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6. Il Campo Complesso

In ℝ2 definiamo la struttura algebrica:

  • (a+b i) + (c+d i) = (a+c) + (b+d) i
  • (a,b) ⋅ (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Chiamiamo ℝ2 dotato di questa struttura ℂ. Si prova che ℂ è un campo.

  • (0,0) è l'elemento neutro per la somma
  • Op. di (a,b) = (−a,−b)
  • (0,1) = i è unità immaginaria

ℤ = {a+bi : a = Re{z}, b = Im{z}}

Il campo complesso non è ordinato (> < 0 B(z0, ρ) ⊆ A f(z) = Σn=0∞ an(z - z0)n ∀z ∈ B(z0, ρ)

Dal teorema di derivazione per serie segue che f ∈ Cω(A) e f(n)(z0) = n! an, in partic.

f analitica ⇔ f olomorfa (derivate continue).

Teorema: olomorfa ⇒ analitica

Sia: f: A → analitica su A Sia z0 ∈ A e sia ρ la distanza tra z0 e le

frontiera di A (z0 = ∅ per A ∈ C), ⇒ Nell'intorno |z - z0| < ρ vuole che: ⇒

f(z) = Σm=0∞ an(z - z0)n

Dim

z0 ∈ A B(z0, ρ) ⊆ A. Sia x C B e sia ϱ C ∀z: |z - z0| < ϱ < ρ.

Dalla formula integrale di Cauchy ⇒ f(z) = 1/2πi ∮γ f(w)/w-z dw

w - z = w - z0 + z0 - z = w - z0 - (z - z0) = (w - z0) [1 - (z-z0)/(w-z0)] ⇒

f(z) = 1/2πi ∮γ f(w)/((w-z0)[1 - (z-z0)/(w-z0)]) dw = 1/2πi ∮γ f(w)/((w-z0)) z-z0/w-z0 dw

|z-z0/w-z0| = |z-z0/w-z0| = |z-z0/w-z0| > 1 <⇒ f(z) = 1/2πi ∮γ (f(w)/w-z0) Σn=0∞ (z-z0/w-z0)n dw

Posso scambiare l'integrale con la serie per la convergente totale.

f(z) = Σn=0∞ (1/2πi ∮γ f(w)/w-z0dw) (z-z0) n =Σn=0∞ an(z-z0)n ⇒ f è analitica.

Corollario

f, olomorfa ⇔ f analitica ⇔ f ∈ Cω (solo su [ )

fz₀ < |z - z₀| < ρ1 ⇒ indicato f1 bordo dell'anello si ha che ⇒

f(z) = 1/(2πi) ∮c f(w)/w - z0 dw = 1/(2πi) ∮c f(w)/w - z dw ⇒ Sviluppiamo 2 integrali

∮c f(w)/w - z dw = ∮c1 f(w)/w - z₀ - (z - z₀) (w - z₀) 1 . z - z₀/w - z₀ ⇒

=∮c1 f(w)/w - z₀ 1/(z - z₀)ⁿ⁺¹ dw = ∮c1 f(w)/w - z₀ ∑m=0 (z - z₀)/(w - z₀)m w ⇒ |z - z₀/w - z₀| ⋅ |z - z₀/w - z₀|1 < ρ1

Posso scambiare la serie con l'integrale perchè la serie geometrica converge termalmente

∑m=0∞ ∫ f(w1)/(w - z0)m+1)(z - z0m) dw

f(z) = ∑m=0∞ 1/2πi ∫2i f(w1)/(w - z0)ⁿ⁺¹ (z - z0)m = 1/2πi ∫2i f(w1)/w - z dw - ∫c0 f(w1)/w - z dw =

= (w - z) -w + z = z̄ - z0 + z0 = (z - z0) (w - z0) = (z - z0) [ 1/w - z0 ]

(?)

Lo studio dalle fotocopie!

Dettagli
Publisher
luckylucianooo
A.A. 2017-2018
27 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luckylucianooo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Calamai Alessandro.