Appunti Integrali

Appunti sugli integrali

Il calcolo integrale nasce in origine per la necessità di trovare soluzioni abbastanza "semplici" per il calcolo delle aree sotto una data funzione f(x), per trovare una funzione conoscendone il comportamento punto per punto, per ampliare il concetto di "Serie" che noi tutti conosciamo (almeno per sentito dire), per trovare soluzioni esatte a problemi molto complessi e tante altre cose. Un primo approccio è quello più comune relativo al calcolo delle aree.

Integrazione definita

Data una funzione f: [a, b] → R, l'idea è quella di dividere l'intervallo [a, b] in N sottointervalli uguali. Dopo di che possiamo considerare le due successioni di rettangoli ognuno dei quali ha come base l'intervallino generico appena creato e come altezza l'immagine dell'estremo inferiore (nel caso della prima successione) o l'immagine dell'estremo superiore (nel caso della seconda successione). Passando al limite di queste due successioni, si ottiene la convergenza all'area sotto il ramo della funzione definita nell'intervallo [a, b].

Ma che vuol dire? Tra un attimo sarà tutto più chiaro. Formalizziamo tutto quello che è stato descritto.

Definizioni

Def 1.1: Sia f: [a, b] → R limitata. Definiamo una partizione di [a, b] un sottoinsieme finito di [a, b] della forma:
{x_δ = a, x₀, x₁, ..., x_n = b}

Oss 1.1: Definiamo l'insieme di tutte le possibili partizioni di [a, b] come Δ_[a,b]. Sostanzialmente, Δ_[a,b] rappresenta l'insieme di tutti i modi possibili in cui l'intervallo [a, b] si può dividere.

L'intervallo [a, b] può essere suddiviso in sottointervallini della forma:
I₀ = [x₀, x₁], I₁ = [x₁, x₂], ..., I_n = [x_n, x_n+1]

Definiti inoltre:
L_k = sup {f(x) | x ∈ I_k}
l_k = inf {f(x) | x ∈ I_k}
Ovvero rispettivamente il punto più alto/basso che raggiunge f in ogni singolo intervallino (le altezze dei nostri rettangolini).

Definiamo la somma superiore e somma inferiore:

• S_Δ(f) = ∑_k=1ⁿ L_k (x_k+1 - x_k)
• s_Δ(f) = ∑_k=1ⁿ l_k (x_k+1 - x_k)

Allora:

Def 1.2: Una funzione f: [a, b] → R si dice integrabile secondo Riemann se:

 Rinf S_Δ(f) = sup s_Δ(f) = ∫_a^b f(x) dx

Oss 1.2: Stiamo dicendo in sostanza che l'integrale di f non è altro che la somma delle aree dei rettangoli che approssimano meglio la funzione da sotto e da sopra rendendo la partizione sempre più "fitta". Notiamo come vale il se...