Matematica finanziaria prof. De marchis

MATEMATICA FINANZIARIA

Prof. Roberto De MarchisInizio corso 29/02/2016

• Lezione 29/02/2016

La MATEMATICA FINANZIARIA è una branca della matematica dedicata allo studio dei problemi connessi alla FINANZA e in generale alle operazioni legate ad INVESTIMENTI ECONOMICI.

In passato la matematica finanziaria si interessava a operazioni comuni di CREDITO BANCARIO mentre ai giorni d’oggi il campo d'influenza si è notevolmente allargato e comprende problemi relativi da determinazioni valutazioni di beni economici, non necessariamente legati al credito, quindi la scelta degli INVESTIMENTI.

NB:La MATEMATICA FINANZIARIA serve a stabilire il VALORE TEMPORALE degli importi di denaro, a prescindere dalla valuta.

• Cominceremo a lavorare sulle situazioni di vita reale, che individuiamo GLI STRUMENTI FINANZIARI.

Ogni strumento finanziario è scomposto in un certo modo tuttavia dobbiamo SEMPRE considerare due elementi fondamentali distintivi fra lo strumento di misurazione: TEMPO e IMPORTO.

Def: Chiamiamo SITUAZIONE FINANZIARIA o “PRESTAZIONE FINANZIARIA” una coppia ordinata (x, t) che consiste nella disponibilità di una certa quantità di capitale (x) identificata al tempo (t) con t ≥ 0

t ≥ 0 (non esiste tempo negativo)

x può essere sia +x che -x

• +x: Somma ricevutaRicavo
• -x: Somma da pagare/investimento

Si può generalizzare il concetto di valutazione finanziaria e modificare di un importo il potere d’acquisto mediante motivazione.

def: La coppia (X, t) si chiama operazione finanziaria ad una sola data pagamento, l’operazione è detta semplice.

X = x₁, x₂, ..., x_m

t_i : €t_i ... t_m

Operazione finanziaria vista come flusso di cassa, riceve (entra) e paga (esce).

def: Si chiama operazione finanziaria di investimento X/Y se tutte le x sono ≤ 0 e ∑ x_t ≥ 0 per t ≥ 4.3.4

def: Si chiama operazione finanziaria di finanziamento X/Y se tutte le x sono ≥ 0 e ∑ x_t ≤ 0 per t ≥ 4.3.4

NB: Indice ordine di preferenze del genericu soggetto economico ra :

• Processo capitale senso positivo per chi lo detiene, privarsi ha impatto
• Disponibilità di capitale altrui ha un costo (banca ci porta un prezzo per l’prestito - interesse)
• In tutte situazioni (x_k, t_k), (x_l, t_l) con t_k < t_k quelle con x_k < maggiore preferisci
• Date (x_k, t_k), (x_l, t_l) preferisci ricevere oggi preferisci pagare oggi

def: Date X/E e X’/t’ si definisce operazione somma X/E + l’operazione ottenuta differendo le due operazioni iniziali sullo scadenziario nel quale i componenti gli importi alle stesse date

X/E = ∑ - 10, 5; 35, 20.3 / 20, 4.21; 4,1/3

X’/t’ = ∑ - 50, 3.0 ; 20, 95/ 20, 1.2.3

→ X/E = ∑ - 10,5 - 65, 120, 95.20, 95 / 20, ½, ¼, 4/3, 2.3

2^a Lezione, 04/03/2016

• Nelle cronache economiche e n’uell’abilita politica si parla di debito pubblico, cos’è il debito de lo stato costru_b con altre soggetti privati, banche soggetti estourie di Medi_atarum e emissione di contratti obbligazionari (obbligazioni - bond) per capiere il suo rabbis sog gevo

def: Un prestito obbligazionario è un’operazione finanziaria di scambio monetario con cui un’impresa o enti pubblici si finanziano nei confronti di investitori ossia i sottoscrittori deh prestito

def: Un titolo obbligazionario è un contratto con cui due parti, si impegnano a scambiarsi importi in date distinte che obbliga l’emittente (debitore cedola) a rimborsarne alla data stabilità in sottoscrittotor (creditore oggi contrato)

La crisi dei debiti pubblici europei 2010/2011

• Non nuove crisi
• Nuove: fallimento obbligazioni (esempio: Argentina)

Ora spread: differenza di rendimento tra due titoli obbligazionari

• Lunga onda dello spread: differenza titoli con cedole Btp italiani e titoli tedeschi detti Bund
• Spread 150-200 base points

Fluttuazioni giornaliere spread derivano dai movimenti di richieste corrispondenti al livello di rischio

Es.:

• Tutti vendono Btp - riduce - rischio considerato "rischioso" - ideale per venderli: devono avere maggiori rendimenti
• Tutti comprano Btp = riduce = poco rischioso = scende rendimento

NB: altro testamento = positivo per chi ha titoli, negativo per chi li emette

Titoli 2o posizione: Russia e Galia emettono Bop e Bogc, durata 1 anno - no cedola

Bop = 95,100,3/5,0,1,3Bogc = 98,100,3/5,0,1,3

i tasso interesse annuo

i bop: 95,100,1/1+i = 95i 95i 100 = 95i5i = 5/95 5,26%

i bogc: 98,100,1/1+i = 2/98 = 2,04

Spread = 5,20-2,04 = 3,22 = 322 Basis Points (punti base)

Fino ora abbiamo parlato di tasso annuo discreto ∈ abbinato ad una riscossione ad ogni periodo f_n.

Più abbiamo visto il tasso nominale i_nom dove però intendiamo con r' il ricavo su m_n porzioni di interessi in pari periodi.

Non ora abbiamo un andamento esponenziale e la funzione non è del tipo a^c poiché ha la perenne forma di costante pendenza.

Studiato del proprio tasso continuo esiste un continuum di forza interesse.

Forza interesse

Def. In matematica finanziaria, l’istante per istante che produce interesse prende il nome di forza d’interesse.

(forza con cui interesse governa montante ogni istante)

δ = i(t)

r(t) rapporto di termini positivi → è sempre positiva

Regime capitalizzazione mista

Tale termine indica il saldo di una combinazione di RS e RIC se ho l'operazione dalla durata limitata DS (anni e 4 mesi), uso per la parte intera le RIC e questo l'azzera la RIS.

M = C (1+i)^t i(t i ^{t l})

t = anni

Esercizio: determinare M dopo 4 anni 8 mesi e 6 giorni con C=1500 i=1,9 annum

[t]: 4 anni

t-[t]: 0,666333333

i: 0,019

M = 1500 (1+0,019)⁴ (1+0,019 0,666333333)

M = 1,638 28814

3) Rendita Posticipata - Differita

Rendita parte da m → A₀ = R. a_ni poi portiamo questo valore in O e attualizziamo

A₀ - R. a_ni (1 + i)^-m

Ed il montante su? Coincide con il montante dell'immediata

4) Rendita Anticipata - Differita

A₀. R. a_ni . (1 + i)^-m

∀ ∈ [0,925, 1]

0,925       0,9345

c   0,910     0,0375

a   0,925  

b   0,9345

f(a)

• 0,910    0,925    0,940    0,9475    0,9535
• 0,925     0,37     0,49           0,57      0,54   0,6125

f(b)

• 0,932    0,952    0,962    0,968    0,9725
• 0,9345       0,945 0,9635   0,9684   0,995 0,9345      0,9335

a  0,925         b   1

F(a)   F(b)     ₀   OK

α (0,940) = -6,773754172   -6,947413999   -0,506605296

0,920       0,940         0,926

0,925   -6,678784956

- 0,0022    0

0,94   0,081