Appunti di Macchine a Fluido 2 [MF2]

III III III

III

 (tan β

= λ − tan β )

∆T

 III ◦

β = 51.24

0s 1 2

 c 1

p → III ◦

C β = 28.00

III = 25 K

∆T  a III

III III 2

 = + tan β )

(tan β

Λ

0s  2 1

2U

III = 0.5

Λ  U III III

 = tan α + tan β

III 

λ = 0.88 III ◦

α = 28.00

1 1

 C 1

a →

U III ◦

= 51.24

α

 III III

= tan α + tan β 2



 2 2

C a

III II III II

dove β = β e α = α . Calcoliamo le velocità assolute e relative in ingresso ed uscita

1 3 1 3

rotore: C C

a a

III III

−1 −1

C = 169.9 m s V = 239.6 m s

=

1 1

III III

cos α cos β

1 1

C C

a a

III III

−1 −1

C = = 239.6 m s V = = 169.9 m s

2 2

III III

cos α cos β

2 2

III II III II

dove C = C e V = V (si possono notare i valori simmetrici di velocità ed angoli).

1 3 1 3

Verifichiamo ora la deflessione rotorica con de Haller: III

V 2

III III ◦ = 0.709

− β = 23.24 →

ǫ = β

1 2 III

V 1

che corrisponde ad un valore ovviamente non accettabile. È necessario quindi ridurre il carico

aerodinamico nello stadio variando uno tra U , C , Λ o meglio ancora ∆T . Una riduzione

a 0s

di quest’ultimo infatti rappresenta sempre la scelta migliore per ottenere una netta e meno

laboriosa riduzione della deflessione, al contrario di U o C che obbligherebbero a riprogettare

a

tutto, ed a Λ che invece ha un’influenza minima sulla diffusione (imponendo λ = 0.55 il

addirittura, mentre si può ottenere un

criterio di de Haller restituisce un valore di 0.706

valore di 0.725 per per Λ = 0.4 che però è troppo basso a raggio medio). Riduciamo pertanto

il salto di temperatura totale nello stadio di un grado (tale grado in meno sarà recuperato

nell’ultimo stadio che presenta un carico minore di temperatura) e rifacciamo i calcoli:

 U C a

III III III III

 = λ

∆T (tan β − tan β )

 III ◦

β = 50.92

0s 1 2

 c 1

p → III ◦

C β = 28.63

III = 24 K

∆T  a

III III III 2

 (tan β

Λ = + tan β )

0s  2 1

2U

III

Λ = 0.5  U III III

 = tan α + tan β

 III

III ◦

= 28.63

α

= 0.88

λ 1 1

 C 1

a →

U III ◦

α = 50.92

 III III

= tan α + tan β 2



 2 2

C a

III II III II

dove β = β e α = α . Calcoliamo le velocità assolute e relative in ingresso ed uscita

1 3 1 3

rotore: C C

a a

III III

−1 −1

C = 170.9 m s V = = 237.9 m s

1 1

III III

cos α cos β

1 1

C C

a a

III III

−1 −1

C = = 237.9 m s V = = 170.9 m s

2 2

III III

cos α cos β

2 2

III II III II

dove C = C e V = V (si possono notare i valori simmetrici di velocità ed angoli).

1 3 1 3

Verifichiamo ora la deflessione rotorica con de Haller: III

V 2

III III ◦

− β = 22.29 → = 0.718

ǫ = β

1 2 III

V 1

43

che può essere accettato in questa fase preliminare di progettazione. Calcoliamo le condizioni

termodinamiche dello stadio: γ

III III

∆T

p γ−1

03 0s

III III

= = 1 + η

R = 1.246

s is

III III

p T

01 01

III III III

p = p · R = 1.992 bar

03 01 s

III III III

= T + ∆T = 357 K

T 03 02 0s

Di seguito viene riportata la tabella di riepilogo 2.7 riguardante il terzo stadio.

Stadio III

1 2 3

C 170.9 237.9 -

V 237.9 170.9 -

α 28.63 50.92 -

β 50.92 28.63 -

p 1.599 → 1.992

0

T 333 → 357

0

Tabella 2.7: Riepilogo grandezze terzo stadio

Quarto, quinto e sesto stadio

Dal quarto al sesto stadio la procedura di calcolo dei triangoli di velocità a raggio medio

è la stessa e per brevità vengono qui riportati solo i risultati (tabella 2.8). Ipotizzando un

work-done factor λ = 0.83 ed un grado di reazione di Λ = 0.5 si osserva che per ∆T = 25 K

0s

il criterio di de Haller non viene soddisfatto, e per tale motivo si opta anche in tal caso per

tutti e tre gli stadi di usare un salto di 24 K. Tutti e tre gli stadi sono caratterizzati dall’avere

Stadio IV Stadio V Stadio V I

1 2 3 1 2 3 1 2 3

C 169.4 240.3 169.4 C 169.4 240.3 169.4 C 169.4 240.3 -

V 240.3 169.4 240.3 V 240.3 169.4 240.3 V 240.3 169.4 -

α 27.71 51.38 27.71 α 27.71 51.38 27.71 α 27.71 51.38 -

β 51.38 27.71 51.38 β 51.38 27.71 51.38 β 51.38 27.71 -

p 1.992 → 2.447 p 2.447 → 2.968 p 2.968 → 3.560

0 0 0

T 357 → 381 T 381 → 405 T 405 → 429

0 0 0

Tabella 2.8: Riepilogo grandezze quarto, quinto e sesto stadio

stessi triangoli di velocità, ma in condizioni termodinamiche differenti.

