Fisica 2 - Appunti

È la forza di interazione tra due cariche di segno qualunque

In generale, se le cariche hanno lo stesso segno la forza è di tipo repulsivo, se hanno segno opposto sarà di tipo attrattivo

F si muove lungo la congiungente delle cariche.

SE Q₁ NON SI TROVA NELL'ORIGINE:

r₁₂ è esprimibile come

PRESENZA DI TRE CARICHE:

Vale il principio di sovrapposizione delle forze.

Campo Elettrico

La carica puntiforme aggiunge una proprietà allo spazio circostante, poiché una carica di prova q risente della forza di Coulomb di modulo

F quindi è una funzione di tre variabili (Q, q, r) ed introducendo il concetto di campo si elimina la dipendenza dalla carica di prova, infatti:

Formalmente, la definizione di campo si ottiene per:

Il campo è sempre tangente alle linee di forza e dove le linee sono più fitte il campo ha maggiore intensità.

Per un dipolo elettrico vale la sovrapposizione delle cariche:

dipendente dal tipo di cariche

Teorema di Gauss

Se considero una superficie carica chiusa, la risultante del campo è E₀ e il flusso è la somma delle cariche interne rapportata con la costante dielettrica del vuoto ε₀.

Φ_s(E₀) = ∑Q_i / ε₀

Dimostrazione

Considero una superficie dove

dΦ(E₀) = E₀ · dS = E₀ dS cosα

considerando la dS proiettata ortogonalmente a n̂, posso scrivere

dΦ(E₀) = E₀ S_m Esplicito ε₀ = 1 / 4πε₀ Q / r²

dΦ(E₀) = 1 / 4πε₀ Q / r² dS cosα ma dato che dS cosα = dS angolo

scritto dΦ(E₀) = Q / 4πε₀ ∫dΩ \to Φ_s(E₀) = Q / 4πε₀ ∫_A dΩ = Q / ε₀

poiché la somma degli angoli interni della sfera è 4π.

■

OSS: Se la carica è interna si individuano due superfici A e B per le quali cosα sarà positivo e negativo. La somma dei flussi

darà zero poiché si sottrae lo stesso angolo.

“Il flusso che entra è uguale al flusso che esce”

ES: Campo di un filo infinito con Gauss

Costruisco una superficie cilindrica passante per l'asse di simmetria coincidente con io pers.

Φ = ∫_S E_nds

Noto che il campo è simmetrico quindi, applicando Gauss:

∫ E_nds = λlε / ε₀ e ∫ E_nds = λl / ε₀

Potenziale a distanza r da 0:

V(r̅) = 1 / 4πε₀ ∫ P(r̅ - r̅') / |r̅ - r̅'|³ d³x

(...) in forma infinitesima per dz:

V(r̅) = 1 / 4πε₀ ∫ dP(r̅ - r̅') / |r̅ - r̅'|³

= 1 / 4πε₀ ∫ P(r̅ - r̅') dz / |r̅ - r̅'|³

ipotizzo che r̅ = r̅', avess che si trovi nell'origine, quando il rapporto diventa:

(1 / ...) ∇ (1 / [r̅ - r̅'|^3)

Se r̅' non fosse nullo, si avrebbe:

r̅ - r̅' / |r̅ - r̅'|³ = -∇ (1 / [r̅ - r̅'|)

= ∇ (1 / ...)

∇ (fdx) = - r̅ ∇² + r̅ ^...

→ V(r̅) = 1 / 4πε₀ ∫ ...

Δf = ∇.

→ V(r̅) = 1 / 4πε₀ ∫ ...

Si sono trovate quindi degli integrali che corrispondono alle distribuzioni di carica

ρ_pol = - ∇ . P, J_pol = P̅

Conseguenze su Maxwell:

1. ∇ . E = ρ/ε₀

aggiungendo ρ_pol: ε₀ ε ^... + ρ + ρ_pol = ρ

= D

= ...

∇ . D - ρ

Equazioni di Maxwell per dielettrici

La capacità del condensatore è esprimibile anche come

V_A - V_B = ∫_A^B E_o dℓ = _{Q d}/^{ε_o S} = Q d / ε_o S ⇒ C = ε_o S / d

CONDUTTORE CAVO

La superficie del conduttore ha campo nullo, per definizione del conduttore applico Gauss:

∯_S E · ds = _σ/^ε_o (-) = 0 = _Qint/^ε_o

Quando la carica è distribuita per rendere il conduttore nullo. Nella cavità considero una linea chiusa del E e so che La circolazione di E è nulla poiché il campo è conservativo

∮ E · dℓ = 0

Il campo totale del conduttore è dato da

∮ E_c · dℓ + ∮ E_o · dℓ = 0 è nullo anche il campo nella cavità

POTERE DISPERSIVO DELLE PUNTE

Il potenziale deve essere costante quando ciascuna sfera si comporta come una carica isolata.

V₁ = _Q1/^{4πε_o R₁}; V₂ = _Q2/^{4πε_o R₂}

⇒ _Q1/^R₁ = _Q2/^R₂ sostituisco l’espressione della distribuzione sferica

→ _{4πεo R2²}/^R₁ = _{4πεo R1²}/^R₂ = _σ1/^σ₂ = _R2/^R₁

La densità maggiore di carica si trova dove il raggio locale della punta è minore

Th di Coulomb: _E1/^E₂ = _R2/^R₁

Considerando un'unica sezione il flusso non è nullo, ma è costante

Φ(B_s) = BS

e avendo

NI = ∫H · dl = ∫^s₀ B μ_s = Φ ∫^s₀ 1 · dl µS

=Φ ∫^s₀ 1 μ_s

=> NZI = Φ ∫^s₀ 1 · dl μ_s

LEGGE DI HOPKINSON

da cui si ricavano:

Reluttanza R = ∫^s₀ 1 · dl μ_s

Forza magnetomotrice F = rή

La permeabilità magnetica indica quanto il materiale da predispo a farsi attraversare dal campo magnetico.

AUTINDUZIONE

È una conseguenza delle variazione di flusso / variazione spira / variazione di corrente; significa una forza elettromotrice autoindotta, proporzionale all'aumento di corrente nel circuito. Essa si muove sempre in modo da annullare gli effetti della variazione di flusso. Dato che la corrente può presentare discontinuità si considera l'autoinduzione; per dimensioni del circuito immutate :

Φ_a = LI

caso del solenoide Φ = μ₀nNIS , L = μ₀n²S · l ,   fem = - L dI dt

MUTUA INDUZIONE

La corrente variabile I₁(t) della prima spira genera un campo B₁(t) che investe la seconda spira. B₂(t) ha effetto su si altra spira ed è generato (autoinduzione) sia sulla spira che investe.

COEFFICIENTE DI MUTUA INDUZIONE

Φ₂₁(B_a) = L₂I₁

Φ₂₁(B_a) = ∫_SB₂·dS = M₂₁I₁