Appunti Orale Macchine a fluido 2

INTRODUZIONE ALLE EQ DI CONSERVAZIONE

Si considera un generico volume V fisso nello spazio, delimitato dalla superficie S e contenente un fluido in moto: una qualsiasi proprietà estensiva (ovvero dipendente della quantità di massa) del fluido B può essere descritta da un integrale di volume su V della proprietà intensiva b:

B = ∫ ρb dr

dove ρ è la densità del fluido e dr è l'elemento infinitesimo di volume. Nel caso generale la proprietà B potrebbe essere, oltre che dipendente del volume, anche funzione del tempo ed in tal caso è necessario tenere in considerazione tutte le cause di variazione di essa. Ad esempio il trasporto netto di B all'interno del volume V attraverso di superficie S, e altre cause specifiche legate alla natura di B:

dB/dt = ∫_V ρb dr = ∮_S (ρb_iu_in_i) bds + altre cause

dove ui rappresenta il vettore velocità, _i è il versore normale alla superficie S nel punto di applicazione del ui ed il prodotto tra uin_i restituisce la sola componente di velocità utile di flusso entrante/uscente del volume attraverso S.

INTRODUZIONE ALLE EQ DI CONSERVAZIONE

• Si considera un generico volume V fisso nello spazio, delimitato dalla superficie S e contenente un fluido in moto: una qualsiasiproprietà estensiva (ovvero dipendente della quantitá di massa) del fluido B può essere descritta da un integrale di volume su V della proprietàintensiva b:

B = ∫_V ρb dr

dove ρ è la densità del fluido e dr è l'elementoinfinitesimo di volume. Nel caso generale la proprietà B potrebbe essere, oltre che dipendente dal volume, anche funzionedel tempo ed in tal caso è necessario tenere in considerazionetutte le cause di variazione di essa. Ad esempio il trasporto nettodi B all'interno del volume V attraverso di superficie S,e altre cause specifiche legate ella natura di B:

dB/dt = ∫_V ρb dr = - ∮_S (ρbû·n̂ ) bds + ALTE CAUSE

TERMINE DI FLUSSO

dove û rappresenta il vettore velocità,n̂ è il vettore normale alla superficie S nel punto di applicazione di û edil prodotto tra û·n̂ ci restituisce la sola componente di velocitàutile di flusso entrante/uscente del volume attraverso S.

Equazioni di conservazione in forma integrale

Applichiamo ora l'equazione generale di conservazione ed caso della massa m. All'interno del volume V le masse può variare nel tempo solo a seguito di flussi entranti ed uscenti differenti tra loro, non essendovi infatti altre cause di variazione. L'equazione di conservazione della massa in forma integrale risulta quindi per B=m e b=1:

d = d/dt ∫_v ρ dτ - ∮_s (φ i⃗•n⃗)_i ds

d/dt ∫_v ρdτ = - ∮_s φ u⃗•n⃗ ds

Applicando ora l'eq generale di conservazione della quantità di moto Q, e tenendo presente che in tal caso sono presenti oltre cause di variazione, si può scrivere che per B=Q e b=u⃗ :

dQ/dt = d/dt ∫_v ρ u⃗ dτ - ∮_s (ρu⃗•n⃗) u⃗ ds + ∫_v ρf_d τ - ∮_s ρ f_p ds - ∮_s f_d ds

dd/dt ∫_v ρ u⃗ dτ - ∮_s (ρu⃗•n⃗) u⃗ ds + ∫_v ρf_d τ - ∮_s ρf_p ds - ∮_s f_d ds

dove le altre cause comprendono le forze esterne applicate ed elencate (esprimibile come forze di massa e di superficie) determinando conseguendo i contributi di forza di massa f⃗, di pressione p⃗, ed ottenuto viscoso f⃗_v .

semplicissimi nei casi in cui il fluido sia comprimibile

oppure quando il flusso è non viscoso.

Applichiamo infine ora l'eq di conservazione generale al caso

dell'energia E, soggetta anch'essa ad altre cause di variazione

temporale, legate sostanzialmente agli scambi di potenza

meccanica e termica del fluido attraverso V ed S. L'equazione

può scriversi per B = E e b = (e +

dove

è il vettore del flusso termico di conduzione, che

usiamo e si annulla nei casi di flussi non viscosi (poiché

anche non termicamente conduttivi dato che . Anche in

questo caso se il flusso è comprimibile

Equazioni di Conservazione in Forma Differenziale

Per ottenere tali equazioni viene fatto largo uso del teorema di Gauss che permette di trasformare integrali di volume in integrali di superficie mediante la nota relazione:

∫_V (∇⃗·F⃗) dv = ∫_S (F⃗·n⃗) dS

dove F⃗ è il generico vettore integrando che rappresenta una delle varie proprietà che evolveremo.

Per ricavare l'eq di conservazione della massa in forma differenziale (cioè valide per un volume infinitesimo dτ di V) prendiamo quelle in forma integrale e trasformiamo gli integrali di s