Appunti Geometria e Algebra T

E

2 c

f

Libri unnumerocomplesss

di

1

Geometria conigato

e algebra Francaviglia

di esame Edt

es Ime

Recz xtiy

2

database 2 octiy

E es

iy

x

modalitai diesame http://www.dm.unibo.it/~francavi/did/19-20/ 3

modesame.txt Ei

E x2tg2

icy

Z xtiy x z z

insiemiusati ffy f.FI

lzt i

RE Zz

Z

IN Q 12

12

E n

2 Ime

I

12

12 gutai

divisione

nanumea

compass mi ai

si n

di un

numerocomps

opposto i

Z

z o s

I recz

ig

x

o

octiy n

insiemenoncontadordine

degeidement Ime

f

f ay x y

X y.sc a poem

coordinate

ex ca

ex

2 Swscorpisinco

6

FRY 1

fixer g Sei

si

o f iz

insiemewn

coppiaordinata i a

arctancz

go reef

b

I

Rs

cartesiano

prodotto can

3

Y lice 2

X X iii

yet

x y

x a

i

i IR

23

addizione IR

112

a 112

1 xty

x y 5

32

3 2

X X

Xxx

operation

su

generico yj ox

x x.gl

y.cx.ys esaEis

genia9iEosa

V

commutative lx.y

se

e x.ge

y.xlasoHrar

ionenone

commutative t2 3

empioperverifcarloC3 2

aps.t.no uncontroes

Fx

7

Vxpcxs pay

associative EX

Vx.az

e z

se z

x

y

x y abelian

ftp.t

DEF e

es

di o e'gruppo

insiemeGdotato

un un

e

gruppo www.one.enea

aaunaoperar

ione.GXG te

oG y

x 0

IR ha

1 associative inverso

I

e

e non

G

7 EEG to Voce

neutro

element e e

2 x x

a e

non ungueppo

area

pantos

V GI

3 Gt.c.x.y

xc dinverso.cioe e

y.sc

yc el'inverse

V

E z

e dk.to

abelian

G 1121103

se e commutative

Looperarione abeliano

“backslash” = sottrazione tra insiemi e

gruppo gruppo

Notazione

multiplicative

operarione x y

say

neuter s I

inverse a

additive

Notazione

usuaeeperigrappiabeliani

say

operazione

neuter 0

x

inverse

anelloE di

A

Def dotato

un uninsieme Axa A Ati

due Z

t.ci

operation anello

associative t e commutativ

A

a a

A t

s e

ungruppoabeliano anello

IR commutativ

t e

xV

2jzeeementoneutrodi.I.x xI

ibutivea.es xeA Cafe

qq.EE one

registrar

Guy e vx.y.ee

zxtzy

3 xztyz A

zcxtys D

b

a ca

associative a c

c E

sidice

A commutative

se

commutativo

t associative

or

g s.ee

co teineutrov

cansgruppoabeliano a

inversovaea

a

telementoneutro

aneaocommutativo commutative

la 1

insieme distributive

vaigonoproprieta

campo

dotatodi axesxai.r.pe

oaidueopei

city azioniv i.assooiatira esempi

sceikyogzx

a e commutativo graampoeinomio

g

IKE anxnlnelN.aielkv

aotasxta.sc't i.co n

IK

ke insieme

uncampo dotato

un

DEIR didue te

t

operarioni 2 t none

un

campo Iza

sci

and

aotasxta.sc't

Uk anello

1 t commutative siege go.iniatiuo.ee

V Foi

2 xc.lk x o ar ti e

uncampo sit erased

str

es seise

caine eec

es c

Itasca Ikea

penname es

Feet ok

f X n

Zani

gruppo pix

abeeiano i

r.sommaa.lk nam

Got

ft fast m

g gag

T.Ebixisommai.lk qc

e caii

bis.ci

ee.EE

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qc.ga

nulla

e'elementneutrodeafanzione

use

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d eo qc

zero pc

e

asana eseccizio

dik

uae

eoz.eu

x

a K xiElKV

es x iEl

sn in

It 1122

in

lkxlkxlkx.nxlk.name DEL

precroca

paramecoaramma

Cc x

yn

a x y

y

y we

bummed comme

men

lozerod.lk G

e o

o.o

e'inversodi xD

C x

x x e 343

yz

1124

es u t 3.43 0

1kt a.mx in

IK sc 3

2 a

fee

p

felt a

f oik

i is associolaquadrupla

s ki tea

ftp.fcaD

fo fcn.fm fm viceversaad quadruple

a

associola

xa

az

Csc g

in 43.4

felk

fanzine

1K Ea

Yak.IT scai x

xi.eas x

MEMO: associativa

ianoco i7eineutrov.xeoainversov

canguro.be xeo

Uno 1K

vettoriale neutro

elemento

su

spazio un campo meno

commutativa commutativa

a distributive

difatti proprietà

valgono

è i cui campo

insieme elementi

un sommarsi oa

axesxai.ri.pe

µ

possono due

operazioni associativa

µ.ee

kyo

tra loro e a

esseremoltiplicati e

per

possono commutativa

di 1k

numeri campo insieme.io

i

DEI N

e'una

uno s.rs tripla dove

e'un iv

insieme associativa

operare

vxik ovt.ci Esercizio per capire il linguaggio

n Dimostrare che in ogni s.v. su K

PIYY.EE V

a valgono:

