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INSIEMI
è un aggregato di elementi accomunati da una stessa caratteristica
si identificano con lettere maiuscole (A, B, C), mentre gli elementi con lettere minuscole (a, b, c)
a → A
b → B
a ∈ A
a ∉ B
b ∈ B
b ∉ A
∅ insieme vuoto
RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI
- Elenco
- a1 ∈ A, a2 ∈ A, a3 ∈ A
- A = { a1, a2, a3 }
△ l'ordine è indifferente
- Diagramma di Eulero-Venn
- A =
- Spazio di riferimento
- Ω Omega
SOTTOINSIEMI
Dati 2 insiemi A e B, si dice che B è contenuto in A (è un sottoinsieme) quando tutti gli elementi di B sono contenuti in A e quindi ogni elemento di B è anche elemento di A
- B ⊆ A
- contenuto o uguale
- B ⊈ A
- contenuto
b∈B ⇔ b∈A equivalenti
b∈B ⇔ b∉A ancora
INSIEME DELLE PARTI [P(a^*)]
> Sono tutti i possibili sottoinsiemi che possiamo estrarre dall'insieme A generico
Es.
A = {Ø, 1, 2, 3}
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
> Per sapere quanti sottoinsiemi ci sono basta fare:
2^n° elementi
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI
UNIONE
> 2 insiemi O PIÙ [A ∪ B] unito
A ∪ B = {x ∈ A ∨ x ∈ B}
ESEMPIO A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
INTERSEZIONE
> Parte comune tra A e B. [A ∩ B] intersecato
A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}
Se nessun elemento in comune tra A e B A ∩ B = Ø disgiunti
Matrici Quadrate
n = n
- Diagonale principale - Tutti gli elementi in cui i = j (a11, a22, ...)
- Diagonale secondaria - qij , qi(n−j+1)...
Es.
A = [2 13 3] [256] [003]
- Diagonale principale
- Diagonale secondaria
- Matrice diagonale - aij = 0 se i ≠ j e aij ≠ 0 se i = j
Es.
A3x3 = [100] [020] [003]
Tutti gli elementi sono 0 tranne quelli sulla diagonale principale.
- Matrice identità - aij = 0 se i ≠ j e aij = 1 se i = j
Es.
A3 = [100] [010] [001]
Tutti gli elementi sono 0 tranne quelli sulla diagonale principale che sono 1.
- Matrice simmetrica - Rispetto alla diagonale principale se gli elementi opposti alla diagonale principale sono uguali
se aij = aji ∀i,j i ≠ j
Es.
A3 = [1 2 8] [2 1 0] [301]
Simmetrica
Proprietà dei Determinanti
→ det(A) = det(AT)
→ Se gli elementi di una riga o una colonna sono 0 → det = 0
→ Se una matrice ha due righe o 2 colonne uguali → det = 0
→ Se gli elementi di una riga/colonna sono tutti moltiplicati per α ∈ ℝ → det A × α
→ Se 2 righe/colonne hanno gli elementi proporzionali → det = 0
es[A12] = | 2 2 | | 2 2 | = 4 - 4 = 0
Matrice Inversa
→ Data una matrice A quadrata definiamo inversa, la matrice A-1 tale per cui A·A-1 = I o A-1·A = I
→ Condizioni: det ≠ 0 e qua drata
A-1 = A*det(A)= A*|A|
→ A* → Matrice aggiunta di A, è la matrice trasposta dei complementi algebrici
A* = [ aij ]
es.A = | 3 1 | | 0 2 |
det(A) = | 3 1 | | 0 2 | = 6 - 0 = 6 ≠ 0 √ e quadrata
A-1 = 1/6 | 2 -1 | | 0 3 |
a11 = 1/6 × 2 = 2/6 = 1/3 = | 1/3 -1/6 |a12 = 1/6 (4) = 0 = | 0 1/2 |
a21 = 1/6 4 = 0a22 = 1/6 × 3 = 3/6 = 1/2
A = | 2 0 | | -1 3 |A! = | 2 -1 | | 0 3 |
MATRICE DEI COEFFICIENTI
A = → MATRICE FORMATA DAI COEFFICIENTI
x'= → VETTORE DELLE INCOGNITE
b' = → VETTORE DEI TERMINI NOTI
Am×n × x'n×1 → MATRICE SENZA I TERMINI NOTI
A/b = → MATRICE COMPLETA
Am×n × x'n×1 = b'm×1
<--- RISOLUZIONE --->
Estensione Teorema di Cramer
- Cramerizzazione
- Per matrici non quadrate → ci permette di usare Cramer
- Si trova, nella matrice A, una sottomatrice Av di dimensioni pari al rango di A (con det ≠ 0).
- Dopodiché si procede nel seguente modo:
Caso A: si trascurano tutte le equazioni che non contengono nelle sottomatrice Av.
Es.
- Eliminando una riga
Applico Cramer
r(A) = r(A/b) = n
La scelta è indifferente
K = -1
{-4x + (1-1)^2 = 82x - y = -1 - 3
|A| = -42 - 1 = 4 - 4 = 0 r = 1
|A|b2| = 0811 = -8 + 8 = 0
|A|b3| = -42 - 4 = 16 - 16 = 0
r ≠ 2 → r = 1
- eliminiamo un eq perché r = 1
-4x + 2y = 8
{x = x2y = 8 + 4x
{x = xy = 4 - 2x
infinite soluzioni al variare di x
25
()=3²−1()=1−2
(())=1−2(3²−1)=1−6²+2=3−6² (())=3(1−2)²−1=3(1−4+4²)−1=12²−10+2
: ℝ→ℝ: ℝ→ℝCONCLUDO
()=²+1()=eˣ
(())=eˣ²⁺¹(())=e²ˣ+1
()=√()=3−20
solo x ℝ⁺
solo in 1 sottoclasse
: ℝ→ℝ(())=3√−20→LA sarebbe definita anchecon nº negativi, ma non possiamo considerarli
E funzione inverse
Sia : A∋x→y, BIGETTIVA invertivia se restringiamo il campo delle immagini
L’inversa di è ⁻¹, tale che:⁻¹(())=
Dal punto () cita tornare a x
Grafico:Si disegna la bigetnica, ⁻¹ è simmetrica rispetto alla bigetrice
DISEQUAZIONI I° GRADO
ES. 7x - 11 < 6x + 4
7x - 6x < 11 + 4
3x < 15
x < 15/3
x < 5
SODDISFATTA PER VALORI DI x < 5
GRAFICO
3x - 15 < 0
3x < 15
x < 5
y = 3x -15< 0 quando x < 5
9 = -15
m = 3/1
→ PARABOLA
y = xm
m ∈ ℝ (y potenza)
CASO PARTICOLARE
m = 2
f(x) = x2 → PARABOLA CON VERTICE IN (0,0)
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