Appunti Integrali

R R

λf (x) dx = λ f (x)

a a

∈

Dim : Notiamo che, fissata una partizione δ ∆ , vale sempre:

[a,b]

≤

sup [f (x) + g (x)] sup f (x) + sup g (x)

[x ,x ] [x ,x ] [x ,x ]

k k+1 k k+1 k k+1

≥

inf [f (x) + g (x)] inf f (x) + inf g (x)

[x ,x ] [x ,x ] [x ,x ]

k k+1 k k+1 k k+1

Si ottiene quindi: ≤ ≥

S (f + g) S (f ) + S (g) e s (f + g) s (f ) + s

δ δ δ δ δ (g)

δ

Possiamo quindi prendere una successioni di partizioni δ . Si ha:

n

≤

≤

≤ (g)

(f ) + S

(f + g) S

(f + g) S

(g) s

(f ) + s

s δ

δ

δ

δ

δ

δ n

n

n

n

n

n

Dove abbiamo usato l’ovvietá che le somme superiori sono maggiori delle

somme inferiori per ogni svelta della partizione.

−→ ∞

Passando al limite per n si ha che gli elementi estremali della disug-

uaglianza tendono a b

b R

R g (x) dx

f (x) dx + a

a

Questo dimostra, per il teorema dei Carabinieri,che le disuguaglianze sono

tutte uguaglianze e dunque che f + g é integrabile e vale la proprietá 1.. La

proprietá 2. é ovvia. −→ ≤

Prop 1.3 : Siano f, g : [a, b] R integrabili su [a, b] tale che f (x)

∀x ∈

g (x) [a, b]. Allora: b b

≤

R R

1. f (x) dx g (x) dx

a a

|f |

2. é integrabile su [a, b] vale :

b b

≤ |f

R R

f (x) dx (x)| dx

a a b

≥ ≥

R

Dim : Notiamo che se f 0 allora sicuramente possiamo dire f (x) dx

a

−

0. Dunque presa la funzione differenza g f .

b b b

− ≥ ⇐⇒ − ≥

R

R R

(g f ) (x) dx 0 g (x) dx f (x) dx 0

a a a

E vale la tesi 1.

Per dimostrare 2. invece notiamo che:

3

|f − |f ≤ −

sup (x)| inf (x)| sup f (x) inf f (x)

[x ,x ] [x ,x ] [x ,x ] [x ,x ]

k k+1 k k+1 k k+1 k k+1

|f | −

Dunque basta applicare il criterio 1. sulla funzione differenza f .

Infatti: b b

|f ≥

R R

Per 1. si ha che (x)| dx f (x) dx Passando ai moduli otteniamo 2.

a a

−→ ∈

Prop 1.4 : Sia f : [a, b] R e c (a, b) tale che f sia ancora integrabile

in [a, c] e [c, b]. Allora integrabile su [a, b] e vale:

b c b

R R R

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx

a a c

Dim : La dimostrazione é una semplice applicazione della definizione di par-

tizione.

Oss 1.3 : Osserviamo come é utile la seguente definizioni di integrale a

dominio invertito. b a

−

R R

f (x) dx = f (x) dx

a b

Inoltre si puó porre anche: a

R f (x) dx = 0

a

Integrazione di Funzioni Continue

Diamo dei risultati pratici e teorici che sono fondamentali sia per lo svolgi-

mento degli esercizi piú comuni sia per un fattore di rilevanza teorica.

−→

Teo 1.1 : Sia f : [a, b] R continua. Allora f é integrabile su [a, b].

Dim : Diamo la dimostrazione nel caso piú forte in cui supponiamo che

∃M ≥ 0 tale che valga:

|f − ≤ |x − ∀x, ∈

(x) f (y)| M y| y [a, b] ∈

Ora fissato abbastanza piccolo e fissata una partizione δ ∆ tale che :

[a,b]

∀α ∈ |f − ≤

, β [x , x ] si ha che (α ) f (β )|

k k k k+1 k k M (b−a)

Allora presa la differenza delle somme:

n

− − −

P

S (f ) s (f ) = (L l ) (x x )

δ δ k k k+1 k

k=1 ∀k∃α ∈

Siccome f é continua e limitata allora , β [x , x ] per cui L =

k k k k+1 k

f (α ) e l = f (β ).

k k k

Dunque: 4

nk=1 − −

− P (f (α ) f (β )) (x x )

S (f ) s (f ) = k k k+1 k

δ δ nk=1 |α − | −

≤ P M β (x x )

k k k+1 k

nk=1

≤ −

P M (x x )

k+1 k

M (b−a)

n −

P

= (x x ) =

k+1 k

k=1

b−a

Il che dimostra la tesi. −→

Teo 1.2: (della media integrale) Sia f : [a, b] R continua. Allora

∃c ∈ [a, b] tale che:

b −

R f (x) dx = (b a) f (c)

a

Dim : Dalla Prop 1.1 segue che: b

1

≤ ≤

R

inf f (x) f (x) dx sup f (x)

x∈[a,b] x∈[a,b]

a

(b−a)

Siccome f é continua essa assume tutti i valori compresi tra il suo massimo

∈

e il suo minimo. Esiste quindi c [a, b] tale che:

b

1 R f (x) dx = f (c)

a

(b−a)

Ció dimostra la tesi.

Oss 1.3 : Il precedente teorema ci dice che se f é una funzione continua

allora esiste un punto per cui l’integrale di f coincide con l’area del rettangolo

−

di base b a e altezza f (c) . f (c) é da interpretarsi come l’altezza medio di

f nell’intervallo di definizione.

−→

Prop 1.5 : Sia f : [a, b] R limitata monotona. Allora f é integra-

bile su [a, b].

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Arriviamo ora al punto cruciale che collega il calcolo delle aree al problema

della ricerca delle primitive. −→

Supponiamo di avere una funzione continua f : [a, b] R e consideriamo

la famiglia di integrali al variare di x: x

R

F (x) = f (f ) dt

a

Allora F é detta funzione integrale. Vale il seguente risultato: −→

Teo 1.3 :(fondamentale del calcolo integrale) Sia f : [a, b] R una

funzione continua. Allora la funzione integrale

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