aboliamo

gruppo

i

t.rexscaiare.ie ttw.tw

orez a w

i.v

aquo oa.wyie yu.wev

w vv 1 si

inizia

ueV dimostrando

e.w Imu

iqpov i.vqu.v yveV

vi.ie t.w.tw renner

3 k

azionitraetementi i.o.co

viene

a a

spazio.at tu chiami.in

minor ver

g a

d d

4 µ

traetemi

azioni Vivek

µ ir Kev ÉTÉ

a enne v si

dimostra ew

5 iv

V ver

5 o

dover no

oppure siccome

v.ie

k.rvev cv.tieungruppo.aiioraa.vper

sea.Beoai.c.a.rsi.it

i

t.at w.t

Notazione rianimo

poiché iii

un

di w

gli su

elementi uno a non

vettori

si

chiamano erronea

a

neutro

aw

ESEMPI es

1k 2

k

è avevi

Wto

f

s.v.su 1k

uno 1k

X neri

vi

è

ci s.v.su onori

i no

parti

f0tgXD

_fCD

IR

è cxj3

s.v.su Aver

ov.o

f tofu

è

IR E aim

s.v.su

non sur cnet.sn

s.v.s.IR

2 è

non www.oo.vi.i.n.vcaistriama

es

1k è IK anni

s.v.su E

ovta.name

IR

cnn.pk è

1k Rabeiiano f P s.v.su

0112

Isaak

a polinomi

c'è E

s.v.su Zaini aek

1kcal

IR

c'è s.v.su

piè IR es numerico

s.v.su Eaixit bixi sit

Ecaitb.si si iii

n 1

3

dEaixi.zia.si scsixtzs.ssi

sxi.io

Wet

DEI 1k sia

sia s.v.su e

W p

a

sottospaziovettoriale

dice

si

ws.s.n.VN se esercizio

io

spazi WEN

che We's.v.s.lk

dimostrare

venia

Wto

a

1 v ew

w.w.ew.w.tw We'chiuso

per

somma

2 Vieni stesso

knew idk.net veWl

ew

aw V sHveW

We'chiuso prodotto

per

Wanda il

essendo nullo

essodeve

su contenere vettore

intra

esempi

W cnn.y.mx n

mieti

1 Wto eW amata

xo.y.IEW.ix.y.ch yoY

s x

xo i

yi.mx

mx ma

SI

Y.tyi chiuso

mx.tmx.n.mcx.tn per csm

somma

EW e

della ilxo.ydc.hr

x g ix is e chiuso

perpr.am

dyoeimxo.mu

W x y meta

mischi

1 Wto

xo.y.IEW.ix.y.ch

eWYo Y

s Yo

x

x

s.y

mx mx arono insomma

You.cm

x vettoriale

mx.i.z.my x

mcx

x z

EW della

x g

ilxo.ydewyo.mx

a Cisco.is no

s.I ii

mlixo

mlixdi.ie

iyo imx.i.a i o

IN

esempio

1km dei ink

in.ca

spazio polinomi coefficiente

ii k

pdinomidigraa.sn

È.ae aieikv

i.io in

si o.six

pix

oxnWclkEI

1.1 sc

plx.cW sW

t

op.qeW

aisiq FEbisip cioè deII

III

ai

p.in jfcai

bi

q i gracious.mn

sarà

Xp.in cioè

iaixi www.mio.iio.no

animi.mn

sina.am

essere

esempio

ii pdinomidigrado.nflk.ch

È.ae cento

aieikv.io in nato

o.six

1 i.o.sc

Walked pix

p Wto vettoriale

sottospazio

9ehfai.io µ o a o

aisiq inEbisip xinonsere

p.in si

Fzcai

q

Èiaixi

Xp few

V I

her

Ipi

1k dfc.hr

f p or delimiti X.ca

Wav

fl3i

p.cn o

fase EW Wto

f g.CN

sftgEWflD si

ftg

glD s css o

o

o oio.co

tgih.fhtgcD

V.IR

1k f ok

p

18613 Wav

Waffen

sW.to

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ftg

3 3

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m

s s

tgicoi.fi gco esercizio

ft.c.FI

D f Idee

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W

f.ge 3sinuatscoschew R sm

ym.me neiRsiperdeeinizire

V siveiRp_siselk

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È iRgE.g

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è C

