Appunti completi Analisi 2

INTEGRALI DOPPI

Tassello di integrazione

Un tassello di integrazione in R è un insieme della forma:

2

{(, () ()}

= ): ≤ ≤ ≤ ≤

[; () ()

, : ] → ℎ ∀[, ]: ≤

Oppure della forma: {(, () ()}

= ): ≤ ≤ ≤ ≤

[; ()

, : ] → ℎ ∀[, ]: ≤ ()

Regione di integrazione

Una regione di integrazione E è l’unione di un numero finito di tasselli di

integrazione E , … , E tali che:

1 n

 se i≠j : ∩ ⊆ ( ) ∧ ( ) ossia ∩ è contenuto nella frontiera di

entrambi

Integrale doppio

Sia E una regione di integrazione e sia : → continua ∀ n issato

Considero = , , per i,j ϵ Z

()

= : ∩ ≠∅

()

∩

Formo la somma 1

, , , = 2

( )

Allora: (, ) = lim , , ,

→

esiste e lo si chiama integrale doppio di f su E

TEOREMI SUGLI INTEGRALI DOPPI

1. Teorema di integrazione {(, () ()}

Sia E un tassello di integrazione E= ): ≤ ≤ ≤ ≤

[; () ()

, : ] → ℎ ∀[, ]: ≤

Allora: ( )

(, ) = {∫ (, )}

∬ ∫ ( ) ( )

Cioè, se definisco g(x) = (, ) , g: [a,b]→ allora

∫ ( )

(, ) = ()

Nota: funziona allo stesso modo scambiando x e y

Teorema

Sia E ⊆ R una regione di integrazione e siano f, g: → R continue. Allora:

n

1. LINEARITA’ (additività e omogeneità):

∙ (, ) + ∙ (, ) =

∙ (, ) + ∙ (, )

2. ADDITIVITA’: se E = E ∪E con E ed E regioni di integrazione ed ∩

1 2 1 2

⊆ ( ) ∧ ( )

(, ) = (, ) + (, )

nota: in generale

(, ) + (, )

= (, ) + (, )

∪ ∩

(,

3. Se f(x,y)≥ 0 ∀ ) (, ) ≥ 0

(, ) = 0 → (. ) = 0

4. Se (, ) ≤ (, ) ∀ (x,y)ϵ E allora

(, ) ≤ (, )

5. (, ) ≤ |(, )|

∬ ∬

Proiezione

 (,

La proiezione sull’asse x è P : → , ) =

1

 (,

La proiezione sull’asse y è P : → , ) =

2

Def

Sia ⊆ ∀ ()

Indico con

{ (, { (,

= : ) } = ({}) ∩ e = : ) } = ({}) ∩ E

Esercizio: calcolo integrali doppi

1. Proietto il dominio lungo x o lungo y

→ () → ()

Esempio: () [,

= ]

2. Scrivo la sezione orientata in funzione di x (o y)

Esempio: = [(), ()]

3. Si calcola quindi: ( )

(, ) = (, )

( )

Teorema di riduzione su insiemi di integrazione

⊆ un insieme di integrazione e f: → continua

Allora: (, ) = { (, )}

( )

Oppure: (, ) = { (, )}

( )

Osservazione

Questo teorema è analogo al teorema di riduzione su tasselli, dove al posto di

[φ (x),φ (x)] si ha E , che invece potrebbe essere unione di intervalli

1 2 x

Procedimento

1. Scegliere se usare P o P

1 2

2. Trovare P (E) o P (E)

1 2

3. ∀x ϵ P (o P ) (E) trovare E (o E )

1 2 x y

4. Calcolare integrali di una variabile:

 ∀x ϵ P (E) = (, ) = F(x)

∫

1

 ()

∫ ( )

Teorema: cambiamento di variabile negli integrali doppi

Siano E⊆ una regione di integrazione e G: → una funzione iniettiva e

C (E,R )

1 2

Sia f una funzione continua, f: G(E)→

Allora: |det

(, ) = (, ) ∙ (, )|

( ) ̇

Il teorema vale anche se G è iniettiva solo su e non E

Bordo o frontiera

Sia ⊆ e sia xϵR

n

 x ϵ ossia è punto di frontiera per E ↔ ∀ε>0, B(x,ε) ∩ E ≠ ∅ e B(x,ε) ∩

( \) ≠ ∅

 ̇

x ϵ ossia è punto interno ad E ↔ ∃ε>0 : B(x,ε) ⊆ E

Osservazione ̇

Se A è aperto: = e ∩ = ∅

Se F è chiuso: ⊆

Coordinate polari

G(r,t) = (rcost, rsent) = (x,y)

