Appunti di Macchine a fluido

Macchina aerodinamica dei corpi

Il fluido a contatto con le pareti solide aderisce alle pareti stesse (condizione di aderenza). Flussi esterni e flussi interni. L'essenza di questa disuniformità del fluido è il fatto che questo fluido si muove o all'interno di una macchina o al suo esterno. Dobbiamo studiare l'interazione fra macchina e fluido. Si ha la formazione di una zona prossima a contorni solidi caratterizzata da forti gradienti di velocità dello strato limite.

All'interno dello strato limite non posso trascurare gli effetti della viscosità. All'aumentare del numero di Reynolds (rapporto fra le forze di inerzia riconducibile ad Eulero e le forze viscose) diminuisce lo spessore dello strato limite. La parte d’inerzia diventa sempre più pesante, lo strato limite si assottiglia e l’effetto dello strato limite diventa sempre più trascurabile. Viceversa, con Reynolds bassi, la viscosità va tenuta in considerazione.

Di conseguenza le macchine lavorano a Reynolds alti così da avvicinarsi a fluidi con comportamento Euleriano piuttosto che viscoso. Avrò una minore perdita di quantità di moto dovuta allo strato limite. L'esempio estremo con Reynolds molto elevato è il volo ipersonico, in questo caso si può mettere in discussione il modello di fluido continuo, ovvero la struttura del fluido.

Condizioni per l'applicazione dell'equazione di Eulero

Ricordiamo le condizioni sotto le quali è possibile applicare l'equazione di Eulero che deriva direttamente dall'equazione di Navier-Stokes:

• Fluido incomprimibile (ρ = costante)
• Fluido non viscoso (μ = 0)

Dall'equazione di Eulero si arriva a due importanti conclusioni:

• L’equazione lungo la linea di flusso
• L’equazione dell’equilibrio radiale

Per un flusso con densità costante e viscosità nulla, la pressione aumenta all'aumentare della distanza R dal centro di curvatura. Pertanto, in un condotto curvo, all'estradosso avrò maggior pressione mentre all'intradosso avrò maggior velocità.

Flusso laminare e turbolento

Nel laminare (stazionario) ho velocità costante mentre nel turbolento (praticamente tutti i casi pratici) ho una distribuzione della velocità non uniforme, ho una velocità media costante più una velocità fluttuante. Si formano delle fluttuazioni (simili ad un vortice, ricircolazione) caratterizzate da intensità e lunghezza scala (dimensione caratteristica).

I flussi laminari sono flussi che nascono e si evolvono fino ad un certo numero di Reynolds, oltre un determinato valore ho la transizione da laminare a turbolento. Non ho un numero preciso per cui ho passaggio laminare turbolento, dipende dalla macchina e dal fluido. Si può comunque individuare una fascia di valori di Re per cui posso avere o meno flusso laminare, non ci sono dubbi se mi trovo a Reynolds inferiori (laminare) o superiori (turbolento). Anche la lunghezza scala con cui analizzo il flusso varia di caso in caso. Generalmente sotto Re = 500,000 avremo la possibilità di trovare qualche macchina in condizioni laminari, per valori superiori non avremo altre possibilità se non di trovare un flusso turbolento.

È proprio questa scelta diversificata della grandezza cara ai progettisti che tenderanno sempre a voler lavorare con fluidi in regime turbolento. Intermittenza: ci dà un’indicazione sul flusso. Per valori nulli ho flusso laminare, per valori unitari ho flusso turbolento, valori intermedi rappresentano quanto flusso turbolento ho col passaggio del flusso in un periodo di tempo pari ad un secondo. Le turbine di bassa pressione (LPT del turbofan che guida con l’albero di bassa pressione LPC e Fan) lavorano con Reynolds non troppo alti, è importante conoscere se ho un flusso laminare o turbolento per poter ottenere le migliori prestazioni dalla macchina.

Corpo tozzo e corpo aerodinamico

Paradosso di D'Alembert: sfera/cilindro, se considero un flusso euleriano, la sfera non oppone resistenza all'avanzamento. Nella realtà le forze viscose, anche se sono confinate in una piccola regione del campo di moto, non sono assolutamente trascurabili. Nel caso della sfera avrò un punto di separazione che crea una scia andando a causare una perdita della quantità di moto (spessore di momento), ovvero ho una resistenza all'avanzamento.

