Appunti lezioni di Fisica, prof. Luigi Palumbo

Cinematica del punto materiale (meccanica)

Cinema

Osservare il moto degli oggetti, senza porsi il problema di calcolare il moto che eseguono o determinare le forze.

Un sistema si sviluppa secondo ... un punto materiale ... piccole rispetto alla precisione dei calcoli.

Punto materiale e punto geometrico (graficamente)

La cinematica del punto materiale si occupa dunque di descrivere come varia la posizione di un punto individuale ... tempo.

Obiettivo

Esplicitare la posizione in funzione del tempo.

Posizione

È noto quando sappiamo dove e quando.

Uno spazio vuoto (curvi) nel disegno tutte le posizioni sarebbero nello stesso tempo.

Casi in cui il punto materiale vincolato a muoversi lungo una retta (piano)

1. Scelto una parte dello spazio come origine, scelto un verso come positivo, scelto un unità di misura per misurare ... posizione del punto individuata da un numero reale.
2. Se il punto è vincolato a muoversi su un piano allora il sistema di riferimento può essere costituito da due unità ... per ciascuna dimensione.
3. Le proiezioni di punto potendosi ... biunivoca ai due opposti ... coordinate (x,y) che ... caratteristica unica a ciascun punto.

Sistema di assi ortogonali (ossia ... cartesiano)

CASI IN CUI UN PUNTO MATERIALE SI MUOVE NELLO SPAZIO:

• Il sistema di riferimento può essere rappresentato con 3 assi (X, Y, Z) non complanari (cioè con l’asse locale) intersecanti in un punto os­servato come origine comune.
• La posizione di un punto P è ceduta in corrispondenza univoca con le terne X, Y, Z ordinate con le relative linee rappresentano le coordinate delle tre assi d’ogni rispettivo posizione del punto P (SPAZIO di 3 dimensioni).
• Il verso positivo di ciascun asse è stato scelto automaticamente che si alzare (“alzare” un asse è un’rotazione di asse e per il ritorno verso la sotto partecita (aprendola 90°) con l’asse Y).

Sistema Lencento

GRADO DI LIBERTA:

• Numero di raccordi tra cui libero, indipendentemente un sistema per identificatore da porzione alba sistema uniforme.

di liberta.

• Il numero di gradi di kliciettà di un sistema una coincidere con il numero di dimensioni dello spazio in cui il sistema si muove.
• Il numero di gradi di kliciettà di un sistema uguali ai kliciettà libera di un punto calda dal numero di dimensioni dello spazio in cui il sistema si muove.
• Se un sistema non si muove liberamente ma è vincolato, il numero di libero gradi di kliciettà diminuisce.

VETTORI

• La posizione di un punto materiale nello spazio può essere espressa sotto specifica 3 dimensioni, facili definite con pendenti.
• GRANDEZZE VETTORIALI: Grandezze con proprietà compatibile e quelle della posizione di un punto materiale.
• GRANDEZZE SCALARI: Grandezze espresse da una unica direzione.

f) PRODOTTO MISTO \( ( \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)\)

\[ ( \vec{v}_1X \vec{v}_2)\cdot \vec{v}_3 = \det \begin{vmatrix} v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \\ v_{3x} & v_{3y} & v_{3z} \end{vmatrix} \]

è nulla se due qualunque dei vettori sono fra loro paralleli.

\[ Se \ \vec{v_1} = (v_{1x},v_{1y},v_{1z}) \ sono \ proporzionali \ a \ (v_{2x},v_{2y},v_{2z}) \]

quindi \ il \ determinante \ è \ nullo.

1) LA LEGGE ORARIA DI UN PUNTO MATERIALE!

