Appunti Lezioni Calamai Completi 1 AA 2013 2014 Teoria

1. Funzioni di Piu Variabili

Sono funzioni in cui dominio è un sottoinsieme di ℝⁿ.

ℝ² è l'insieme delle coppie (x,y) composto da reali ∈ ℝ che vengono interpretati come punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ (x₁, x₂, ..., x_m) è l'insieme delle n-uple coordinate.

La norma di P |P| è la distanza di P dall'origine (0,0)

|P| = √(x_p² + y_p²)

La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza |P - Q| = |P_p - Q_p|

Intorno Sferico

Dato P_o ∈ ℝⁿ dato ε > 0 si definisce intorno sferico di centro P_o e raggio R e si indica con

B(P, ε) = {P ∈ ℝⁿ | |P, Po| < ε}

Si definisce intorno forato B* l’intorno sferico privato del centro P_o

B(P, ε) = {P ∈ ℝⁿ | |P, Po| < ε, P ≠ o}

Punti di Accumulazione e Punti Isolati

Dato A ⊂ ℝⁿ dato P_o ∈ ℝⁿ si dice che P_o è p. di accumulazione per A se ogni intorno forato di P_o contiene punti di A:

∀ ε > 0 → A ∩ B*(P_o, ε) ≠ { }

Un punto P_o ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se ∃ un intorno forato di P_o l’intersezione tra A e B* è vuota.

∃ B*(P_o, ε) : A ∩ B*(P_o, ε) = {}V ∃ ε > 0 : B(P_o, ε) ∩ A = {P_o}

Punti Interni Insiemi Aperti/Chiusi

P_o ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P_o tutto contenuto in A.P ∈ ℝⁿ è frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A che del suo complemento.

A ⊆ ℝⁿ si dica aperto se ogni suo punto è interno chiuso se il suo complementare è aperto.

Funzioni di Più Variabili

Sono funzioni in cui il dominio è un sottoinsieme di ℝ² o ℝ³, l’insieme delle coppie (x,y) composto da x, y ∈ ℝ.

• Punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale ℝⁿ (x₁, x₂, ..., xₙ) è l'insieme delle n-uple coordinate.

• La norma di P è la distanza di P dall’origine (0,0).
• La distanza tra 2 punti P e Q è la norma del vettore differenza.

Intorno Sferico.Dato P₀ ∈ ℝⁿ, dato ε > 0, si definisca intorno sferico di centro P₀ e raggio ε e si indica con:

B(P₀,ε) = {P ∈ ℝⁿ | ||P-P₀|| < ε}

Si definisce intorno forato B* l’intorno sferico privato del centro P₀

B*(P₀,ε) = {P ∈ ℝⁿ | 0 < ||P-P₀|| < ε}

Punti di Accumulazione e Punti Isolati

Dato A ⊆ ℝⁿ dato P₀ ∈ ℝⁿ si dica che P₀ è punto di accumulazione per A se ogni intorno forato di P₀ contiene punti di A:

∀ ε > 0 → A ∩ B*(P₀,ε) ≠ ø

• Un punto P₀ ∈ A si dice isolato se non è di accumulazione per A, cioè se un intorno forato di P₀ l’intersezione tra A e B* è vuota.

∃ B*(P₀,ε): A ∩ B*(P₀,ε) = {P₀} ∨ ∃ ε > 0: B(P₀,ε) ∩ A = {P₀}

Punti Interni, Insiemi Aperti/Chiusi

P₀ ∈ A interno ad A se ∃ un intorno di P₀ tutto contenuto in A.P ∈ ℝⁿ è di frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A che del suo complementare.

A ⊆ ℝⁿ si dica aperto se ogni suo punto è interno. Chiuso se il suo complementare è aperto.

Funzioni Reali di Piu Variabili

Limiti

Sia f: A → ℝ, A ⊆ ℝⁿ

Sia P₀ p.t. acc. per il dominio A di f.

Diciamo che f(P) → l ∈ ℝ per P → P₀. Se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : P ∈ A, 0 < ||P - P₀|| < δ

⇒ ||f(P) - l|| < ε

Sia f: A → ℝ, A ⊆ ℝⁿ

Sia P₀ punto di accumulazione per il dominio A di f. => lim f(P) = +∞ (-∞) _P→P0

f(P) → α per P → P₀. Se ∀ M > 0 ∃ δ > 0 : P ∈ A, 0 < ||P - P₀|| < δ ⇒ f(P)| > H

Th. Di Unicita' del Limite:

Se per P → P₀ la funzione f(P) ammette un limite questo è unico

Th della Permanenza del Segno

Se per P → P₀ la funzione f(P) tende ad un limite finito l ≠ 0, ∃ un intorno di

P₀ per tutti i punti del quale, escluso P₀, la funzione ha lo stesso segno di l

Th. del Confronto (E. Carabinieri)

1. Se due funzioni g(P) e h(P) tendono allo stesso limite l, per P → P₀ e ∃ un certo

di intorno P₀, si ha g(P) ≤ f(P) ≤ h(P) ⇒ anche f(x,y) → l per P → P₀

2. Se in un certo intorno di P₀ si ha |f(P)| ≤ |g(P)| e se per P → P₀ g(P) → 0 allora

anche f(P) → 0 per P → P₀

3. Se in un certo intorno di P₀ si ha |f(P)| ≥ |g(P)| e se per P → P₀, g(P) →