Appunti Matematica Finanziaria - De Marchis

MATEMATICA FINANZIARIA

Prof. Roberto De Marchisinizio corso 29/02/2016

1. LEZIONE 29/02/2016

La matematica finanziaria è una branca della matematica dedicata allo studio dei problemi connessi alla finanza e in generale alle operazioni legate ad investimenti economici.

In passato la matematica finanziaria si interessava a operazioni comuni di credito bancario mentre ai giorni d'oggi il campo d'influenza se ne notevolmente allargato e comprende problemi relativi a determinazioni, valutazioni di fatti economici, non necessariamente legati al credito, quali la scelta degli investimenti.

nu: La matematica finanziaria serve a stabilire il valore temporale degli importi di denaro, a prescindere dalla valuta.

• Cominceremo a lavorare sulle situazioni di vita reale, che individuano gli strumenti finanziari. Ogni strumento finanziario è concepito in un certo modo tuttavia dobbiamo sempre considerare due elementi fondamentali per qualsiasi sia lo strument di valutazione: tempo e importo.
• Chiamiamo situazione finanziaria o prestazione finanziaria una coppia ordinata (x , t) che consiste nella disponibilità di una certa quantità di capitale (x) identificata al tempo (t) con t ≥ 0
  • t sempre ≥ 0 (Non esiste tempo negativo)
  • x può essere sia +x che -x
    • +x Somma ricevuta, ricavo
    • -x Somma da pagare/investimento
  • Si può generalizzare il concetto di notazione finanziaria a più di un impiego o prestazione combinata notificata e...

def: “A coppia X/E(t)” si chiama operazione finanziaria se m=2 (solo due pagamenti), l’operazione è detta semplice.

X = [X... X_m]

E(t) = [E_t1 ... E_tm]

Operazione finanziaria vista come flussi di cassa/ricavi, ovvero fra quelli di cole chiazzo zero (azzoppo d’olopo).

def: Si chiama operazione finanziaria di investimento X/E t₂ tutte le situazioni precedono tutte le entrate; t (X = -10, +10, ≤ 20, ≤ 25, + X₂)

Si chiama operazione finanziaria di finanziamento X/E t_n tutte le entrate precedono le uscite; X (X = 0, ≤ 20, +10, +100, ≤ 25, ≤ 25, − E₂,23)

NB: S’indice ordine di preferenza di ciascun soggetto economico Re:

• Crescente capitale se ando il restino per chi lo ritiene, plasmial fa impostb
• Disponibilità di capitale alcuni ha un costo (banca ci porga il prezzo per il prestito inserisco)
• Date le situazioni (X/E) e (X/E') con i volumi preferiti quello con X maggiore
• Date (X...E) e (X _tE _t) deve pagare preferito piuttosto che lontano

def: Date X/E e X^xE^t si definisce operazione somma X/E l’operazione ottenuta differendo le due operazioni iniziali sullo scadenzario escluse (eliminate) gli importi alle stesse date

X^cE = Σ -10,≤ 35, ≤ 120, ≤ 50, ≤ 30, ≤ 45, ≤ 30, ≤ 1/3

X^cE = Σ -80, ≤ 120, ≤ 90, ≤ 45, ≤ 1/3, ≤ 1/3, ≤ 2/3

X^xE = Σ -10,≤ 45, ≤ 120, ≤ 120, ≤ 95≤ 30, ≤ 1/3, ≤ 1

2^a lezione 04/03/2016

• Nelle cronache economiche e nell’abitualità politica si parla di debito pubblico, così il debito che lo Stato compie con altri soggetti privati, banche sopra citatuvrivi. Mediante un’emissione di titoli obbligazionari (obbligazioni − bond) per coprire il suo fabr bisogno.

def: Un prestito obbligazionario è un operazione di scambio monetario con un emittente o enti pubblici, si finanziando nei confronti di investitori, ossia i sottoscrittori del prestito.

def: Un titolo obbligazionario è un contratto tra due parti, si rifacendo a sottostare importi in date distinte che obbliga l’emittente, debitrice costretto a rimborsare alla data stabilita in sottoscrittore, (creditore riportando infostrumenti).

