Appunti Orale Macchine a fluido 2

INTRODUZIONE ALLE EQ DI CONSERVAZIONE

• Si considera un generico volume V fisso nello spazio, delimitato dalla superficie S e contenente un fluido in moto: una generica proprietà estensiva (ovvero dipendente dalla quantità di massa) del fluido B può essere descritta da un integrale di volume su V della proprietà intensiva b:

B = ∫ ρb dr

dove ρ è la densità del fluido e dr è l'elemento infinitesimo di volume. Nel caso generale la proprietà B potrebbe essere, oltre che dipendente del volume, anche funzione del tempo ed in tal caso è necessario tenere in considerazione tutte le cause di variazione di essa. Ad esempio il trasporto netto di B all'interno del volume V attraverso le superficie di S, e altre cause specifiche legate alla natura di B:

dB/dt = ∫ ρb dr = - ∫_S (ρû·n) b dS + [ALTRE CAUSE]

dove û rappresenta il vettore velocità, n è il versore normale della superficie S nel punto di applicazione di û ed il prodotto tra û·n restituire la sola componente di velocità utile di flusso entrante/uscente del volume attraverso S.

Equazioni di conservazione in forma integrale

• Applicando ora l'equazione generale di conservazione al caso della massa m. All'interno del volume V la massa può variare nel tempo solo a seguito di flussi entranti ed uscenti attraverso le superficie che delimitano V. Non essendo infatti altre cause di variazione, l'equazione di conservazione della massa in forma integrale risulta quindi per B=m e b=1:

  dm/dt = d/dt ∫vρdr = -msub>∫sϕ(⊙̂)dsd/dt ∫vρdr = -msub>∫sϕ(⊙̂)ds

  Bilancio di conservazione della massa

• Applicando ora l'equazione generale di conservazione alla quantità di moto Q, e tenendo presente che in tal caso sono possibili altre cause di variazione, si può scrivere che per B=Q e b=:

  dQ/dt = d/dt ∫vρ⊙dr = -msub>∫s(ρ⊙̂)⊙̂ds + ∫vρdr - ∫sîds - ∫sids

  Forze scambiate

  Termine di flusso

  Forze di massa

  Forze di superficie

  d/dt ∫vρ⊙dr - -msub>∫s(ρ⊙̂)⊙̂ds + ∫vρdr - ∫sîds - ∫sids

  Bilancio di conservazione della quantità di moto

dove μ rappresenta la viscosità dinamica. Tale equazione

può semplificarsi ulteriormente nei casi di:

• Flusso incomprimibile: ∇·u = 0

→ ρ _du/dt = ρ f - ∇_p + μ ∇² u

• Flusso non viscoso: μ = 0

→ ρ _du/dt = ρ f - ∇_p

Determinazione infine l’equazione di conservazione dell’energia

in forma differenziale, ipotizzando la relativa forma integrale

e trasformando i suoi termini:

d/dt ∫_v ρξ dτ = - ∫_s (pn·i) E ds + ∫_v ρfi dτ + ∫_s pn·u ds + ∫_s fi·ids - ∫_v ρξ dτ - ∫_q q·n ds

= - ∫ ∇·(ρuξ) dτ + ∫_v ρf·u dτ - ∫_v ∇·(pu) dτ - ∫_v ∇·q dτ

che dopo alcuni passaggi algebrici non affatto semplici, e considerarlo

anche in tal caso V fisso ed indipendente dal tempo:

∂(ρξ)/∂t = - ∇·(ρuξ) + ρf·u - ∇·(pu) + ∇·(f·u) - ∇·q

→ ∂(ρξ)/∂t + ∇·(ρuξ) = ρf·u - ∇·(pu) + ∇·(f·u) - ∇·q

⇒ φ _DE/_Dt = φ f·u - ∇·(pu) + ∇·(f·u) - ∇·q

Tale equazione può poi anche semplificarsi nei casi di flusso adiabatico

(q = 0), flusso non viscoso (f = 0, q = 0) e flusso comprimibile (ρ ≠ 0)

DEFINIRE E DIMOSTRARE LA VELOCITÀ DEL SUONO

La velocità del suono è la velocità con cui si propagano le piccole onde di pressione in un mezzo omogeneo ed in quiete. La relazione che descrive la velocità del suono può essere ricavata considerando lo spostamento impulsivo di un pistone in un condotto tra la condizione iniziale t in cui il gas è in quiete e l'istante t+dt in cui il gas subisce il passaggio del fronte d'onda ed il pistone si sta muovendo con velocità du:

Applicando la conservazione della massa tra l'istante t e quello t+dt si ottiene:

M_t = M_t+dt ⇒ [pV]_t = [pV]_t+dt ⇒ pdv = adp

ed applicando invece anche l'equazione dell'impulso tra gli stessi istanti di tempo si ottiene:

Fdt = mΔv ⇒ (p_fin - p_in)A · Δt = m (v_fin - v_in) ⇒ dp = padu

Conclusando le due equazioni così ottenute si ricava che:

pdu = adpdp = pa du

⇒ ^dp/_dp

e sostituendo semplicemente quanto precedentemente trovato

per dT_t e per dh, nella legge delle aree, dell'interno della precedente:

dH

M =

H² - 1

¹₂

dA_A

A

dH

H

+

1 - H²

dA

A

SPIEGARE PERCHÉ NON È POSSIBILE AVERE M = 1 NEI TRATTI CONVERGENTI O DIVERGENTI, MA SOLO NELLA SEZIONE DI GOLA

Nei tratti convergenti e divergenti supponiamo che dA_A ≠ 0, mentre

nella sezione di gola tra i due tratti, essendovi l'inversione di

segno di dA_A possiamo affermare che dA_A = 0. Del PQR e da LDA:

{

dp

dx = -ρu

du

dx

dp = -ρudu

dp

u

= -ρu

du

dp

du

u

=

1

H² - 1

dA

A

da cui si ottiene la seguente relazione:

di

u

=

-

dp

ρu²

=

1

H² - 1

dA

A

Dp

φu²

=

1

1 - H²

dA

A

Se applichiamo ora tale relazione ai tratti CO dove dA_A ≠ 0

osserviamo che:

=

ρu²

dA

per

1 - u²

dA

A

per

dA_A ≠ 0

H = 1

⇒ dp → ±∞ SOLUZ. IMPOSSIBILE

mentre se cerchiamo di imporre H = e trovare la relativa dA_A in

così si verifica, ottenendo

H² = 1 -

ρu² dA

dp

per

H = 1

dp = 0 SOL. INAMMISSIBILE

dp

per

dp = 0

dA

A

dA

= 0 etc.

che evidenzia la possibilità di raggiungere H = 1 solo nella sezione di gola.