Matematica finanziaria - de marchis

Matematica finanziaria

A cura di Lorenzo Caprio

Introduzione alle operazioni finanziarie

Situazioni finanziarie e criteri di preferenza

Chiamiamo situazione finanziaria una coppia ordinata (x, t) corrispondente alla disponibilità del capitale al tempo t ≥ 0. Il tempo ha ovviamente sempre valore positivo, mentre gli importi possono anche avere valori negativi.

Operazioni finanziarie

Possiamo generalizzare il concetto di situazione finanziaria a più di un importo e a più di una data, cambiando leggermente la notazione. La coppia di vettori (x, t) si chiama operazione finanziaria; con x = {x1, x2, ..., xm}, cioè un flusso di importi non tutti nulli, pagabili alle date dello scadenzario t = {t1, t2, ..., tm}. Se m = 2, l’operazione finanziaria è detta semplice.

In generale, l’unità di misura degli importi è l’euro e l’unità di misura delle date è l’anno. L'operazione è di investimento se tutte le uscite precedono le entrate, oppure di finanziamento se tutte le entrate precedono le uscite.

Date due operazioni finanziarie (x, t) e (x', t'), si definisce operazione somma l’operazione ottenuta ridefinendo le due operazioni iniziali sullo scadenzario unione t ∪ t' e sommando algebricamente gli importi riferiti alle stesse date.

I titoli di stato come operazioni finanziarie

Un prestito obbligazionario è un’operazione di scambio monetario con cui le aziende o istituzioni pubbliche si finanziano indebitandosi nei confronti degli investitori, ossia i sottoscrittori di tale prestito. Un titolo obbligazionario o obbligazione è un contratto in cui due parti si impegnano a scambiarsi importi di denaro in date distinte, e che obbliga l’ente emittente e debitore a rimborsare alla data stabilita il sottoscrittore e creditore.

Un zero coupon bond (ZCB) è un titolo che non prevede alcun pagamento di cedole intermedie, ma in cui gli importi di denaro scambiati sono soltanto il prezzo di emissione all’istante iniziale e il valore nominale alla scadenza (maturity). I titoli a cedole sono anche detti bullet bond (BB).

Vediamo come si può formalizzare un titolo a cedole fisse, ad esempio un BT, in forma di operazione finanziaria. Supponiamo che la cedola sia uguale a I > 0, il prezzo d’acquisto P > 0 e il valore nominale C > 0 siano rispettivamente I e P. Detto T il periodo che intercorre tra un pagamento di una cedola e il suo successivo, detto t₀ l’istante di acquisto e detto n il numero di cedole totali da incassare, l’operazione finanziaria dal punto di vista del sottoscrittore si potrà scrivere come segue:

(x; t) = {-P + I, I, ..., I, C + I; t1, t1 + T, ..., t1 + (n-1)T, t1 + nT}

Va notato che a seconda della relazione che intercorre tra P e C si ricorre a una specifica terminologia: se P = C, il titolo è emesso alla pari, se P < C il titolo è emesso sotto la pari, se P > C il titolo è emesso sopra la pari. Inoltre, I è il tasso cedolare del titolo, mentre il tasso nominale annuo corrisponde a nI, con n uguale al numero di cedole staccate in un anno.

Il rateo e la quotazione dei titoli con cedole

Quando la periodicità di un titolo con cedole non coincide esattamente con l’esigibilità delle stesse, ma è sfasata, il pagamento della cedola non avviene alla data di scadenza, ma all’interno del periodo. Vale a dire, se l’emissione avviene in t₀ e il periodo è T, la prima cedola non viene staccata in t₁ ma in un’altra data t^˜ = t + T_i con t₁ < t^˜ < t₁ + T.

In questo caso il periodo di godimento della cedola sarà sempre comunque di lunghezza T, per l’esattezza sarà compreso tra t₁ e t^˜. Si chiama rateo della cedola al tempo di acquisto il seguente importo R = I (t^˜ - t₁)/T. Il rateo dunque quantifica il vantaggio per il sottoscrittore di avere una cedola staccata in anticipo, e che quindi assume una sua importanza al momento della valutazione, ossia alla quotazione del titolo.

Quindi bisogna considerare due diverse quotazioni: il corso tel quel, che è il prezzo effettivamente da pagare per il titolo, e il corso secco, quello che appare sui listini, ed è la differenza tra corso tel quel e rateo: P_{tel quel} = P_secco + R.

Leggi finanziarie intertemporali

Capitalizzazione ed attualizzazione

Da ora in avanti indicheremo con C > 0 il capitale iniziale investito, con I > 0 l’interesse relativo all’impiego di C per tutta la durata dell’investimento; con M > 0 il montante di C alla scadenza dell’investimento. All’istante concordato come scadenza dell’investimento, il debitore dovrà versare al creditore l’importo corrispondente al montante, legato al capitale iniziale e all’interesse dalla relazione additiva: M = C + I.

Se invece volessimo esplicitare l’interesse in funzione degli altri due importi, potremmo attribuirgli il significato di sconto, espresso come differenza tra il capitale maturato in caso di investimento e quello non investito. Indichiamo lo sconto con S = M - C. Detto questo, quando ci si sposta da C a M si svolge un’operazione di capitalizzazione, mentre quando ci si sposta da M a C si svolge un’operazione di attualizzazione.

