Geometria e Algebra T (appunti + esame)

PROPOSIZIONE2 2f :

→Sia iniettiva, supponiamo che:ℝ ℝf- sia continuaf (0) = 0 → f- è linearef- trasforma rette in rette

PROPOSIZIONEn mL :

→Sia la trasformazione lineare associata alla matrice A.ℝ ℝa A , . . . , A j : 1,...,nSiano con le colonne di A.1 j( )A = L e = 1,...,nAllora: .j A j nejDove è il j-esimo elemento della base canonica di .ℝ{ }y = a x + bx1 2 LAy = cx + d x1 2 1 0 0[ ] [ ] [ ]0 1 0La base canonica è: 0 0 1

NUCLEO DI UN’APPLICAZIONE LINEARE

Il nucleo è un sottospazio del dominio.f : V → WSia definisco il nucleo come( ) { }(v)Ker f = v ∈ V f = 0

IMMAGINI DI UN'APPLICAZIONE LINEARE

L'immagine è un sottospazio del condominio.f : V → WSia definisco l'immagine come:( ) { }(v)Img f = w ∈ W ∃ v ∈ V : f = w|

PROPOSIZIONEf : V → W

Sia lineare, allora:(Ker f ) v1) Il nucleo di f è un sottospazio di(Img( f )) w2) L’immagine di f è un sottospazio

di_A x f
Sia A, l'immagine di A mediante f è: {f(x) | x ∈ A}

_B y f
Sia B, la controimmagine di B mediante f è: {f^-1(B) | x ∈ X, f(x) ∈ B}

f : V → W
NB: lineare
Ker f = {0}
Img f = {f(v) | v ∈ V}

PROPOSIZIONE
f : V → W lineare.
Se S ⊆ V è sottospazio vettoriale, allora f(S) ⊆ W è sottospazio vettoriale di W.
Se S ⊆ W è sottospazio vettoriale, allora f^-1(S) ⊆ V è sottospazio vettoriale di V.

COME TROVARE L'IMMAGINE
Dato x ∈ A, trovare x ∈ X tale che f(x) = y.
L'immagine si ottiene eliminando le variabili dell'equazione f(x) = y.
Bisogna eliminare le variabili dal sistema per farlo.
1) Scrivo il sistema in modo tale che le variabili da eliminare compaiano prima delle altre;
2) Si riduce a scala fino a eliminare le variabili da eliminare.

INSIEME DI GENERATORI DI V
Sia V uno spazio vettoriale: siano v₁, ..., v_n ∈ V.
Si dice che v₁, ..., v_n generano V se ogni vettore di V è combinazione lineare di v₁, ..., v_n.

v₁, ..., v_n sono un insieme di generatori di V se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di v₁, ..., v_n.

Sia V uno spazio vettoriale (o punto, o piano o retta), siano v₁, ..., v_n ∈ V. Si definisce span:

span(v₁, ..., v_n) = {v ∈ V | v = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n è combinazione lineare di v₁, ..., v_n}

È l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari che posso fare con i vettori v₁, ..., v_n con i vettori con coefficienti numerici che stanno in ℝ. È il più piccolo sottospazio che contiene i vettori.

NB: Se ho due vettori v₁ e v₂ in ℝⁿ, tutti i vettori nella forma λv₁ + μv₂ sono linearmente indipendenti lo span è ℝ².

OSSERVAZIONE: v₁, ..., v_n ⇔ span(v₁, ..., v_n) generano V (è il sottospazio vettoriale generato da v₁, ..., v_n).

PROPOSIZIONE: v₁, ..., v_n ∈ V. Sia span(v₁, ..., v_n) il sottospazio vettoriale di V.

DIMENSIONE

Sia V uno spazio vettoriale. Diremo che V ha dimensione edimV = n se:

1. Esistono n vettori v₁, ..., v_n ∈ V che generano V
2. È impossibile trovare un insieme di generatori costituito da meno di n vettori.

TEOREMA 3

Le dimensioni di ℝⁿ sono n.

Siano v₁, ..., v_n ∈ ℝⁿ; v₁, ..., v_n non generano ℝⁿ.

LEMMA A = m × n

In A = A₁, ..., A_n sono le colonne di A e B = B₁, ..., B_m sono le righe di B.

Siano A e B matrici tali che B = A^T; n × m ≥ n.

Allora A^T = B^T sono le righe di A e B = A^T sono le colonne di B.

SCHEMA

Siano v₁, ..., v_n ∈ ℝⁿ.

Sia x = [x₁, ..., x_n]^T.

Sia A = [v₁, ..., v_n].

Ax = x₁v₁ + ... + x_nv_n.

Ax = b è un sistema lineare in ℝⁿ con p equazioni e n incognite.

Sistema è suriettivo se ogni vettore b ∈ ℝ^p è risolubile.

Sistema è iniettivo se A^Tx = 0 ammette solo la soluzione x = 0 come una soluzione.

v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti se e solo se ogni combinazione lineare di v₁, ..., v_n che è uguale a 0 ha solo i coefficienti nulli.

