Appunti Fisica

1

-GRANDEZZE FISICHE

Sono grandezze fisiche gli enti per cui è possibile definire una unità di misura e un

criterio di confronto di questa con la grandezza data (massa, la forza, la lunghezza,

ecc…). Gli indici di stato fisico individuano invece uno stato di un sistema mediante

numeri fissati con regole ad hoc su una scala arbitraria (la temperatura, ecc…).

Si costituisce una classe di grandezze fisiche quando è possibile stabilire in maniera

inequivocabile un complesso di operazioni mediante le quali:

• Presi due qualsiasi enti dell'insieme, si è in grado sempre di dire se uno dei due è

maggiore o minore o uguale all'altro (criterio di confronto)

• Si possa definire la somma di due enti (criterio di somma)

• Si possa definire uno degli enti come unità (criterio di misura)

Diremo misura di una grandezza fisica il numero che rappresenta il rapporto tra la

grandezza considerata e quella fissata come unità.

La misurazione di una grandezza può essere fatta sostanzialmente in tre modi:

• Misurazione diretta, cioè consiste nel confrontare mediante un opportuno

strumento una data grandezza con un'altra della stessa specie, scelta come unità,

e nel determinare quante volte la grandezza data contiene l’unità o una sua

frazione conosciuta

• Misurazione indiretta, cioè utilizzare operazioni matematiche che legano la

grandezza data ad altre grandezze misurabili della stessa specie e ricavare il

numero che esprime la grandezza data in funzione dell’unità di misura

• Misurazione con strumenti tarati, cioè usare un apparecchio in grado di stabilire

una corrispondenza biunivoca tra il valore di una certa grandezza fisica che si

vuole misurare e un numero che si legge sullo strumento

= 9,82 ± 0,02

• ERRORI DI MISURA ∆ℓ = 0,02

Data una misura del tipo: ∆ℓ = ℓ −ℓ /2

• Errore assoluto: = ∆ℓ/ℓ 0,02/9,82)

È possibile trovare l’errore assoluto anche facendo:

= 1/∆ℓ

• Errore relativo: (nell’esempio:

• Sensibilità (dello strumento):

Gli errori che si commettono nell'operazione di misura sono di tre tipi:

• Errori sistematici, cioè sono dovuti a difetti del metodo o delle apparecchiature di

misura utilizzate

• Errori statistici, cioè attribuiti a numerose cause di varia natura che agiscono in

maniera del tutto casuale

• Errori strumentali, cioè derivati dalla sensibilità dello strumento 2

∆ = − /

Effettuiamo un numero di misure, poi prendiamo il valore massimo e quello minimo e

calcoliamo , dove è un numero che scegliamo noi. Riportiamo

∆ , +∆ , + 2 ∙ ∆ ,…,

nell’asse delle ascisse di un sistema cartesiano i valori che vanno da a , divisi

∆

e sull'asse delle ordinate il

da intervalli

numero di risultati della misura che cadono all'interno di ciascun intervallo . Si

ottiene così un istogramma a valori discreti. Se si aumenta

∆

sempre più il numero delle misurazioni e si diminuisce

l’ampiezza dell’intervallo (prendendo grande),

l’istogramma avrà un andamento del tipo:

!" = ∆ ∙ #

Questo grafico è paragonabile alla funzione di distribuzione normale o funzione di

Gauss, che ha un andamento di questo tipo: ('( *

# = ∙ ' )

+, *

$√2&

$

$ # /

Il parametro determina la larghezza della curva. La distribuzione è stretta per un

valore di piccolo. La funzione fornisce la probabilità di ottenere un valore

della grandezza in seguito ad una misura.

È già stato detto che la misurazione di una grandezza non dà mai il suo vero valore.

, , … ,

Tuttavia è possibile dimostrare che il valore più probabile della grandezza è fornito dalla

- + .

+ +⋯+ 1 .

media aritmetica degli valori ottenuti nella sua misurazione ripetuta

< >= = ∙2 valore medio

- + . 3

34-

$

Il valor medio rappresenta la migliore stima possibile del valore vero della grandezza.

La miglior stima per la larghezza della distribuzione di Gauss è data dalla deviazione

standard, definita dalla relazione:

1 .

$=> ∙2 −< > deviazione standard

+

−1 3

34-

La deviazione standard rappresenta l'incertezza in una singola misura e fornisce il limite

di confidenza della misura.

L’incertezza nella stima del valor medio che rappresenta la migliore approssimazione al

valor vero della grandezza misurata è data da: 3

1 $

.

