Matematica finanziaria - de marchis

NP UF

e , rispettivamente i valori attuali delle sole quote interesse e delle sole quote capitale al

τ j NP

tempo e al tasso di valutazione ; sono detti nuda proprietà ed usufrutto. Mentre ed

UF sono riferiti ad un determinato istante di valutazione, abbiamo anche un indice globale che ci

permette di pesare l’importanza del pagamento delle sole quote interessi rispetto all’ammontare da

γ

rimborsare: si chiama indice di onerosità il rapporto tra la somma di tutte le quote interessi da

n

∑ I k

pagare e il capitale prestato; cioè: .

k=1

γ = C

4.2. Ammortamento francese

È in assoluto la tipologia di ammortamento più utilizzata, la sua particolarità sta nel fatto che le rate di

R

rimborso sono costanti e posticipate. Il valore della rata costante si può facilmente ricavare dal

fatto che il debitore in questo caso si trova vincolato al pagamento di una rendita annua costante posticipata,

C

C=R a → R=

di durata uguale a quella del prestito: .

n

́ ∨i a n

́ ∨i

4.3. Ammortamento tedesco

Il piano di ammortamento di tipo tedesco si differenzia da quello di tipo francese per un particolare cruciale:

R

le rate, anche se costanti, vengono corrisposte anticipatamente. Di conseguenza la rata è legata

C

C=R a → R=

́

C

al capitale dalla seguente relazione: .

n

́ ∨i i)a

(1+ n

́ ∨i

4.4. Ammortamento italiano C

In questa forma di ammortamento le quote capitale sono tutte costanti, e valgono . Questo caso è

n

probabilmente il più semplice, poiché avendo tutte le quote capitale sono noti immediatamente tutti i debiti

residui da cui si possono ricavare facilmente le quote capitali.

4.5. Nozioni supplementari sull’ammortamento

Nell’ambito di una qualsiasi operazione di ammortamento può essere previsto un periodo di

s

preammortamento, consistente in un differimento di anni dalla data di inizio del rimborso del

s

debito. In questi anni viene rimborsata soltanto la quota interessi calcolata sull’ammontare

I

s k , s

=iC =1,…

complessivo del debito, ossia le prime quote interessi saranno , per .

k

(s +1)

Dall’ -esimo anno in poi, comincerà il vero e proprio ammortamento, pagando anche le

quote capitale, calcolate secondo le modalità prestabilite.

In alcuni casi l’ammortamento potrebbe avvenire con periodicità frazionata, in questi casi non ci sono

novità sensibili rispetto la casistica standard, l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione è l’utilizzo

dell’opportuno tasso equivalente a quello annuo.

5. Criteri di scelta in condizioni di certezza

5.1. Il criterio del risultato economico attualizzato

́

x t

́ /

Data una qualsiasi operazione finanziaria , assumendo che l’istante iniziale per semplicità sia

t j

=0 (REA)

, e scelto un tasso di valutazione , il risultato economico attualizzato

0

dell’operazione corrisponde esattamente al suo valore attuale:

m

∑ −t

́ REA VAN

REA j; x t A 0 ; x x j)

( )= ( )=

́ / ́ (1+ k . Il di un progetto, anche detto (valore

k

k=1

attuale netto), quantifica il valore attuale del guadagno che un determinato progetto permette di

realizzare. Durante l’operazione finanziaria, si creano via via delle disponibilità, ossia dei capitali intermedi,

se poi si verifica il caso in cui le condizioni del mercato permettono l’impiego di queste disponibilità al tasso

́

j x t

́ /

, si può anche ragionare in termini di montante. Data una determinata operazione finanziaria ,

́

t

j ; x

́ /¿

j

(SF )

il suo saldo finanziario è esattamente il suo montante calcolato al tasso : .

¿

SF ¿

Questi criteri di scelta tra due o più investimenti/finanziamenti ci suggeriscono, sempre soggetti

REA

all’arbitrarietà del tasso di valutazione, suggeriscono di scegliere quello il cui , a parità di tasso,

sia maggiore. Date due operazioni finanziarie, se esiste un tasso di valutazione tale che i due

REA relativi risultino uguali, questo è detto tasso di svolta, nel senso che un tasso superiore o

REA

inferiore a questo comporta un’inversione delle preferenze. Il criterio del presenta alcune

debolezze innegabili, che la stessa esistenza del tasso di svolta mette in evidenza: la forte dipendenza dal

tasso di valutazione scelto. Infatti, in condizioni di mercato soggette ad incertezza, in cui risulta parecchio

difficile avere un’informazione completa, riesce improbabile prevedere di poter impiegare capitali a un tasso

sicuro. In particolare se devo valutare nel lungo periodo.

5.2. Il tasso interno di rendimento ¿

́

x t i

́ / (TIR)

Data un’operazione finanziaria il suo tasso di rendimento è quel tasso tale che

t −t

0 k)=¿ 0

−(¿¿ ¿ ¿

x (1+i ) TIR

. Va notato che potenzialmente un’operazione può non ammettere alcun ,

k m

∑

¿ ́

REA i ; x t

( )

́ / = ¿

k=1

oppure anche ammetterlo più di uno.