\( x(t)=x_0+ v_{0x}t + \frac{1}{2} a_x t^2 \ \ \ \ y(t)=x_0+ v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2 \ \ \ \ z(t)=z_0+ v_{0z}t + \frac{1}{2} a_z t^2 \)

consideriamo un punto materiale con 3 uniche coord. spaziali

- Il moto cioè moto se associamo con variazioni le coordinate

in funzione del tempo

\[\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \]

=> EQ. PARAMETRICHE DEL MOTO

- lo si può scrivere anche così il moto: \( \vec{r} = \vec{r}(t) \)

\( \vec{r} = \) v.r. (o v.c.), se applicato nel origino ha come estremo

l'istante la posizione localizzata punto.

1- le eq. parametriche sono uno dei modi in cui si può scrivere

le vettore posizione.

2- Un altro modo è quello di predificare, come funzione

del tempo, il modulo \( r \) di r e due angoli per individuazione

settore. v e eq.

3- e dato anche LEGGE ORARIA del punto materiale considerato.

4-Il punto materiale si muove secondo una legge oraria la

cui rappresentazione cartesiana è:

\[ x=0. \]

\[ y = b + ct, \ \ \ \ c\gt0, \ \ b \ \epsilon \ \ costanti. \]

\[ z = 0 \]

- per cui veloce al tempo t,\ x,y,z sono nulli.

- punto sempre sull'asse y (=TRAETTORIA) => MOTO RETTILINEO

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Es. N. 9 P. 48

Un punto materiale si muove sperando una legge oraria la cui rappresentazione cartesiana è:

• x = 2t
• y = 2t+1
• z = 4

Calcolare la velocità media relativa all'intervallo di tempo compreso tra t₀ = 0 e t₁ = 5.

• V_x = [x(t₂) - x(t₁)] / (t₂ - t₁) = (2t₂ - 2t₁) / (t₂ - t₁) = 2 m/s
• V_y = [y(t₂) - y(t₁)] / (t₂ - t₁) = ([2t₂+1] - [2t₁+1]) / (t₂ - t₁) = 2 m/s
• V_z = [z(t₂) - z(t₁)] / (t₂ - t₁) = 0 m/s

Nota: La velocità tangenziale può subire una decomposizione nelle componenti tangenziali e normale. In questo caso, il moto è uniforme.

La velocità totale sul piano xy, poiché V_z = 0:

• V_t = √V_x² + V_y² = √2² + 2² = √8 = 2√2 m/s

Es. N. 9 P. 48

Un punto materiale si muove sperando una legge oraria la cui rappresentazione cartesiana è:

• x = t² - t²
• y = 2t + 1
• z = 0

Calcolare la velocità media relativa all'intervallo di tempo compreso tra t₁ = 1 e t₂ = 5.

• V_x = [x(t₂) - x(t₁)] / (t₂ - t₁) = ([25 - 1] - [1² - 1]) / 4 = 12 m/s
• V_y = [y(t₂) - y(t₁)] / (t₂ - t₁) = ([2t₂+1] - [2t₁+1]) / 4 = 2 m/s
• V_z = [z(t₂) - z(t₁)] / (t₂ - t₁) = 0 m/s

Dividendo tutto per sen(x), ottengo:

sen(x) < tg(x)

sen(x) < sen(x)cos(x)

sen(x) < sen(x) <k(x) sen(x)cos(x)

1cos(x) sen(x)

(ribalto ed inverto)

cos(x) < sen(x) <1x

La disequazione vale anche per -_π/2 < x < 0 perché sen x è pari:

• però il lim cos(x) = 1 ed il lim = 1

x→0 x→0(f(x)) (h(x))

• per il teorema dei confronti:

x>0

• x > 0 f(x) < h(x) < g(x)

• quindi lim g(x) = 1

• abbiamo cos x (sen x <x

x→0lim

1x→0

lim sen xx→0x

c.v.d.

Altre definizioni:

Una funzione f(x) si dice continua nel punto x₀ se essa è definita in x₀ (se f(x₀)) e esiste il limite lim f(x), e se questedue quantità coincidono

lim f(x) = f(x₀)

x→x₀