• La crisi dei debiti pubblici Europa: 2010/2011

• Crisi non è conseguenza della crisi USA mutui subprime.

• Nel polo obbligazionario obbligazioni provocano default, ossia fallimenti (es. crisi Argentina / Parmalat)

ORA “SPREAD”: DIFFERENZA DI RENDIMENTO TRA DUE TITOLI OBBLIGAZIONARI

Rendimento medio spread    differenziale titoli con cedola tipo intesa e rendimento medio titolo Bund

Es. 450 - 0,2    basis points

Fluttuazioni giornaliere spread derivano dei movimenti di rischio corrispondono

al livello di rischio

Es. tutti vendono BTP? — Riduce — rischio contenuto — titoli per venderli devono avere maggiori rendimenti

tutti comprano BTP? — Riduce? maschio — scarse rendimenti

NB. Altro strumento — positivo per chi ha titoli/negativo per chi li emette

Dollari 210: le posizioni Russia e Gallia emesso BoP e BoGG, durata

1 anno / no cedola

BoP = 95,100 3/50,1 3

BoGG = 98,100 3/50,1 3

il tasso interesse annuo

i BoP: 95=100, 1/a a = 95x95x100 → 95 1,5

^{x 5}/₉₅    5,26%

i BoGG: 98=100, 1/a a = 2/98 → 2,04

SPREAD ⇒ 5,26-2,04 = 3,22 = 322 BASIS POINTS (PUNTI BASE)

Fin ora abbiamo parlato di tasso annuo d'interesse e abbiamo visto il tasso periodale i_n in

Pi abbiamo visto il tasso nominale j_m, dove avevamo un investimento che riceve gli interessi a fine periodo lunghi intervalli di tempo di m periodi.

Non per abbiamo un andamento esponenziale e la funzione continua, proprio come gi lo pensiamo di pensare in scindibilit. Come propriet delle funzioni continume esiste un comportamento:

FORZA D'INTERESSE

In matematica finanziaria istante per istante che produce interesse prende il nome di forza d'interesse.

(Forza con cui interesse quanti montante ogni istante)

\(\delta \cdot \frac {M'(t)}{M(t)} \) rapporto di termini positivi → è sempre positiva

. REGIME CAPITALIZZAZIONE MISTA

Utili termine M₁ è saldo da una combinazione di R_S e R_I Se ho operazioni delle durata limitata ed (anni & e mesi), usi per la parte INTERA le R_I e questo favorovola il R_S. M₁ C (1 + i₁)^(t₁ · em>(1 + L{i}_i(t- t_i))

Esercizio determinare M₁ dopo 4 anni 8 mesi e 6 giorni con C 1500 i 1,9 annuo

[t₁] = 4 anni (t-_ti) \(\frac{8}{12} \cdot \frac{6}{360} = 0,68333333\)

• C 1500
• i = 0,019

M₁ = 1500 (1 + 0,019)^(4 i (t + 0,019 · 0,6833333)

M₁ = 1,634) 28817

3) Rendita Posticipata - Differita

m = t.t.o. differimento

Non serve in questo periodo non abbiamo rate R

Rendita parte da m → A₀ = R a_ni poi portiamo questo valore in 0 attualizzando

A₀ = R a_ni × (1 + i)^-m

Ed il montante su? Coincide con il montante dell'immediata

4) Rendita Anticipata - Differita

A₀ R ä_ni × (1 + i)^-m

∀ ∈ [0,25; 1]

λ ∈ 0,8215 0,9375

a: 0,90 b: 0,75

P(a): 7,0,940 5,827487209 6,494649649 -0,175375959

P(b): 2,0,952 4,987719416 6,498759549 0,453345875

f(a), f(b) < 0 OK

a(0,940) P(0,920) = 6,473626242 = 6,947419996 0,506065526

a = 0,920 P(0,920) = 5,604527876 - 0,175214222

a = 0,925 P(0,925) = 6,667484956 - 0,002125

a₂ = 0,925 b = 1

∀ ∈ [0,925 , 1]

→ 1 + 1 = 0,081

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