5.2.1. Esistenza del tasso interno di rendimento TIR

Quando possiamo essere certi dell’esistenza del ? Fondamentalmente quando l’equazione

REA v 0 1

polinomiale del nell’incognita ammette una soluzione compresa tra e , escludendo

gli estremi dell’intervallo. Più precisamente esiste questo teorema:

́

x t x ; … ; x t … ; t

{ } { }

ϑ=́ / = /

“data l’operazione finanziaria , se valgono le seguenti ipotesi:

1 m 1 ; m

x 0

<

1. ;

1

x 0 k … ,m

> =2,

2. per ;

k

x x x

+ +…+ >0

3. ;

1 2 m TIR

ϑ

Allora possiede positivo.”

5.2.2. Il criterio del tasso interno di rendimento REA TIR

Generalmente considerato più adeguato del criterio del , il criterio del può essere riassunto

¿

I I i

TIR

come segue: dati due progetti di investimento e , rispettivamente dotati di e

1 2 1

¿ ¿ ¿

I I F F

i i >i

, è preferibile a se ; dati due progetti di finanziamento e ,

1 2 1 2

2 1 2

¿ ¿ ¿ ¿

F F

i i i

TIR <i

rispettivamente dotati di e , è preferibile a se .

1 2

1 2 1 2

5.2.3. Il tasso annuo nominale e il tasso annuo effettivo globale

tan TAEG

Rispettivamente e ; sono due tassi che si distinguono per un fatto molto importante:

TAEG

mentre nelle rate in cui è calcolato il sono effettivamente incluse tutte le spese aggiuntive

tan

del finanziamento, il va calcolato al netto di tutti questi oneri. Per questo motivo la funzione

TAEG tan

valore attuale relativa al prende valori sempre maggiori di quella relativa al , perciò vale

TAEG ≥ tan

sempre la relazione .

6. Struttura per scadenza dei tassi d’interesse

6.1. Ipotesi fondamentali del mercato finanziario

Limiteremo la nostra analisi ad un mercato semplificato con queste caratteristiche:

o Non frizionalità dei titoli: assenza di costi e gravami fiscali sulle transazioni, mancanza di

limitazioni sulle quantità minime e massime di titoli vendibili, assenza di rischi d’insolvenza,

possibilità di vendere allo scoperto.

o Competitività degli agenti: gli agenti sul mercato sono razionali, tendono a massimizzare il profitto

e sono price takers.

o Assenza di arbitraggi: gli agenti non possono effettuare operazioni finanziarie nelle quali ci siano

tutti importi positivi, o tutti non negativi con almeno uno di questi strettamente positivo.

Possiamo dare una definizione formale di arbitraggio. Dato il flusso di cassa:

́ x x 0

x t x ; … ; x t ; … ; t

{ } { } 1 ; … ; m =0 >

́ / = / { }

∀i ∈

è un arbitraggio se , o , o , e se

i i

1 m 1 m x

j 1 ; … ; m =0

{ }

∈

esiste almeno un tale che .

j

6.2. Proprietà dei zero coupon bond

t s s

>t

Chiamiamo l’istante corrente, e qualsiasi istante successivo. Se per intendiamo

t ZCB

v ; s)

(t

l’istante di scadenza di un zero coupon bond, chiamiamo il prezzo in del

s s 1

unitario che scade in , ossia che garantisce al tempo il rimborso di (unità di capitale).

Come da definizione nelle obbligazioni di questo tipo non ci sono cedole intermedie. Ovviamente questa

espressione del prezzo, in termine di fattore di attualizzazione in regime composto, è legata ad un tasso

(t −s)

i: v t ; s

( )=(1+i)

d’interesse periodale , da cui seguono alcune proprietà:

v s ; s

( )=1

o ; 0<t

0< v t ; s 1

( )< <s

o , per ; i

La struttura esponenziale dei prezzi, detto il tasso d’interesse, implica inoltre la proprietà di

ZCB

decrescenza rispetto alla scadenza, cioè il prezzo dello decresce all’allontanarsi dalla

scadenza dall’istante iniziale. ZCB s

Considerando ora un’estensione rilevante dei unitari, ossia quelli che alla scadenza

x

garantiscono il rimborso dell’ammontare , non necessariamente uguale ad uno, ed indicandone

s A ; x

t s (t )

il prezzo in , istante non successivo ad , con il simbolo . Essendo i titoli

s

ZCB

infinitamente divisibili, in un mercato in cui possono essere trattati sia i unitari che quelli non unitari,

x v ; x

ZCB s (t )

il possesso di una quantità di con scadenza in e prezzo equivale al

s

s x

ZCB

possesso di un unico il cui valore di rimborso alla scadenza è , dunque vale la

s

A t ; x v t ; s ,∀ t ≤ s

( )

( ) =x

proprietà di indipendenza dall’importo: . Queste proprietà sono legate

s s

ZCB

dall’assenza di arbitraggio. Estendendo l’idea di non unitari ad un insieme di più titoli con differenti

scadenze, possiamo comporre un portafoglio di titoli obbligazionari, e denotarli esattamente come le

operazioni finanziarie, ossia una sequenza di importi, i valori di rimborso dei titoli, e uno scadenzario, con le

date di scadenza di ciascuno di essi. Un portafoglio composto in questo modo può anche essere visto

x k

come un unico titolo obbligazionario che paghi l’importo alla -esima scadenza, e in

k

t

questo caso il prezzo di un titolo del genere in corrisponderà alla sommatoria, o combinazione

lineare dei prezzi dei singoli titoli, calcolati alla rispettiva data di scadenza e pesati con i loro

́

x t x ; … ; x t ; … ; t

{ } { }