Settimo stadio

L’ultimo stadio deve matchare le prestazioni richieste dalla specifica tecnica. Partendo

dalle condizioni in ingresso di pressione e temperatura e nell’ipotesi di Λ = 0.5 e λ = 0.83,

determiniamo il rapporto di compressione dello stadio ed il rispettivo salto di temperatura che

44

ci consentono di raggiungere le condizioni obiettivo all’uscita del compressore che ricordiamo

out

essere p = 4.192 bar:

0 V II

p 03

V II = 1.177

=

R s V II

p 01 γ

V II

∆T γ−1

0s

V II V II V II

R = 1 + η = 22.8 K

→ ∆T

s is 0s

V II

T 01

Applicando il solito sistema di equazioni riusciamo ad ottenere gli angoli relativi ed assoluti

rotorici:  U C a

V II V II V II V II

 ∆T = λ (tan β − tan β )

 V II ◦

= 50.98

β

0s 1 2

 c 1

p → V II ◦

C β = 28.52

V II = 22.8 K

∆T  a

V II V II V II 2

 (tan β

Λ = + tan β )

0s  2 1

2U

V II = 0.5

Λ  U V II V II

 = tan α + tan β

V II 

λ = 0.83 V II ◦

= 28.52

α

1

1

 C 1

a →

U V II ◦

α = 50.98

 V II V II

= tan α + tan β 2



 2 2

C a

V II V I V II V I

dove β = β e α = α . Calcoliamo le velocità assolute e relative in ingresso ed uscita

1 3 1 3

rotore: C C

a a

V II V II

−1 −1

C = = 170.7 m s V = = 238.3 m s

1 1

V II V II

cos α cos β

1 1

C C

a a

V II V II

−1 −1

C = = 238.3 m s V = = 170.7 m s

2 2

V II V II

cos α cos β

2 2

V II V I V II V I

dove C = C e V = V (si possono notare i valori simmetrici di velocità ed angoli).

1 3 1 3

Verifichiamo ora la deflessione rotorica con de Haller:

V II

V 2 = 0.717

V II

V 1

che può essere accettato in questa fase preliminare di progettazione. All’uscita dello stadio a

causa del grado di reazione Λ = 0.5 si ottiene un triangolo identico a quello in ingresso. Tale

flusso viene poi raddrizzato mediante un diffusore facente parte della camera di combustione

che rende l’aria completamente assiale. In tabella 2.9 vengono riepilogate le caratteristiche di

quest’ultimo stadio di compressione. Stadio V II

1 2 3

C 170.7 238.3 170.7

V 238.3 170.7 238.3

α 28.52 51.38 28.52

β 50.98 28.52 50.98

p 3.560 → 4.192

0

T 429 → 451.8

0

Tabella 2.9: Riepilogo grandezze settimo stadio

45

2.4.4 Triangoli di velocità tra root e tip della pala

Il passo successivo è quello di determinare i triangoli di velocità lungo tutta la pala in

ogni stadio. Per semplicità si prenderanno in esame solo il primo ed il terzo stadio come casi

standard e si considereranno solo i triangoli di velocità al root, al raggio medio ed al tip.

Figura 2.16: Sezione generica di uno stadio

Primo stadio

Per il primo stadio l’assenza dell’IGVs determina una velocità assiale in ingresso al

compressore costante su tutto l’annulus, e questo ci permette di applicare il metodo del

free-vortex (come precedente detto, sempre preferibile) poiché soddisfa la condizione di

C r = cost essendo C = 0. Dalle note dimensioni geometriche dell’ingresso possiamo

w w1

immediatamente ricavare gli angoli relativi in ingresso alla schiera rotorica del primo stadio:

◦

−1

r = 0.1131 m U β

= 177.7 m s = 49.83

r1 r1 r1

tan β=U/C

U =2πrN −1 ◦

= 0.1697 m U = 266.6 m s β = 60.64

r −−−−−→ −−−−−−→

m1 m1

m1 −1 ◦

r = 0.2262 m U = 355.3 m s β = 67.11

t1 t1 t1

Della sezione in uscita al rotore non conosciamo nulla se non ovviamente il triangolo di

velocità a raggio medio. Per tale motivo è necessario determinare dapprima le dimensioni

geometriche all’uscita dello stadio (sezione 3) e poi calcolare quelle nella sezione 2 come

media. All’uscita dello stadio abbiamo per la conservazione della massa risulta:

C 3

= T − = 296.4 K

T 3 03 2c p

= 308 K

T 03 γ m

T γ−1 2

p = 1.249 bar → → A = = 0.1039 m

3

= p = 1.092 bar

p

03 3 ρ C

3 03 T 3 a

−1 03

C = 152.8 m s

3 p 3 3

ρ = = 1.283 kg/m

3 RT 3

Noto l’annulus nella sezione di uscita dello stadio possiamo calcolare le sue dimensioni come:

= 0.0974 m

h 3 h 3

r = r − = 0.1210 m

A = 2πr h → r3 m 2

3 m 3 h 3

= r +

r = 0.2184 m

t3 m 2

46

Ricaviamo infine altezza pala, raggi (come media) ed area della sezione 2:

r = 0.1171 m

r2 −1

r U

= 0.2223 m = 183.9 m s

+ r

r t2 r2

t r → →

r = −1

2 h = r − r = 0.1052 m U = 349.2 m s

2 t r t2

2

= 2πr h = 0.6607 m

A

2 r 2

Per determinare la variazione degli angoli in uscita alla schiera rotorica applichiamo, come

−1

già anticipato, il criterio del free-vortex conoscendo che C = 76.9 m s :

w2m r

C w2m m −1

= = 114.4 m s

C w2r r r

C r = C r = C r →

w2r r w2m m w3t t C r

w2m m −