noseik oj.ie ghi

IEomnes

iii iv

Peres i

ma R

fifo

Af if ii

if g vettoriale

sottospazio

COMBINAZIONI LINEARI

1K net D Elk

s.v.su v in

d È

iii divi

v divi

di

lineare

mbinazione v vn

con di

coefficienti in

2 o.itvs i

esempi in

sti

1 vi

v i

i

d ii ii

sti o

di ii

stillo

iii

ics.siiii e

divi a

4 ai

i

i i 0 2

a

a o

DEF WEVs.v.su

k dice lineari

si chiuso combinazioni

per

W

comb.in

seogni di aw

in

elementi appartiene

then Vi inelkv

e wu.i.wnc.tw EW

dirvi

vn

TI Kd

s.v.su

WEVWcV

è 1in

chiuso comb

per

din line

chiuso comb

per chiuso

per e

somma prodotto

ii

ii a

in

la 2

ovvio il

perché somma e prodotto

in

sono particolare

combinarli

inElk

di wnew divieti

w divieti

ti

allora

We'chiuso

siccome per

prodotto

allora

We'chiuso iswstiaw.hr

siccome per

somma

i

allora ew

ma wsti.w.iti.ws ew

Cintia i

maallora wdti.in

così

e via iiwiewa.es n

l'ca D

data di

ink

lineari a coefficiente

in incognite

n

equazioni la tale

soladi e'un

b elemento

assesta equazione

x x

a tic

elk

a

era

c D

termine

incognite ai

es 3xty.zz.is esempio pennuta

è

3

sx 5

3 x eh

0 y 1

soluzione a

una

3

sxtgyi.oz.co di di

si

solito studia

l'insieme le

tutte soluzioni

i

sixty e'lineare

a

parametro es

si

x

mano

ciisraa.aaeessei.ee ERYx.es

x g non

omogenea

b e'cosi

dice

se omogenea x y.io

2 1 0 omogenea ERYx.jo

zxty.se x g

non omogenea

omogenea

l'insieme incognite

Wdenesduzionidiuneq.lin.omoge j.name

acoeff.inkes.sn di

in 1k

n incognite W

Eaixi

dim dk Eaixi

oea.com o

Wto inv

lo sta

coevi

chiusura ew

per

somma ew

y in

ix scyn eW

is

a x

oEaicxitxi

a.lxty a.lx yz ta.cx yn

a.x a.y a.x azy x

a any

t.a.x.ta.sc tCa.y

anxn aiiat EaixitEaiyi

anyn o

o o

dim

stessa W lo

1 chiuso

per

somma

2 per

prodotto

chiuso

3 coma

EW

Elk

1 Zaia 20

infatti 0

2 We EW

an e Y Yn aixitzaiyi

sciiti

a oto.no

EW

x y Antin

3 sede IEaix.it

EW ed

Pen Elk Eaiixi 0

0

allora

disc W

e

cn

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Ea 1

fa in incognite

n

Ea n

lenti Elk

an è è

soluzione di tutte

una le

se soluzione equazioni

il s.sndelle

his soluzioni

di

chiamando ca 1

Wa il s.sndelle di

soluzioni 2

ca

In iis.sndelle

soluzioni di ea.in

an è di

soluzione see

solo

se

ix xD Ehi Nn

02

TI caso s.sn

semplice

sulk

s.sn vi

sia WI

e siano

V rhe V

è di è

di

cioè dues.sn s.sn

l'intersezione

s.s.ir un

dim

1 vinti

2 ninne chiuso

per

somma

3 Wink chiuso prodotto di

per 3vetri

Wto

diretti

ti

Ws Ehe

1 0 o

E contiene o

sottospazio

ogni

perché ehi

in i

parti con

o

o

went Va went

v

2 e

vivere

v i

o

ew

went www.nhk

aw

vi

perché pernicioso

chiuso

per per

somma

somma

VEW.nhkdc.lk

3 EW vetta

I

E aveva

drew Aretini

j

à

chiuso

perché creperà a

per

prodotto a

registrazione

Ih caso

generale

Ike

sia sia Wifi una

s.v.su famiglia d'V

ais.sn

WiEV di