Dobbiamo togliere il punto di separazione dello strato limite per evitare la ricircolazione, o almeno cercare di posporlo il più tardi possibile. Ho separazione quando ho diffusione, ovvero quando recupero pressione (diminuisco la velocità per aumentare la pressione). Lo strato limite separerà seguendo una determinata legge che dipende, caso per caso, dallo stato in cui si trova il flusso nel momento in cui gli chiediamo di diffondere.

Dove possiamo lavorare è sul gradiente di pressione allungando la forma del nostro corpo così da avere dp/dx inferiore. Sul dp non possiamo farci nulla poiché dipende dal flusso, possiamo però lavorare sul dx. Dove dp/dx < 0 il flusso sta espandendo diminuendo la pressione in favore della velocità. Se tale gradiente è = 0 il flusso sta procedendo di moto rettilineo uniforme.

Il problema sorge quando il gradiente è > 0 poiché sto recuperando pressione a spese dell’energia del flusso, la separazione ha luogo quando il flusso non ha più energia da recuperare ovvero quantità di moto da spendere e deve necessariamente invertire il flusso. È importante che la parte posteriore sia allungata per evitare separazione (poiché è proprio la parte posteriore in cui ho dp/dx > 0), con una scia sottile ho una piccola perdita della quantità di moto. Con una scia grossa avrò perdite grosse (drag elevato).

Ovviamente anche la parte anteriore deve avere una determinata forma affusolata, una lastra piana posta in direzione ortogonale al flusso ha un Drag molto più elevato del caso in cui la lastra è parallela al flusso; ma il nucleo della questione rimane comunque centrale sulla separazione. Il contributo d'attrito diventa indifferente dal momento in cui ho separazione poiché il contributo di forma è predominante.

Sviluppo dello strato limite

Suppongo un flusso interno, dopo una distanza d'ingresso ho il flusso completamente sviluppato. Il profilo di velocità varia fra flusso laminare e turbolento. Per un flusso laminare ho un profilo di velocità parabolico. Per un flusso turbolento ho una situazione più complessa poiché non ho una legge ben precisa ma devo per forza ricorrere a delle correlazioni, ho due componenti della velocità. Al posto della derivata della velocità cerco la variazione della quantità di moto. Troviamo un esponente di potenza legato al numero di Reynolds (fra 7 e 10) che ci permette di rappresentare al meglio la distribuzione di velocità. Ciò ci permette quindi di ottenere una buona stima sull'andamento dello sforzo di taglio.

Per lo sviluppo dello strato limite in un flusso esterno ho un primo punto in cui ho velocità nulla e pressione massima (PUNTO DI RISTAGNO) a cui segue una prima fase laminare e, dopo una transizione, avrò flusso turbolento. Nel profilo alare avrò una forma tale da avere un diverso gradiente di pressione fra il lato superiore e il lato inferiore (equazione dell'equilibrio radiale).

Spessore dello strato limite

Supponiamo il caso semplice di lastra piana investita da un flusso uniforme che può essere assunto come Euleriano (non ho gradiente di pressione in direzione y all'interno dello strato limite) e può essere applicata l'equazione di Bernoulli. Fuori dallo strato limite posso quindi considerare il flusso Euleriano, ma quanto è alto lo strato limite? Generalmente viene considerato strato limite fino a che la velocità è circa il 99% della velocità indisturbata. Questa altezza è più un fattore concettuale, non è un numero su cui possiamo fare delle misure. Serve a noi per capire come si comporta lo strato limite. È invece importante definire altre grandezze: quanta portata e quanta quantità di moto perdo nello strato limite rispetto al caso ideale con flusso completamente indisturbato.

• Spessore di spostamento: è la distanza di cui la lastra dovrebbe essere spostata così che la perdita di portata diventi uguale alla quantità di portata persa a causa dello strato limite.
• Spessore di momento: è la distanza di cui la lastra dovrebbe essere spostata così che la perdita di quantità di moto diventi uguale alla quantità di moto persa a causa dello strato limite.

