) è illimitato inferiormente e f converge a \( l \), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = l \)

DERIVATA

Sia f: D⊂ℝ → ℝ

La derivata di f in x₀ è definita come il numero f'(x₀) pari al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento.

f(x) si dice derivabile se e solo se ed è finito il ^lim _h→0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)} / _h = f'(x₀).

Geometricamente f'(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in x₀.

Se è il limite solo da destra o da sinistra si definisce la derivata destra e sinistra.

DEFINIZIONE:

• Se limx→x0+ f(x0+h) - f(x0)/h = l1 e limx→x0- f(x0+h) - f(x0)/h = l2

1. dove l₁ ≠ l₂, f non è derivabile e in x₀ f fa un punto angoloso.
2. Se l₁ o l₂ o entrambi sono ±∞ f in x₀ fa un punto di cuspide.

TABELLA DI DERIVAZIONE

(1) f(x) = k   f'(x) = 0

(2) f(x) = x^α   f'(x) = αx^α-1 → se α = 1   f'(x) = 1

(3) f(x) = log_ax   f'(x) = 1 / x log_ae → se a ≡ e   f(x) = lnx   f'(x) = 1 / x

(4) f(x) = a^x   f'(x) = a^x log_ea

(5) f(x) = senx   f'(x) = cosx

(6) f(x) = cosx   f'(x) = -senx

(1') h(x) = f(x)^α   h'(x) = αe^xα-1f'(x)

(3') h(x) = log_af(x)   h'(x) = ^f'(x)/_f(x) log_ae

h(x) = log_ef(x)   h'(x) = ^f'(x)/_f(x)

(4') h(x) = a^f(x)   h'(x) = a^f(x) f'(x) log_ea

(5') h(x) = sen f(x)   h'(x) = f'(x) cos f(x)

(6') h(x) = cos f(x)   h'(x) = -f'(x) sen f(x)