Appunti Lezioni Calamai Completi 1 AA 2013 2014 Teoria

1. Funzioni di più variabili

Sono funzioni in cui il codominio è un sottoinsieme di IRⁿ.

IR² l'insieme delle coppie (x,y) composte da reali ∈ IR, che vengono interpretati come punti o vettori a seconda delle necessità.

In generale IRⁿ (x₁, x₂, ..., x_m) è l'insieme delle n-uple coordinate. La norma di p e la distanza di p dall'origine (0,0) = P ||p|| = √(x_p² + y_p²)

La distanza tra 2 punti P e Q e la norma del vettore differenza → i(P,Q) = ||p-q||

Intorno sferico

Dato P₀∈IR^m dato r>0 si definisce intorno sferico di centro P₀ e raggio r e si indica con

B(p,x)={p∈IRⁿ ||P-P₀|| ∮_γ w= ∮_δ1 w + ∮_δ2 w

Campi conservativi e forme esatte.

Nei campi conservativi il lavoro non dipende dalla curva ma solo dagli estremi. Una forma differenziale w definita in un aperto A⊆ℝⁿ si dice esatta se è una funzione f differenziabile, f: A→ℝ. w=df.

Se w=α₁ dx₁ + ... + α_n dx_n => deve risultare ∂_j α_i = ∂_i α_j

Se la f esiste => f è detta primitiva di w.

Se fì è una primitiva in A aperto connesso => tutte e sole le primitive di w si ottengono da f aggiungendo una costante.

Th. analogo del th. del calcolo integrale.

Sia w una forma esatta e continua definita nell'aperto A⊆ℝⁿ. Siano P₀, P₁ ∈ A, γ arco orientato e regolare (anche a tratti) ⊂A che congiunge P₀, P₁.

=> ∮_γ w= f(P₁)-f(P₀), con f primitiva qualunque di w.

[...]

w=α₁ dx₁ + ... + α_n dx_n f primitiva di w => si parametrize γ.:

x₀(t) T∈\[0,1\] con φ(0)=P₀ ∧ φ(1)= P₀

[...]

INSIEMI SEMPLICI

E ⊂ ℝ²

• y-semplice se è del tipo ⇒ E={ (x,y) : y∈[c,d], h₁(y)<x<h₂(y) }
• x-semplice . . . ⇒ E={ (x,y), x∈[c,d], g₁(x)<y<g₂(x) }

Con h₁, h₂, g₁, g₂ funzioni continue.

Tramite questa classificazione è possibile 'effettuare il dominio lungo l'asse x o y' e si dice:

• semplice se è x-semplice y-semplice o entrambi.
• regolare se è unione di un nº finito di insiemi semplici.

FORMULE DI RIDUZIONE

Sia f : E→ ℝ continua

1. Se E è y-semplice ⇒ ∬_E f(x,y) dx dy = ∫_c^d (∫_h1(y)^h2(y) f(x,y) dx) dy
2. Se E è x-semplice ⇒ ∬_E f(x,y) dx dy = ∫_c^d (∫_g1(x)^g2(x) f(x,y) dx) dy
3. Se E è entrambe le cose ⇒ valgono entrambe le formule

INSIEMI MISURABILI

Un sottoinsieme A ⊂ ℝ (A⊂IR) si dice misurabile (secondo Peano-Jordan) se è integrabile in A la funzione costante f(x,y) = 1

In tal caso la misura bidimensionale (area) di A è tale che ⇒ m(A) = ∬_A 1 dx dy

INSIEME TRASCURABILE

Un sottoinsieme E ⊂ ℝ si dice trascurabile o di misura bidimensionale nulla se:

∀ Ε >> E può essere ricoperto con una famiglia finita o numerabile di rettangoli di area totale <εε.

TH. DI EQUIVALENZA

Siano f, g integrabili su un triangolo R. Se esse differiscono solo in un insieme trascurabile di punti ⇒ i 2 integrali coincidono.