1. 1¹, p^p, 1^PBASE v , . . . v ∈ V Siano si dice che formano una base per V se:
   1. generano V → λ v + . . . + λ v = 0
   2. sono linearmente indipendenti 1 1 n n
2. INIETTIVITÀ E SURIETTIVITÀn mA : → B r Sia e matrice ridotta a scala con pivot. Allora:
   1. ℝ^m (nA = × n) B = × m) ⇔ r = n → Ker f = 0
   2. A è iniettiva (colonna di A linearmente indipendenti). Sia per definizione di(0) nucleo . m(a) ⇔ r = m → Img = ℝ
   3. A è suriettiva (righe di A linearmente indipendenti)
3. TEOREMA n mA : → Sia ed B matrice ridotta a scala con r pivot. ℝ ℝ Allora:
   1. Img A = r
   2. Ker A = n − r →
4. Conseguenza del Teorema di Rouchè-Capelli r r (A) RANGO PER RIGHE Massimo numero di righe linearmente indipendenti. rc(A) RANGO PER COLONNE Massimo numero di colonne linearmente indipendenti.

diagonale principale.

TEOREMA DI BINET

Siano A e B due matrici. Il determinante del prodotto è il prodotto dei due determinanti.

SEGNO DEL DETERMINANTE

Se Det (B) > 0 allora det (AB) > 0

Det (A) > 0

Se Det (B) > 0 allora det (AB) < 0

Det (A) < 0

Se Det (B) < 0 allora det (AB) < 0

Det (A) > 0

Se Det (B) < 0 allora det (AB) > 0

Det (A) < 0

DETERMINANTE MATRICE 3 x 3

[ ]

A = v ; v ; v

1 2 3

( )

Det (A) = P v ; v ; v

1 2 3

{ +) se v ; v , v orientati positivamente

1 2 3

(A)Det = −) se v ; v ; v orientati negativamente

1 2 3

v Λ v ⋅ v

Orientazione positiva: angolo acuto

1 2 3

v Λ v ⋅ v

Orientazione negativa: angolo ottuso

1 2 3

PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE

1. MULTILINEARITÀ

2. ALTERNANZA Det (I ) =1

3. NORMALIZZAZIONE n

PRODOTTO MISTO

( )(v Λ v ) ⋅ v = Det v ; v ; v

1 2 3 1 2 3

( ) (3,v = 1, 2, 5 w = 1, 4)

1 2 5 [ ] [ ] [ ]

1 5 1 2

2 5

3 1 4

v Λ w = i − j + k

3 1 4

1 4

i j k

SVILUPPO DI LAPLACE

+ −

+− + − Applico il prodotto misto con una riga a scelta+ − +MINOREUn minore di ordine K è il determinante di una sottomatrice quadrata ottenuta intersecando K righe e K colonne della matrice considerata.

TEOREMA DEGLI ORLATIm × nUna matrice ha rango K se:
1. Esiste un minore di ordine K non nullo (il rango è l'ordine massimo di un minore non nullo)k + 1
2. Non esistono minori di ordine K+1, o se esistono sono nulli (se ⩾ K trovo un minore di ordine K non nullo allora il rango è K)

PROPOSIZIONE k m × nI minori di ordine K di una matrice sono:
m!(n-K)!(K!(m-K)!)

GEOMETRIA PROIETTIVA Det ≠ 0
Vettori linearmente indipendenti hanno Det ≠ 0
Vettori linearmente dipendenti hanno Det = 0 e il rango

PROPOSIZIONE 2r P // v P ∈
Sia la retta passante per P e P1. Sia v ∈ ℝ^3
P ∈ r ⇔ v ; v ; v sono linearmente dipendenti.

PROPOSIZIONE
P(x, y) v(a, b) ≠ 0 v e v sono linearmente indipendenti
P ∈ r(A) = 2 A

Perché . .a b 0MATRICE ASSOCIATA A UN'APPLICAZIONE LINEARE

Siano V e W spazi vettoriali. dimV = n dimW = m f : V → W

Data una funzione lineare. Prese le basi:

- v , . . . , v basi di V1 n

- w , . . . , w basi di W1 m f

La matrice associata ad f rispetto alle due basi scelte, è la matrice lew , . . . , c cui colonne sono costituite da coefficienti rispetto a 1 mf v , . . . , v dell'immagine rispetto all'applicazione di ogni vettore 1 n della base.

AUTOVETTORI E AUTOVALORI

Un autovettore è un vettore non nullo, la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per un numero ( ) detto autovalore.

PROPOSIZIONE

n nA : → matrice quadrata

ℝ ℝ nλ ⇔ ∃ x ≠ 0 x ∈ è autovalore ℝ (AAx = λ x Ax - λ x = 0 A x - λ In x = 0 - λ In) x = 0 ∀x ≠ 0

TEOREMA (Aλ ⇔ det - λ In) = 0 è autovalore di APOLINOMIO CARATTERISTICO

Sia A una matrice di

1. ordine n. ( )Det A - λ I = P (λ) si dice POLINOMIO CARATTERISTICO.
2. n aMOLTEPLICITÀ ALGEBRICA:

Sia A una matrice di ordine n.

P (λ) polinomio caratteristico.