Definiamo ora la legge di formazione del montante: si chiama legge di capitalizzazione ogni funzione continua M(t; C) tale che:

• Per ogni C > 0 e t > 0, M(t; C) > C;
• Per ogni C > 0 e t, D > 0, M(t + D; C) = M(t; M(D; C));
• Per ogni C > 0, M(0; C) = C.

Data una legge di capitalizzazione M(∙), si chiama legge di attualizzazione associata ad M(∙) la funzione continua A(∙), tale che A(t; C) = C e M(t; A(t; C)) = C.

Ogni legge di attualizzazione gode delle proprietà:

• Per ogni C > 0 e t ≥ 0, A(t; C) > 0;
• Per ogni C > 0 e t₁, t₂ ≥ 0 con t₂ > t₁, A(t₂; C) > A(t₁; C);
• Per ogni C > 0, A(0; C) = C.

Regime dell’interesse semplice

L’interesse I è proporzionale sia al capitale iniziale C sia alla durata dell’impiego t, quindi I = Cit, laddove i è il tasso annuo d’interesse, annuo perché ad un anno considerando il capitale iniziale normalizzato a 1, corrisponderà esattamente all’interesse maturato. Questo è il regime di capitalizzazione semplice. Il fattore di capitalizzazione è (1 + it), e di conseguenza la legge di capitalizzazione in regime semplice prende la forma M(t; C) = C (1 + it), conseguentemente il fattore di attualizzazione è 1/(1 + it).

Regime dello sconto commerciale

Nel regime dello sconto commerciale, a differenza di quello semplice in cui il montante è una funzione lineare del tempo, qui ha invece una forma iperbolica. In questo caso lo sconto S viene computato proporzionalmente alla durata oltre che al montante M. Detto s lo sconto per unità di montante, quindi S = Mst, si ha: C = M - S = M (1 - st). Da cui la legge di capitalizzazione risulta: M(t) = C / (1 - st), per t ∈ [0, 1/s). Il dominio della funzione M(t) non è tutto il semiasse positivo ma ha come soglia 1/s.

Regime dell’interesse composto

Veniamo finalmente al regime finanziario di tipo esponenziale. Per fornire una prima spiegazione intuitiva, immaginiamo una forma di capitalizzazione in cui, istante per istante, il montante maturato gioca il ruolo di capitale iniziale e la formazione del montante prosegue continuamente. La legge di capitalizzazione in questo caso è: M(t; C) = C (1 + i)^t per t > 0.

Questa legge è scindibile, cioè il fattore di capitalizzazione si può scrivere come: 1 + i = (1 + i)^t₁(1 + i)^{t₂ - t₁}; ossia M(t₁ + t₂; C) = M(t₁; M(t₂ - t₁; C)). Vale a dire il montante al tempo t₁ + t₂ coincide con quello maturato fino a t₁, ulteriormente reinvestito fino a t₂.

Tassi d’interesse

Data la proprietà di scindibilità delle legge esponenziale, risulta particolarmente intuitiva la nozione di tasso periodale equivalente ad un determinato tasso annuo d’interesse. Il tasso d’interesse relativo ad 1/m di anno equivalente al tasso unitario annuo si indica con i_m, ed è legato ad i dalla relazione: (1 + i)^1/m = 1 + i_m. In regime di capitalizzazione ad interesse semplice, la relazione analoga è: i_m = i/m. In pratica, in regime di interesse composto, il montante di un capitale impiegato per un anno al tasso i è uguale a quello dello stesso capitale impiegato per m -esimi di anno al tasso i_m.

Tasso nominale d’interesse

Nel caso in cui un capitale sia stato investito in regime di interesse composto al tasso annuo i, ma l’interesse prodotto venga messo a disposizione dell’investitore ad intervalli regolari, m volte all’anno, possiamo scrivere la funzione montante come M(t) = C(1 + i/m)^mt, definendo in questo modo un nuovo tasso d’interesse.

In questo caso l’interesse maturato ad ogni 1/m-esimo di anno è C(i/m); se ad ogni frazione di anno l’investimento riparte, il capitale messo a frutto torna ad essere come all’inizio dell’investimento; di conseguenza il montante prodotto in un anno di investimento è: (1 + i/m)^m. La quantità i_m è detta tasso nominale annuo d’interesse, convertibile m volte nell’anno. Il tasso annuo d’interesse è legato a quello nominale dalla seguente relazione: i = (1 + i_m)^m - 1.

Nozioni complementari sulla capitalizzazione

La forza d’interesse δ è la derivata logaritmica del fattore montante: δ(t) = ln(1 + i); essendo un rapporto tra funzioni positive, anche δ deve essere positiva a sua volta. L’interesse prodotto da un capitale unitario durante un intervallo infinitesimo è δ(t).

Capitalizzazione mista

Tutte le leggi finanziarie che abbiamo visto vengono applicate nella normale pratica bancaria. In generale, per investimenti con durate maggiori di un anno, viene applicato un regime finanziario di capitalizzazione mista, una sorta di combinazione tra regime semplice e regime composto.

Per la precisione, si usa il regime composto per il numero intero di anni e quello semplice per la parte restante; quindi la formula risulta: M(t; C) = C (1 + i)^[t] (1 + i(t - [t])), dove [t] è il numero intero di anni.