Appunti Lezioni Completi Teoria analisi 2

6. Il Campo Complesso

In ℝ² definiamo la struttura algebrica:

• (a+b i) + (c+d i) = (a+c) + (b+d) i
• (a,b) ⋅ (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Chiamiamo ℝ² dotato di questa struttura ℂ. Si prova che ℂ è un campo.

• (0,0) è l'elemento neutro per la somma
• Op. di (a,b) = (−a,−b)
• (0,1) = _i è unità immaginaria

ℤ = {a+bi : a = Re{z}, b = Im{z}}

Il campo complesso non è ordinato (> < 0 B(z₀, ρ) ⊆ A f(z) = Σ_n=0^∞ a_n(z - z₀)ⁿ ∀z ∈ B(z₀, ρ)

Dal teorema di derivazione per serie segue che f ∈ C^ω(A) e f⁽ⁿ⁾(z₀) = n! a_n, in partic.

f analitica ⇔ f olomorfa (derivate continue).

Teorema: olomorfa ⇒ analitica

Sia: f: A → analitica su A Sia z₀ ∈ A e sia ρ la distanza tra z₀ e le

frontiera di A (z₀ = ∅ per A ∈ C), ⇒ Nell'intorno |z - z₀| < ρ vuole che: ⇒

f(z) = Σ_m=0^∞ a_n(z - z₀)ⁿ

Dim

z₀ ∈ A B(z₀, ρ) ⊆ A. Sia x C B e sia ϱ C ∀z: |z - z₀| < ϱ < ρ.

Dalla formula integrale di Cauchy ⇒ f(z) = ¹/_2πi ∮_γ f(w)/w-z dw

w - z = w - z₀ + z₀ - z = w - z₀ - (z - z₀) = (w - z₀) [¹ - ^(z-z₀)/_(w-z0)] ⇒

f(z) = ¹/_2πi ∮_γ f(w)/((w-z₀)[¹ - ^(z-z₀)/_(w-z0)]) dw = ¹/_2πi ∮_γ f(w)/((w-z₀)) ^z-z₀/_w-z0 dw

|^z-z₀/_w-z0| = |^z-z₀/_w-z0| = |^z-z₀/_w-z0| > 1 <⇒ f(z) = ¹/_2πi ∮_γ (f(w)/w-z₀) Σ_n=0^∞ (^z-z₀/_w-z0)ⁿ dw

Posso scambiare l'integrale con la serie per la convergente totale.

f(z) = Σ_n=0^∞ (¹/_2πi ∮_γ f(w)/^w-z₀dw) (z-z₀) ⁿ =Σ_n=0^∞ a_n(z-z₀)ⁿ ⇒ f è analitica.

Corollario

f, olomorfa ⇔ f analitica ⇔ f ∈ C^ω (solo su [ )

f_z₀ < |z - z₀| < ρ₁ ⇒ indicato f₁ bordo dell'anello si ha che ⇒

f(z) = ¹/(2πi) ∮_c ^f(w)/_{w - z0} dw = ¹/(2πi) ∮_c ^f(w)/_{w - z} dw ⇒ Sviluppiamo 2 integrali

∮_c ^f(w)/_{w - z} dw = ∮_c1 ^f(w)/_{w - z₀ - (z - z₀)} (w - z₀) 1 . ^{z - z₀}/_{w - z₀} ⇒

=∮_c1 ^f(w)/_{w - z₀} ¹/_{(z - z₀)ⁿ⁺¹} dw = ∮_c1 ^f(w)/_{w - z₀} ∑_m=0 ^{(z - z₀)}/_{(w - z₀)^m} w ⇒ ^{|z - z₀}/_{w - z₀|} ⋅ ^{|z - z₀}/_{w - z₀|1} < ρ₁

Posso scambiare la serie con l'integrale perchè la serie geometrica converge termalmente

∑_m=0^∞ ∫ ^f(w₁)/_{(w - z0⁾m+1^{)(z - z0m) dw}}

f(z) = ∑_m=0^{∞ 1}/_2πi ∫_2i ^f(w₁)/_{(w - z0)ⁿ⁺¹} ^{(z - z₀)m} = ¹/_2πi ∫_2i ^f(w₁)/_{w - z} dw - ∫_c0 ^f(w₁)/_{w - z} dw =

= (w - z) ^{-w + z} = z̄ - z₀ + z₀ = (z - z₀) (w - z₀) = (z - z₀) [ ¹/_{w - z0} ]

(?)

Lo studio dalle fotocopie!