G: [0, +∞[ [0,2[ →

G è iniettiva su ]0,+∞[ x [0,2[ →

Dato (x,y) ϵ R :

2

 r = +

arctan > 0

⎧

⎪

arctan + < 0

 t = ⎨ = 0 > 0

⎪ = 0 < 0

⎩

−

JG(r,t) = =

Det JG(r,t) = + = r

(, ) = (, ) ∙

( )

Quando serve:

 E ha delle simmetrie circolari: E’ è limitato da una circonferenza con

centro (0,0) oppure rette passanti per (0,0)

 f(x,y) dipende in maniera elementare da r e da t

Teorema: integrali su rettangoli

(, ) = [ (, )] = [ (, )]

[ ]

, [ , ]

Nota

Se la funzione da integrare può essere scritta come f(x,y) = φ(x)∙Ψ(y) allora:

φ(x) ∙ Ψ(y) = φ(x)dx ∙ Ψ(y)dy

[ ]

, [ , ]

SUPERFICI IN R 3

Superficie parametrizzata

Una superficie parametrizzata in R è una funzione

3

ϕ: ⊇ →

(, ) → (, ) = (, , )

Tale che:

 ϕ(u,v) ϵ C (A,R ), A aperto e connesso

1 3

 ϕ è iniettiva

 rango (Jϕ(u,v)) = 2 ∀(u,v)ϵA

Superficie

Σ= ϕ(A)⊆ si dice superficie in R

3

Esempi

1. PIANI

Se ,

⃗ ⃗ sono linearmente indipendenti e wϵR , allora:

3

ϕ: →

ϕ(u,v) = w + u

⃗ + ⃗

è una superficie parametrizzata, infatti è iniettiva e Jϕ ha rango 2

2. GRAFICI di funzioni da R a R

2 ϕ: →

(, (,

) → , (, )) ()

Φ è iniettiva e Jϕ(x,y) ha rango 2

3. CILINDRO ϕ: →

(, (,

) → , )

4. SFERA ϕ: ]0, [[0,2[→

(, (,

) → , )

Spazio vettoriale tangente

Sia A⊆ aperto e ϕ: → una superficie parametrizzata e p = ( , ) un

0

suo punto

Lo spazio (piano) vettoriale tangente a ϕ(A) in p è

0

), ( )}

Τ () = { ( , , ⊆

Osservazione

Dim (Τ ()) = 2 perché per ipotesi rango (Jϕ(u ,v )) = 2

0 0

Vettore normale unitario

Sia A⊆ aperto e ϕ: → una superficie parametrizzata e ( , ) ϵ A

Il vettore normale unitario associato a ϕ in ϕ( , ) = p è:

0

)

( , ( , )

(Σ)

= ) ( )||

|| ( , ,

Esistono però due vettori che sono perpendicolari alla superficie in p : occorre

0

osservare l’angolo più piccolo fra u e v e trovare il verso giusto utilizzando la

regola della mano dx

Nota (,

Se Σ = Φ() dà una normale unitaria n, allora Φ ) = Φ(, ) definito come

Φ : → = {(, ): (, )

dà -n

Infatti: = = -n

| |

Osservazione

La scelta di una normale unitaria si chiama anche orientamento

Interpretazioni importanti della normale

 Orientamento di Σ

 Faccia “interna” o “esterna” di Σ

Elemento d’area

Sia A⊆ aperto e ϕ: → Φ() = Σ ⊆ una superficie parametrizzata

Allora l’elemento d’area su Σ è:

= (, ) = || Φ(, ) Φ(, )||dudv

Motivazione Area (P) = ||u x v||

v P

u

|⃗| |Φ( ) )|| )| || )||

= + , − Φ( , = || Φ( , = Φ( ,

⃗ |Φ( )|| )| || )||

= , + ) − Φ( , = || Φ( , = Φ( ,

⃗

Area infinitesima ||⃗ || = || Φ(, ) Φ(, )||dudv

Nota

L’elemento d’area è invariante rispetto alla parametrizzazione

Integrale su superficie parametrizzata

Siano A⊆ aperto, ϕ: → una superficie parametrizzata e Φ() = Σ ⊆

una superficie

Sia Σ ⊇ = Φ() ⊆ chiuso e limitato

Sia f : → continua

Allora: = (, ) (, )

è l’integrale di f su E⊆ Σ

cioè (