>

$ = ∙2 −< > =

+

−1 √n

C(D 3

34-

• PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Supponiamo di voler misurare l’area di un rettangolo di cui abbiamo le misure

= E ± ∆E F = G ± ∆G

dell’altezza e della base:

= ∙ F = E ± ∆E ∙ G ± ∆G = E ∙ G ± E ∙ ∆G + G ∙ ∆E + ∆E ∙ ∆G

,

∆E ∙ ∆G = H ± ∆H = E ∙ G ± E ∙ ∆G + G ∙ ∆E

possiamo trascurarlo perché è una quantità molto piccola, quindi:

|∆H| |∆E| |∆G|

E ∙ ∆G + G ∙ ∆E

Con un errore relativo dato dalla somma degli errori relativi delle due misure:

= = +

H E∙G E G

KH K E ∙ G

Si può anche scrivere che:

= =E KH KH

KG KG |∆H|

⟹ = ∙ ∆G + ∙ ∆EM

J M

K E ∙ G

KH KG KE

= =G

KE KE

Quindi, nel caso in cui la grandezza da determinare sia una funzione nota di grandezze

KP

.

fra loro indipendenti e misurabili direttamente, si ha che:

|∆P|

N = # O , O , … , O ∙ ∆

⟹ = M

2 M K

- + . 3

3

34-

N O , O , … , O

- + .

= O ∙ O ∙ … ∙ O

QN U,

R

R R

Nel caso in cui la dipendenza funzionale di dalle grandezze indipendenti

T

S * .

- +

|∆P| ∆

.

sia di tipo monomiale si ha che:

= ∙

2 MV M

3

P 3 3

34-

-CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

È necessario, innanzitutto, precisare come poter individuare senza ambiguità la

posizione di un punto materiale. Per far questo, basta associare a quattro punti non

complanari dello spazio, le cui distanze relative non mutino nel tempo, un sistema di

[\

W X̂ Ẑ

assi cartesiani avente l'origine in uno di essi e gli assi passanti per gli altri tre. Il sistema

di riferimento è individuato dall'origine e da tre versori , e che forniscono

] W

direzione ed orientamento degli assi coordinati. Definita l'unità di misura della

[\

̅ = ] − W = ∙ X̂ + P ∙ Ẑ + _ ∙

lunghezza, la posizione di un punto rispetto ad è univocamente determinata dalle

componenti del vettore: 4

[\ [\

X̂ ∙ X̂ = Ẑ ∙ Ẑ = ∙ = 1

Per le seguenti relazioni: [\ [\

X̂ ∙ Ẑ = Ẑ ∙ = ∙ X̂ = 0

[\

̅ ∙ X̂ = ∙ X̂ + P ∙ Ẑ + _ ∙ ∙ X̂ =

Q U

Si ha che: [\

̅ ∙ Ẑ = ∙ X̂ + P ∙ Ẑ + _ ∙ ∙ Ẑ = P

Q U

[\ [\ [\

̅ ∙ = ∙ X̂ + P ∙ Ẑ + _ ∙ ∙ = _

Q U ]

W ̅ `

Di uso frequente sono anche le coordinate polari. La posizione del punto è ora

[\

̅

individuata rispetto ad un polo dal modulo del vettore , dall'angolo che il vettore

[\

W, a ̅

forma con il versore di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, con origine

X̂ `

nel polo e dall'angolo che la proiezione di sul piano perpendicolare a forma con

a

il versore . L'angolo è di solito indicato col nome di distanza zenitale o colatitudine

≥0

mentre l'angolo è noto come azimut o longitudine. Risulta in ogni caso:

0 ≤ a < 2&

0≤`≤&

̅=d

=√ ̅∙ + P + _

+ + +

_

` = cos f g

'- P

a = tan f g

'-

[\ [\

̅ ̅ = ̅ + ̅ ̅ ̅

∥ i ∥ i

\

̅ = ∙ cos ` ∙ [

È possibile scrivere come ( parallelo a e perpendicolare a ), dove:

∥ [\

= ∙ sen ` ∙

̅

i

Usando allora la definizione di prodotto scalare fra due vettori e le condizioni di

̅ ∙ X̂ = ∙ sen ` ∙ cos a =

ortonormalità, si ottiene: i

̅ ∙ Ẑ = ∙ sen ` ∙ sen a = P

i \

̅ ∙ [ = ∙ cos ` = _

∥ j j j ] ] ]

- + k - + k

Se la particella in istanti successivi , , , …, assume posizioni diverse , , , …,

diciamo che essa è in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. L'insieme

delle successive posizioni occupate dalla particella nel suo moto si chiama traiettoria. Se

la particella, con lo scorrere del tempo, occupa sempre la stessa posizione, si dice che

essa è in quiete rispetto al sistema di riferimento scelto. Può accadere che la stessa

particella, osservata da due sistemi di riferimento diversi, risulti in moto rispetto all'uno

e in quiete rispetto all'altro. Ciò porta a stabilire un concetto fondamentale: lo stato di

quiete o di moto di una particella dipende dal sistema di riferimento dal quale viene

