Appunti di Macchine a fluido 2

MACCHINE A FLUIDO II

Lo scopo principale è quello della produzione di energia meccanica in genere per trasformarla in energia elettrica o per propulsione. I principali elementi per produrre energia meccanica sono:

1. Motori a combustione interna: rumorosi, costante manutenzione a causa della lubrificazione, raffreddamento, bassi rendimenti globali (20 - 30%).
2. Turbine: pochi problemi di distribuzione, si distinguono in:
• Turbine a vapore: producono diversi GW di potenza per rendimenti max sotto al 40%, un necessario di un costoso e ingombrante generatore di vapore.
• Turbine a gas: il rendimento aumenta all’aumentare della temperatura di ingresso e dell’aerodinamica delle pale, raggiungendo il 40%.

Le turbine a vapore si prestano meglio alla produzione di energia elettrica.

Spesso si combinano questi elementi per aumentare il rendimento è l’uso dell’impianto combinato turbogas, utilizzato per la produzione di energia elettrica e per la propulsione (turboreattore, turbo fan, turbobolica). La turbina accordata/a è realizzata per la propulsione ma spesso viene adattata per produrre energia elettrica.

GASDINAMICA

La gasdinamica è la dinamica dei flussi comprimibili, con n° di Mach > 0,3, ed in cui la variazione di densità dovuta a variazioni di velocità non è trascurabile.

Equazioni di Conservazione Generali

Consideriamo un volume di controllo R, racchiuso dalla superficie S, attraverso il quale scorre un ed è la normale alla superficie.

Definiamo una grandezza estensiva come una grandezza che dipende dal volume, mentre si dice intensiva se è indipendente dal volume.

Ora, se indico con G una qualsiasi grandezza estensiva e con Q la grandezza intensiva associata, posso scrivere la relazione generale che lega 2 grandezze al volume di controllo R:

G = ∫_Rρ Q d_τ

• Densità
• Variabili di integrazione del volume

Siano sottoscritti alla variazione di G che possono essere:

1. Produzione di G all'interno di R, possibili nel caso di reazioni chimiche → non considerata.
2. Trasporto netto di G all'interno di R attraverso S.
3. Altre cause di variazione di G (conduttività del materiale,...).

Perció possiamo scrivere :

dG/dt = - ∫_s ρ (J ᛍ^- u) da + altre cause

Equazione di Conservazione Generale di G - Trasporto netto

La quantità Q viene trasportata se il prodotto scalare tra ᛍ^- e u è diverso da zero. Quando ᛍ^- e u è positivo (ᛍ^- e u hanno stesso verso e direzione) la quantità Q sta uscendo da R e quindi si presuppone ci sia una diminuzione di G nel tempo; mentre quando ᛍ^- e u è negativo (ᛍ^- e u hanno stesso valore ma verso opposto) la quantità Q sta entrando su R e quindi ci sarà un aumento di G nel tempo. Perció si mette il segno meno.

Per un flusso comprimibile e non viscoso, dividendo per ρ, si ha :

^D/_Dt ( ^⃗J / ρ ) = - ∇p/ρ + ( ^^⃗u ⋅ ∇ ) ^⃗u + ^⃗u x ^⃗ω

(eq. di Eulero)

Posso scrivere il termine convettivo come :

^⃗u x ( ∇ x ^⃗u )

rotore di ^⃗u(è un vettore)

=

( ^∂/_∂x ^⃗u × ∇^{T ⃗}u )

∇ x ^⃗J

=

(

• _∂U₃/_∂y - _∂U₂/_∂z,
• _∂U₁/_∂z - _∂U₃/_∂x,
• _∂U₂/_∂x - _∂U₁/_∂y

∇ x ^⃗u )

≡

|

_∂/x _∂/y _∂/z

⎡ U_x U_y U_z ⎤

⎢ - - - ⎥

⎣ ⎦

=

( _∂U₃/_∂y - _∂U₂/_∂z,

_∂U₁/_∂z - _∂U₃/_∂x,

_∂U₂/_∂x - _∂U₁/_∂y )

Quindi posso scrivere l'eq.

Per un flusso incomprimibile, come :

^∂/_∂t ( ^⃗u²/2 ) + ∇ ( ^⃗u²/2 ) - ^⃗u x ( ∇ x ^⃗u ) = - ∇ (p/ρ) + ∇^⃗U

Potenzi dei forze di volume

F^⃗ = - ∇^⃗U

* Se un campo vettoriale è conservativo, lo posso scrivere anche un gradiente di un potenziale :

^∂/x

Consido una linea di corrente ds voglio vedere come le f

αe è nulla lungo la linea di corrente. Moltiplico separatamente 1^o e 2^o membro dell' eq. per ds :

^∂/_∂t ( ^⃗u ⋅ ds )=

^∂/_∂t ds

dove u è la componente di ^⃗u parallela a ds

^⃗u x ( ∇ x ^⃗u ) ⋅ ds = 0

Perche? Il rotore di ^⃗u è perpendicolare a ⃗

della diffusione di curva di costante, sappiamo che ^⃗u è sempre parallelo a ds lungo la linea di costante.

∇ ( ^⃗u²/2 ) ⋅ ds

-

d ( ^⃗u²/2 )

∇ ( p / ρ ) ⋅ ds

-

d ( p / ρ )

∇_U ⋅ ds = d ^⃗U

perciò l'eq. diventa :

∂^⃗u / ∂t ds + d ( ^⃗u²/2 ) + d ( p / ρ ) - d^⃗U = 0

Nell'ipotesi di flusso SLD stazionario (U = cost.):

pU _∂U/_∂x + _∂p/_∂x la integro in x → U _∂U/_∂x = −∫_∂p dx → U²/2 + p = cost.

Nel caso di flusso QLD stazionario e isoupompibile (U = cost.) :

p _∂U²/_{∂x ∂p}/_∂x lo integro in x → ^U2/2 + p = cost. ⇒ ^U2/₂ + ^p/_p = cost

Nel caso di flusso isentropico ^P/_p^γ = cost. :

^pγ/_p ^U2/₂ = cost.

Nel caso di gas perfetti:

^γ/_γ−1 ^U2/₂ + ^U2/₂ = cost. (con T = ^P)

oppure: CpT + ^U2/₂ = cost. (con Cp = ^γR/_γ−1)

Passiamo ora all' eq. di conservazione dell'energia:

Adx _∂/_(pE) = − ∫_∂x (ρUEA) dx − ∫_∂x (ρUA) dx + qcdx

potenza fase di pressione

potenza termica di conduzione

Divido per dx :

A _∂/_{t (pE)} = −_{∂ ∂x (pUEA)} + ∂_∂x ∂(ρUA) + qc

Sviluppo la derivata dei prodotti :

Ap _∂/_tE + _AE/_∂t U + U∂A _E/_∂x + E _∂ UA = −pA _∂/_∂x Au _∂/_∂x+ qc

Divido per pA :

_DE/_Dt + U _∂E/_∂x = _p/_U PU _{pA U}/_{p ∂}/_∂ + qc

Nel caso di flussi stazionari , considerando un ∫eq di conse. della massa per flussi stazionari: UA = ost. , anveo: _UA = 0 che posso → scrive: (parole la derivata del prodotto): U _∂/_∂x = A_U . Presco il pezzo : U A_U=A ∂_∂x = qc la sostituisco nell' eq di cons. dell'energia.

EQZ DI CONS.DELL’ENERGIA QLD