Appunti Lezioni Completi Teoria analisi 2

C. Il campo complesso

In ² definiamo la struttura algebrica =>[a+b], [c+d] = (a+c, b+d)[a, b], [c, d] = (ac-bd, ad+bc)

Chiaramente ² dotato di questa struttura , si prova che è un campo poiché verifica gli assiomi del campo:

• (0, 0) Elem. neutro per la somma.
• (0, 1) (0, 1) = (-1, 0)
• Opposto di (a, b) = (-a, -b)
• Reciproco di (a, b) [0, 0] ^{a | a2+b2}

Il campo complesso non è ordinato ( )

È algebricamente chiuso ()()

Proprietà

Proprietà = |Re{}| ||Im{}| |Disug. triangolare + | + ||

Il campo complesso

In ℝ² definiamo la struttura algebrica =>(a+b,(c+d)) = (a+c,b+d)(a,b).(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

Chiamiamo ℝ² dotato di questa struttura ℂ. Si prova che ℂ è un campo poiché soddisfa gli assiomi del campo:

• (0,0) Elem. neutro per la somma.
• Opposto di (a,b) = (-a,-b)
• (1,0) ` " ` " ` per il prodotto.
• Reciproco di (a,b) ≠ (0,0) è a-ba²+b²a²+b²

(0,0)+(c,0) = (a+c,0)(a,c)+(c,0) = (a,c,0)=> il insieme delle coppie (a,0) e un sottocampo ed è isomorfo a ℝ

(0,1),(0,1) = (-1,0) Definiamo: i=(0,1),i²=-1 (= unità immaginaria)

(a,b) = (a,0),(b,0) = a + biz = a + bi:{_{a = Re {z}},_{b = Im {z}}}

Il campo complesso non è ordinato (∈ z > < i)

È algebricamente chiuso => Ogni polinomio non costante P(z) a coeff. complessi si annulla almeno in un punto di ℂ.

Proprietà

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

z₁ - z₁ = z₁ - z₁

z₁ . z₂ = z₂ . z₁

z . z² = z² . z z + z= 2 Re {z}

|Re{z}| ≤ |z|

z.z² = 2Im{z}

|Im{z}| ≤ |z|

z = y . x(x-y)>0 (modulo)

Se z ∈ℝ => Norme e valore assoluto coincidono.

|z| ≥ 0

|z| = |z|

|z| = |z|Re_{z} ≤ |z|

z = x[z,z+z₂] ≤ |z| + |z₂|

Forma trigonometrica

|z| Modulo

arg(z) Argomento

E' l'insieme di tutti gli angoli che corrispondono al punto x,y.(x; y)

Dim'un che Θ = Arg(Z) argomento principale con Θ ∈ (-π, π;]

z = ρ[cosΘ + i sinΘ]

arg(0) non è definito!

ρ = √x²+y²

cosΘ = x/√x²+y²

sinΘ = y/√x²+y²

Forma esponenziale

z = ρ_e^iΘ = e^iΘ [cosΘ + i sinΘ]

Formula di De Moivre

zⁿ = ρⁿ[cos(nΘ) + i sin(nΘ)]

Radici n-esime complesse

z_n = w ⇔ w ∈ ℂ / n ≥ 1 ⇔ ∃ m radici n-esime di w, quindi l’operazione (±0)zⁿ - w = 0 ha m soluzioni (includere anche la loro antirecipro)

w = η [cosΘ + i sinΘ]

Θ_n = k 2kπ ∉ ℕ, Θ = 1+k 2kπ/m k= 0, ..., m-1

Funzioni di variabile complessa

A → bf(z) = z² ⇒ z = x + iy

z² = x² - y² + 2i xy

u = f(z) u=m+iv

Re u= U(x,y) = x - y²

Im u= V(x,y) = 2 xy

Eq. differenziali omogenee soluzioni complesse

u = α + β;x x ∈ ℝ

Y(x) = e^{u x} = e^{(α + i β;)x} = e^{α x}(cos(β;x) + i sen(β;x)) = e^{α x}cos(β;x) + i e^{α x}sen(β;x)

Y’(x) = α e^{α x}cos(β;x) - β e^{α x}sen(β;x) + i (α e^{α x}sen(β;x) + β e^{α x}cos(β;x))

4Y(x) = α² e^{α x}cos(β;x) + i α² e^{α x}sen(β;x) - β² e^{α x}cos(β;x) - i β² e^{α x}sen(β;x)→[Y’(x) = 4 Y(x)]

Per le eq di l’ordine omogenee:

y’’ + qy’ + ay = 0 y’’ + a₁y’ + a₀ = 0

Se D > 0 {u₁ = α + i β; u₂ = α - i β; ➡ u₀ ≠ u₀^* ➡ Soluz di M eq lin.

Y₁(x) = e^{u₁ x} - e^{u₂ x} = e^{α x}cos(β;x)

Y₂(x) = e^{u₁ x} - e^{u₂ x} = e^{α x}sen(β;x)

Limite e continuità

f: A ⊆ ℂ ⟶ ℂ w = f(z) | d(z, z₀) = |z - z₀| = √((x - x₀)² + (y - y₀)²)

β(z₀, z) {z ∈ ℂ | |z - z₀| < r} (intorno)

Le distanza gli intorni si devono lo stesso modo di ℝ².

Le nozioni di insieme aperto chiuso frontiera punti di accumulazione sono anche logiche e quelle di ℝ².

lim_{z → z0} f(z) = l ∈ ℂ se z₀ è P.di accumulazione per A di f ➡↔ ∀ε > 0 ∃ ϛ > 0 ∀ z ∈ A 0 < |z - z₀| < δ ⟹ |f(z) - l| < ε

f è continua in z₀ sse lim_{z → z0} f(z) = f(z₀)

PIA