Separazione di uno strato limite

La separazione è un fenomeno generalmente non desiderato in un corretto progetto aerodinamico in quanto sorgente di perdite (aumento di resistenza). Le piccole separazioni non sono di per sé un problema, diventano di particolare interesse nel caso diventi un fenomeno più ingente. Dal momento in cui ho separazione, è come se avessi un corpo formato dal corpo stesso più la parte di flusso soggetta alla separazione (spessore di spostamento) andando così ad aumentare fortemente il contributo di forma che, come spiegato successivamente, è uno dei due contributi che limitano l’aerodinamica di un corpo immerso in un fluido.

Oltre a creare problemi di aerodinamica, causa anche problemi strutturali poiché la separazione, e di conseguenza la ricircolazione del flusso, genera dei vortici. Questi vortici avranno una determinata frequenza di distacco che può causare problemi di risonanza con forti vibrazioni. Il caso qui accanto riprende il concetto del gradiente di pressione lungo un condotto.

Dove la lastra si allontana, oltre un certo valore ho ricircolazione e inversione del flusso, ho la separazione dello strato limite. La separazione la osservo quando sto chiedendo al campo di moto troppa diffusione, questo non è in grado di farla e quindi separa. Il fatto che separi, da un punto di vista pratico, comporta un brusco aumento dello spessore di spostamento poiché tutta la zona dello strato limite che prima era in un’unica direzione, adesso ha invertito il flusso. Se noi chiediamo troppa diffusione ad uno strato limite e lui non è in grado di darla, separa. Così facendo rimette a posto la diffusione ad un valore che può tollerare. È un meccanismo che da un punto di vista dell’aerodinamica è negativo poiché perdiamo il controllo della forma del nostro corpo che adesso si vede aggiunta lo spessore di spostamento, ovvero il volume di fluido in ricircolazione. Ho perso il controllo della geometria del mio corpo che adesso è governata dallo strato limite.

Rimane quindi la domanda: quanto deve essere piccolo dp/dx > 0 per non avere separazione? Il flusso turbolento possiede molta più quantità di moto del flusso laminare e la separazione avviene quando la quantità di moto dello strato limite è ridotta a zero dall’azione combinata di diffusione e sforzi di taglio. Pertanto, uno strato limite turbolento è maggiormente predisposto a sopportare un gradiente di pressione avverso. In ogni caso se cerco di avere un tratto divergente più allungato, avrò un gradiente più dolce e quindi posso limitare se non annullare la separazione.

Per il profilo alare posso comunque ricondurmi ad un tratto convergente-divergente se considero la lastra piana come il flusso indisturbato e il profilo come tratto convergente e poi divergente. Avrò quindi un gradiente negativo nella parte anteriore del profilo in cui andrò verso il punto di massima velocità e minima pressione, per poi avere il tratto divergente nella parte posteriore in cui dovrò stare attento alla separazione dello strato limite. Allungando la coda potrò ottenere scie sottili segno di minori separazioni.

Portanza e resistenza

Ogni volta che c'è un moto relativo fra un corpo solido e un fluido viscoso che lo circonda, il corpo subirà una forza netta F. L'entità di tale forza dipende da molti fattori: certamente la velocità relativa, ma anche la forma del corpo con le sue dimensioni e le proprietà del fluido in primis densità e viscosità. Nello scorrere attorno al corpo, il fluido genera degli sforzi superficiali i quali conducono alla forza F. Questi sforzi superficiali si compongono di uno sforzo tangenziale dovuto alle azioni viscose e di uno sforzo normale dovuto alla pressione locale. Quindi la forza che si scambiano fluido e corpo è legata all'integrale sulla superficie di due parti: una legata agli sforzi di taglio e una legata alla pressione. Integrale che non sempre è risolvibile e anche nel caso lo fosse, porterebbe a conclusioni erronee a causa delle ipotesi che siamo costretti ad imporre per risolverlo. La soluzione è quindi quella di correlare la forza F con le grandezze in gioco per tirare fuori dei coefficienti che ci permettono di comprendere al meglio la situazione.