]

j

osservata. - -

̅ = ̅ j j ∆j = j − j

la particella occupi la posizione rappresentata dal

Supponiamo che nell'istante

- - + + -

vettore e, nell'istante dopo l'intervallo di tempo , la posizione

5

] ̅ = ̅ j ∆ ̅ = ̅ − ̅

+ + + + -

∆j.

rappresentata dal vettore . La differenza rappresenta lo

spostamento subito dalla particella nell'intervallo di tempo Risulta immediatamente:

[\

∆ ̅= − ∙ X̂ + P − P ∙ Ẑ + _ − _ ∙

+ - + - + -

],

H = H j

D'altra parte, se è nota la traiettoria del punto il suo moto può essere determinato

]

dalla funzione che fornisce il valore istantaneo dell'ascissa curvilinea del punto

misurata a partire da un'origine prefissata sulla traiettoria stessa, e definisce

∆ ̅ ∆H ] ]

l'equazione oraria del moto. È importante osservare che il modulo del vettore

- +

∆ ̅ ∆H

spostamento non coincide con la lunghezza dell'arco effettivamente

∆H lim =1

|∆ |

̅

percorso dalla particella. Tuttavia, il rapporto tra il modulo di e tende all'unità

∆l

∆l→n

quando tende a zero:

= = p̅

lim ̅ ̅

∆ o

∆l ol

∆l→n

p̅ q ̅

Mentre è:

è il vettore di modulo unitario tangente alla traiettoria e parallelo a .

∆ ̅ ∆j

• VELOCITÀ

Il rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo durante il quale ha

∆ ̅

avuto luogo suddetto spostamento, è ancora un vettore che ha la stessa direzione e lo

∆ ̅

stesso verso di e viene chiamato velocità media della particella.

r̅ = t u

∆j H

s

∆j ] ]

+ -

r̅

Per estremamente piccolo, è molto vicino a

s ]

e il vettore ha una direzione che differisce molto

-

∆j

poco dalla tangente alla traiettoria in . Cosicché,

quando tende a zero, il vettore velocità media

]

tende ad assumere la direzione tangente alla

- r̅ = lim =

̅ ̅

∆ o

traiettoria in e prende il nome di velocità

∆v ov

∆v→n q ̅

istantanea. Si scrive:

q ̅ = r̅ ∙ qj

Il fatto che la velocità istantanea sia parallela allo spostamento infinitesimo è

evidente, se riscriviamo la formula come: (qj è uno scalare)

[\

X̂ Ẑ

[\

r̅ = ∙ X̂ + P ∙ Ẑ + _ ∙

Q U

o

Se il sistema di riferimento è fisso, i versori , e non dipendono dal tempo. Si ha

ov

allora che:

Le componenti del vettore velocità istantanea si ottengono dunque derivando le

= r = r =

r o( ow ox

corrispondenti componenti del vettore posizione:

( w x

ov ov ov

r̅

, ,

Note le componenti del vettore , se ne determina il modulo mediante la relazione: 6

q qP q_

+ + +

z{

|r̅ | + r + r = +{ +{

= r = yr | | |

+ + + qj qj qj

( w x

r̅ q ̅ q ̅ qH qH

Possiamo riscrivere anche come:

r̅ = = ∙ = p̅ ∙ = p̅ ∙ r

qj qH qj qj

= r

ol

ov

Da qui si vede che misura il modulo della velocità.

r

• ACCELERAZIONE

La velocità di una particella può essere diversa a seconda dell'istante in cui viene

r̅ j j = j + ∆j.

r̅

considerata. La rapidità con cui la velocità varia si chiama accelerazione. Precisamente,

- + - + -

∆j

e le velocità della particella in corrispondenza degli istanti e

siano r̅ − r̅ ∆r̅

Chiameremo accelerazione media relativa all'intervallo di tempo il rapporto:

E = = t u

+ -

j − j ∆j H

s +

+ -

Con considerazioni analoghe a quelle fatte per la velocità, si

∆r̅ qr̅

definisce l'accelerazione istantanea:

E} = lim =

∆j qj

∆v→n

qr̅

L'accelerazione istantanea è dunque un vettore parallelo alla variazione infinitesima di

E = = E = = E = =

o~

velocità . Le sue componenti cartesiane sono:

o~ o ( o w o~ o x

* * *

€

• •

( w x

ov ov ov ov ov ov

* * *

, ,

|E}| = E = yE + E + E

(+ w+ x+

È, in molti casi, utile decomporre l'accelerazione lungo la tangente e la normale alla

E} = =

o~} ‚}∙~

o

traiettoria (componenti intrinseche). Per far questo basta utilizzare le definizioni di

ov ov

r p̅

accelerazione e velocità: E} = ∙ p̅ + ∙ r

o‚}

o~

Poiché sia che sono funzioni del tempo, bisogna applicare le regole di derivazione

ov ov

E}

del prodotto di due funzioni:

