Appunti Fisica

Kè

Kè ̅ ̅

qÑ = “ ∇ ∙ Æ qÑ ⟹ ∇ ∙ Æ = −

⟹ “− Kj

Kj

é é

L'equazione è chiamata equazione di continuità e rappresenta l'espressione matematica

qÑ

del principio di conservazione della massa. Se il moto è stazionario, la massa contenuta

Kè Æ̅

all'interno di un qualunque elemento di volume del fluido non varia. Ciò implica:

= 0 ⟹ ∇ ∙ = 0

Kj ̅ = 0

Æ ∙ } q

∮

î

̅

Æ

oppure, in forma integrale:

Il campo vettoriale per un moto stazionario è dunque solenoidale ed il flusso entrante

è

attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale al flusso uscente. Se il fluido è

incompressibile, è anche spazialmente uniforme e l'equazione di continuità diventa:

þŠ þŠ ‰ ‰

∇ ∙ r̅ = 0 Ír̅ ∙ } q = 0

î

• EQUAZIONE DI BERNOULLI Consideriamo un fluido incompressibile e non

viscoso (fluido perfetto) che fluisca di moto

stazionario lungo il tubo di flusso mostrato in

figura. Consideriamo un tubo di flusso in cui sia

variabile lungo la lunghezza del tubo sia la

sezione trasversale che l'altezza rispetto ad un

dato livello di riferimento. Il fluido entra

- -

r

attraverso la sezione (di area ) con

- + +

r

velocità ed esce dalla sezione (di area )

+

j con velocità . - +

∆j, ∆j

Il fluido che ad un certo istante è compreso tra le sezioni ed . Dopo un intervallo

k ˜

di tempo in conseguenza del moto, risulterà compreso tra le sezioni ed . Se

- k

∆j

è sufficientemente piccolo, si può ritenere che le sezioni ed abbiano la stessa area,

+ ˜

∆â ed . Inoltre, sempre per piccolo, si può considerare

ed analogamente le sezioni

- - k

r Ɖ

che la distanza (tra le sezioni ed ) sia percorsa dal fluido con velocità costante

- + + ˜

r ∆â = r ∆j ∆â = r ∆j

, ed analogamente la distanza (tra le sezioni ed ) sia percorsa con velocità

+ - - + +

costante . Sarà allora: , 50

Il fluido si muove sotto l'azione della forza di gravità e delle forze di superficie che

derivano dall'interazione col fluido esterno. Siccome il fluido è per ipotesi perfetto, non

ci sono sforzi di taglio per attrito interno sulla superficie tubolare laterale che costituisce

il contorno dell'elemento di volume considerato e pertanto le forze esercitate su tale

¦

¦

superficie sono perpendicolari alla superficie stessa (e quindi alle linee di corrente). Le

- + - +

§} §} §} §}

= ¦ = ¦

e esercitate dal fluido esterno sulle sezioni di base ed producono,

pressioni - + - - - + + +

rispettivamente le forze di superficie ed : , - k

Essendo il fluido incompressibile, il volume di fluido compreso tra le sezioni ed è

+ ˜

∆ ∆ = è ∆â = è ∆â

uguale a quello compreso tra le sezioni ed . Entrambi i volumi contengono dunque

- - + +

la stessa massa : ∆j.

Applichiamo ora il teorema dell'energia cinetica relativamente alla variazione di

configurazione che si realizza nell'intervallo di tempo Dopo aver osservato che il

lavoro delle forze esercitate sulle pareti del tubo è nullo perché tali forze sono

} }

= § ∆â − § ∆â

perpendicolari alle linee di corrente, si può dire che il lavoro globale delle forze di

î - - + +

§}

superficie si riduce a: +

Il segno negativo davanti ad deriva dal fatto che le forze di superficie sono dirette

= ¦ ∆â − ¦ ∆â

verso l'interno della porzione di fluido considerato. Si avrà quindi:

î - - - + + +

∆â = ∆â = ⟹ = ¦ − ¦

∆s ∆s

- - + + î - +

Siccome ∆ _

L'unica forza di volume presente è la forza di gravità e, per quanto detto sopra, il lavoro

+

_ = −• ∆ _ − _ = • ∆ _ − _

di questa coincide col lavoro relativo allo spostamento di una massa dalla quota

- é + - - + ∆j

alla quota : ∆

La variazione dell'energia cinetica del sistema nell'intervallo di tempo coincide con la

∆Ð = ∆ r − ∆ r

- -

variazione di energia cinetica che subisce la massa di fluido passando dalla

++ -+

+ +

configurazione iniziale a quella finale, ossia: + = ∆Ð

La conservazione dell'energia richiede che il lavoro di tutte le forze uguagli la variazione

î é

¦ − ¦ + • ∆ _ − _ = ∆ r − ∆ r

∆s - -

dell'energia cinetica del sistema, per cui: ++ -+

- + - + + +

∆ è

Per cui: 1 1

Dividendo per e moltiplicando per si ottiene infine l'equazione di Bernoulli:

¦ + è•_ + èr = ¦ + è•_ + èr

-+ ++

2 2

- - + +

Questo risultato può essere esteso ad un tubo di flusso qualunque purché pressione,

è•_

quota e velocità possano essere considerate uniformi sull'intera sezione del tubo.