Il corpo che scegliamo è il profilo alare, è un profilo aerodinamico, ovvero un corpo dove la separazione è assente o poco influente e consente di dare una forza favorevole al volo, cosa non possibile con un profilo tozzo dove invece la separazione dello strato limite è pressoché inevitabile. Lift e Drag sono le due componenti della forza che entrano in gioco sul profilo alare immerso in un fluido in moto. La portanza agisce in direzione normale alla direzione del moto, la resistenza invece in direzione del moto. Il drag è legato quasi esclusivamente alla viscosità del fluido ma anche alla velocità del flusso. Per Mach=1 ho un picco del coefficiente di Drag, ce lo possiamo spiegare poiché il massimo "danno" che possiamo creare allo strato limite è quando ho delle onde d'urto normali e ciò accade quando ho un flusso a Mach=1.

L'area nei profili alari è quella di pianta mentre nei profili tozzi si usa l'area frontale. Contributo di forma: è la resistenza causata dalla forma del nostro corpo che incide sulla distribuzione di pressione. Minore il raggio di curvatura del profilo maggiore il gradiente di pressione in direzione normale alla superficie, questo, in accordo con l'equazione dell'equilibrio radiale. Maggiore la curvatura e maggiore sarà il gradiente di pressione in direzione normale, avrò anche un gradiente di velocità opposto. Contributo d'attrito: dipende non tanto dalla forma del corpo quanto da come questo si interfaccia col flusso e quindi dalla formazione dello strato limite sul corpo. Rappresenta le forze di taglio legate alla viscosità, danno un contributo importante per valori bassi di portanza. Quando la portanza è apprezzabile, il contributo maggiore è quello legato alla pressione (forma).

Per ottenere il minimo Drag ottimale dobbiamo avere un rapporto fra spessore e lunghezza della corda pari al 25%. Si nota come i due contributi hanno comportamento opposto all’aumentare dello spessore a parità di lunghezza della corda. Questo 25% indica che il centro di spinta si trova a ¼ di corda. Possiamo dire che la massima depressione avviene entro il primo 20% e la transizione L-T avviene dopo il punto di minima pressione (massima velocità).

Per far sì che un corpo non presenti resistenza di forma, dovrebbe essere creato aggiungendo lo spessore di spostamento. Drag e Lift dipendo entrambi dalla forma del corpo ma si interessano di due aspetti differenti di essa:

• Il Drag guarda al gradiente di pressione che causa la separazione del flusso e fa perdere aerodinamicità al mio profilo rendendolo un corpo tozzo.
• Il Lift guarda al gradiente di pressione secondo l’equazione dell’equilibrio radiale per ottenere una differenza di pressione fra superficie inferiore e superiore. È la curvatura locale del flusso esterno del campo di moto a cui corrisponde una variazione di quantità di moto e di conseguenza un gradiente di pressione e quindi delle forze sul nostro profilo, che causa portanza.

È importante notare come la separazione vada ad incrementare il contributo di forma (dipende dal gradiente di pressione). Al contrario il contributo di attrito (dovuto agli sforzi di taglio) potrebbe risultare lievemente ridotto. Se passiamo ad una palettatura di turbomacchina notiamo che le curvature sono molto più elevate. Ho un mix fra il profilo alare (è molto concavo) ed un condotto, poiché ho più profili uno accanto all'altro. Dovrò quindi fare sia considerazioni sulla paletta singola sia su come questa crea un condotto convergente o divergente con la paletta adiacente.

Elementi di turbomacchine

Analizziamo un ciclo aperto, tutte le turbomacchine sono a ciclo aperto, solo in un ciclo a vapore il ciclo è chiuso. Nelle turbine a gas il ciclo è aperto, per le turbine idrauliche ed eoliche non si può neanche parlare di ciclo termodinamico. La turbina a gas sfrutta il ciclo Joule-Brayton il quale non potrebbe avere luogo se non potessi sfruttare la divergenza delle isobare che mi permette di ottenere un salto entalpico maggiore (fra due pressioni determinate: ambiente e Pmax) ad elevate temperature piuttosto che a basse temperature.

Una turbina ad utilizzo industriale ha come vincolo principale quello del numero di giri fissato dalle esigenze del corpo utilizzatore. In ambito aeronautico ho maggior libertà. Non sempre è possibile mantenere costante il numero di giri, avrò bisogno di un riduttore. Quando si parla di potenze...