Da qui si vede allora che l'accelerazione è data dalla somma di un vettore parallelo alla

velocità e di uno perpendicolare ad essa. Al primo termine daremo il nome di

accelerazione tangenziale, al secondo quello di accelerazione normale.

p̅ p̅

p̅

Per calcolare la derivata temporale di osserviamo, in via preliminare, che, essendo

p̅ p̅

un vettore di modulo costante, la sua derivata è un vettore perpendicolare a . Infatti,

= ƒ„HjE j

p̅ ∙ p̅ = p +

essendo che il modulo di è costante significa dire che il prodotto scalare di con sé

= 2p̅ ∙ =0

‚}∙‚} o‚}

o

stesso non dipende dal tempo: ov ov

p̅

e poiché la derivata di una costante è uguale a zero si ha che:

o‚}

ov

Dato che il loro prodotto scalare è nullo, e sono perpendicolari. 7

Il modulo della componente normale dell'accelerazione può essere espresso in funzione

= = ∙r

o‚} o‚} o‚}

ol

del modulo della velocità e del raggio di curvatura della traiettoria. Per far questo,

ov ol ov ol

H

osserviamo che:

dove è la coordinata curvilinea del punto in moto misurata lungo la traiettoria.

∆p̅ = p̅ − p̅ p̅ p̅ ∆p̅

+ - - +

|p̅ | |p̅ |

= = 1.

Dato , il triangolo formato da , e è isoscele

- +

perché ∆a ∆a

Semplici considerazioni geometriche consentono di concludere che:

|∆p̅| |p̅ |

= 2 ∙ ∙ sen = 2 ∙ sen

{ | { |

2 2

-

] ] p̅

- + -

p̅ … ∆a.

le rette passanti per e e perpendicolari, rispettivamente, a

+ ] ! …] ≈ …]

]

e , si intersecano in un punto e formano un angolo anch'esso uguale a

- + - +

∆H ] ] ∆H = ! ∙ ∆a

e sono sufficientemente vicini, detta la lunghezza del segmento ,

Se - +

la lunghezza dell'arco è con buona approssimazione data da:

∆‹

+∙ˆ‰Šf g

‡ ‡ = lim = lim =

o‚} ∆‚} -

*

ol Œ∙∆• Œ

∆l

∆l→n ∆l→n

∆H ∆p̅ …]

Si ha allora: p̅ ]

Ž

D'altra parte, quando tende a zero, tende ad assumere la direzione del

- - = ∙ Ž

o‚} o‚} -

perpendicolare a nel punto e diretto verso il centro di curvatura. È

versore ol ol Œ

= ∙ Ž

questa la direzione del vettore . Possiamo scrivere così:

o‚} ~

ov Œ

E dunque: E} = ∙ p̅ + ∙ Ž

o~ ~ *

Œ

ov

p̅ Ž E}

Infine, possiamo scrivere l’accelerazione come:

Poiché ed sono versori mutuamente perpendicolari, si può ricavare il modulo di

+

yf +

E = +

g f g

o~ ~ *

Œ

ov

mediante la relazione:

q qr

• +

DALL’ACCELERAZIONE ALLA TRAIETTORIA

⎧ = = E

(

qj qj

⎪ (

+

⎪ qr

q P v v

+ ⟹ r − r = “ E qj ⟹ − = “ r qj

= = E

w

qj qj

⎨ ( (n ( n (

w

+ v v

⎪ q _ qr

⎪ ) )

+ = = E

x

⎩ qj qj x

+

• v

MOTO RETTILINEO UNIFORME

E=0 ⟹ r = r ⟹ − = “ r qj ⟹ = + r ∙ j

n n n n n

v

= 0 = j r = r j

j )

n n n n n

r

, ,

n n

e sono valori costanti 8

• v

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

E = E ⟹ r − r = “ E qj ⟹ r = r + E ∙ j

n n n n n

v 1

)

v v

− = “ r qj = “ r + E ∙ j qj ⟹ = + r ∙ j + E ∙ j +

2

n n n n n n

v v

j = 0 = j r = r j E = E j

) )

n n n n n n n

E r

, , ,

n n n

, e sono valori costanti

• MOVIMENTO DI UNA PARTICELLA NELLO SPAZIO v

⎧ = + “ r qj = + r ∙ cos V ∙ j

⎪

r = r ∙ cos V n ( n n

⟹

” v

( n

r = r ∙ sen V − • ∙ j ) 1

⎨ v

P = P + “ r qj = P + r ∙ sen V ∙ j − • ∙ j

w n ⎪ +

2

⎩ n w n n

v P

) n n

La traiettoria è dunque una