èr

-

Nell'equazione, il termine rappresenta l'energia potenziale gravitazionale per unità

+ ¦ + è•_,

di volume (densità di energia potenziale gravitazionale) mentre il termine è

l'energia cinetica per unità di volume (densità di energia cinetica). La pressione

èr

-

che sarebbe presente anche in assenza di moto, prende il nome di pressione statica. il

+

termine legato al moto del fluido, viene chiamato pressione dinamica. 51

-TERMODINAMICA

In una concezione ampia e piuttosto generica, possiamo dire che la termodinamica

studia sia le proprietà macroscopiche della materia nei suoi vari stati di aggregazione,

sia le caratteristiche dinamiche interne dei corpi alla luce della loro costituzione

atomico-molecolare. La struttura concettuale della termodinamica classica, che così

venne sviluppandosi essenzialmente nel secolo scorso, è basata su alcuni postulati, noti

come “Principi della Termodinamica”, ricavati dallo studio sperimentale delle variazioni

delle proprietà dei corpi a causa della variazione della temperatura. Questi principi

hanno una validità generale e consentono la corretta previsione dei valori dei parametri

macroscopici che descrivono le proprietà globali dei corpi nelle loro trasformazioni

indotte dallo scambio di energia con l'ambiente esterno.

Con il termine sistema termodinamico intenderemo un corpo costituito da una o più

sostanze chimicamente definite considerate nei loro vari stati di aggregazione. Studiare

un sistema termodinamico vuol dire osservare e interpretare, alla luce dei principi che

verranno stabiliti, le variazioni delle proprietà macroscopiche del sistema per effetto di

uno scambio di energia con altri corpi che costituiscono l'ambiente esterno. Un sistema

è aperto se è in grado di scambiare sia materia che energia con l'ambiente esterno, si

dice chiuso se può scambiare solamente energia. Se gli è impedito sia lo scambio di

materia che quello di energia, il sistema si dice isolato. I parametri che servono a

descrivere globalmente lo stato di un sistema termodinamico si chiamano variabili di

stato o coordinate termodinamiche. Le variabili di stato sono di due tipi: quelle collegate

a proprietà locali che, perciò, non dipendono dall'intero sistema sono dette intensive

(pressione, densità, temperatura, ecc…). quelle che invece coinvolgono proprietà globali

dell'intero sistema sono chiamate estensive (massa, volume, energia interna, ecc…).

Quando un sistema viene isolato dall'ambiente esterno, dopo un tempo

sufficientemente lungo le variabili di stato estensive finiscono per assumere un valore

costante nel tempo e quelle intensive un valore uniforme in ogni punto del sistema e

costante nel tempo. Il sistema in queste condizioni si trova in uno stato di equilibrio

termodinamico.

• EQUAZIONE DI STATO Ad ogni stato di equilibrio termodinamico corrisponde

un determinato valore per ciascuna delle variabili di

stato che caratterizzano il sistema. Consideriamo, per

semplicità, che il sistema sia costituito da una data

massa di gas chimicamente omogeneo contenuta in

un recipiente cilindrico munito di pistone e dotato di

manometro e di termometro. La posizione del pistone

consente di determinare il volume del gas, mentre il

¦, Ñ ¡,

manometro ed il termometro indicano rispettivamente il valore della pressione e quello

della temperatura. Delle tre coordinate termodinamiche e soltanto due possono

essere variate arbitrariamente. La terza rimane automaticamente determinata dai valori

52

# ¦, Ñ, ¡ = 0

assunti dalle prime due. Questa circostanza dimostra che le tre coordinate

termodinamiche sono fra loro legate da una relazione del tipo:

Tale relazione è l'equazione di stato del sistema. Ogni sistema termodinamico ha la sua

¦, Ñ, ¡,

equazione di stato che ne esprime le proprietà caratteristiche. Una volta determinata

l'equazione di stato, ogni terna di valori delle coordinate che soddisfino

l'equazione, individua uno stato del sistema.

¡ ¦

La temperatura di un corpo è definita come un numero proporzionale alla pressione

di una massa di gas sufficientemente rarefatto e mantenuto a volume costante in un

¡

opportuno contenitore messo a "contatto termico" con il corpo, secondo la relazione:

¡= ¦

n

¦

n

¦

n ¡

dove è il valore che assume la pressione del gas che si trova nello stato termico di

n

riferimento e è il valore convenzionalmente assegnato a questo stato. Di qui si ricava

che la pressione di un gas rarefatto, che si trova a volume costante, è direttamente

proporzionale alla sua temperatura.

Supponiamo ora di mantenere una mole di un gas in un contenitore cilindrico munito di

pistone scorrevole senza attrito a "contatto termico" con un termostato in modo che la

sua temperatura possa rimanere costante nel tempo. Mediante una opportuna azione

esterna spostiamo molto lentamente il pistone in modo da realizzare una

¦ Ñ.

trasformazione isotermica molto prossima ad una quasi-statica, e misuriamo di volta in

volta la pressione ed il volume Si può subito constatare che quando il volume

aumenta la pressione diminuisce e viceversa. Si trova cos&ig