cioè intersezione s.sn

e's.sn

I

Vie coevi

1 o

effetti

2 VieI

we

v vivevi

Vi io

vi I wewi Wi

svtwe.ee

elk

i

II

3 W

ve io

I vetri

vi

e 6

IEI

V avevi ive Wi

di

l'insieme lineare

sole

delle sistema

corollario un omogeneo

1k 1k

di

in è

incognite coeff.in

n s.sn

a un è

di

delle soluzioni

l'insieme

dim sistema l'intersezione

un

delle

degli insiemi che

delle

soluzioni s.sn

ca sono

singole

lineari dicono

due

sistemi si equivalenti

der le stesse

soluzioni

se hanno

A B Èfisibsi

È xk

ABè mink J

esima

aie b

ai B

ma

fa

Ì

A linearedelle

combinazione colonne

dia

con

cnet.ca sc

A B i esima AB

di

colonna es

è Aper i

esima

colonna

B

di in

L generale

X araba

i B

esima di

riga

è li 4

ricadrai

esima f

perB

di unamatrice es

trasposta e

E

A

aita A

Atta

A ij

As.it

A A

B B

MATRICI QUADRATE di ordine n

i meno

e

IK

Aem noncommutative

csiven.eu

come

esercizio

A B AB

nxnnxnn.in

il è

riga colonna

prodotto per un'operazione Manin

su

è associativa

l'operazione sina.ia.cn

A

B e Cbc esercizio

come AI A

dimostrare

che

neutro

elemento

IEM nlikIIAI IA.tt HA A i sei

I Sii

ai bis sei

o

I

AI A I identità

IA.tt che

dimostrare

per AI A

che

basta

dimostrare

sei Vii AI

di

I ai son.to

o i

i

se ug.aiiazero

tranne

auando

È

LAI ais.ssj ais.ssitaiissitaiis.it SÉ

ain.sn ai

ai

le

matrici anelloma

sonoun non in

campo

A BEO A ab 0

A A A o

AB A c A

DEI

AEMn.dk è IBI

se

invertibile ABEBA I

B si dia

chiama A

si

inversa indica

e

AB

se

Ae'invertibile A e

e

t.AB i.ae

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IB C

B C

A.BE K

se Mmm

AB BeI

corollario

AB

se I i

DA

trovare A amano

AKI è di

matrice

una incognite

2

vi 52 II

A X

xtzzyi.at

Ax 9

sala syi.at

xtzz.se

È

ytzt.co LÌ l'still L

L verifica

a

b

AX

A è ha

se b

invertibile X

unica A

soluzione

come

trovare la

es formula di

te

dE

MEManik M.IM

si

dice simmetrica se

è

es simm

II nae'simm

i e'simm

DEI 44 M

M antisimmetica se

dice

si

es 3 è anti

simm

f è

è antisimm

non

simm tuttio

sulla

iamatriciantisimm hanno

diagonale

esercizio K

Mmm 21

simm antisimm se 0

dim nel

caso

2 0 simn

antisimmm.MI.tn

tM

M tMM.tM

M

2 a

simm antis.mn

e

M µ

io sino

b

b

a II a

a e a

t

y M

b

a antisimm

5 o

ca a

rancio

KIA

i dimlspancoionnea.at

nodim

rklakrkfai dimlspancrishea.at

cordiali

A K

Mmm rkln.IE

min

c min

elementari

operazioni sulle cric

ladonna

righe es

ricin

due III

il

scambiare cambia rango

i narici

andare

per

o

moltiplicare il

non

cambia rango

via di

un'altra cambiai

un

a

sommare una non

multiplo rango x.si io visas

risa

aria

scala è

matrice ridurre

a possibile

ascalaogni

matrice

III

es scalini

a con elementari

operazioni

salesiane

gioia

scalini A scalini

n

ii dellerighe

numero

scalini

a scala

i are a

2

scalini

o

o o

ri

i a

scali