Geometria e Algebra T (appunti + esame)

ni

turi

n

e

V

rgio

Se

GEOMETRIA

E ALGEBRA

LINEARE T

INDICE

TEOREMA 6

TEOREMA 6

DEFINIZIONE 6

DEFINIZIONE GEOMETRICA 6

PROPOSIZIONE 6

PROPOSIZIONE 6

PROPOSIZIONE 7

PROPOSIZIONE 7

EQUAZIONE RETTA NELLO SPAZIO 7

FASCI DI RETTE 7

MATRICE 8

SISTEMI EQUIVALENTI 8

MATRICE A SCALA 8

PROPOSIZIONE ELIMINAZIONE DI GAUSS 8

DEFINIZIONE DI RANGO DI UNA MATRICE 8

PROPOSIZIONE SULLE MATRICI OTTENUTE DA A 9

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 1) 9

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 2) 9

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 3) 9

FUNZIONE INIETTIVA 9

FUNZIONE SURIETTIVA 10

FUNZIONE BIUNIVOCA 10

ASSIOMI DELLO SPAZIO VETTORIALE 10

VETTORE 10

OPERAZIONI TRA VETTORI 11

COMBINAZIONI LINEARI 11

SISTEMA DI RIFERIMENTO 11

TEOREMA 11

SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO 11

TEOREMA 12

LINEARITÀ DELLE COORDINATE 12

FUNZIONE LINEARE 12

TEOREMA 12

RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE () 12

SIGNIFICATO GEOMETRICO della RETTA PASSANTE per L’ORIGINE 13

RETTA NON PASSANTE PER L’ORIGINE 13

FORMULA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI 13

MATRICE HESSIANA 13

LEMMA 13

DISTANZA TRA DUE RETTE PARALLELE 13

PRODOTTO TRA MATRICI (prodotto righe per colonne) 14

Ax=b 14

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 14

SISTEMA LINEARE 14

DISTANZA TRA PUNTO E RETTA 14

CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ TRA RETTE 15

TRASPOSTA DI UNA MATRICE 15

PROPRIETÀ DELLA TRASPOSTA 15

MATRICE QUADRATA 15

PROPRIETÀ DELLE MATRICI 15

MATRICE INVERTIBILE 16

TEOREMA 16

TEOREMA 16

OSSERVAZIONE 16

REGOLA PER STABILIRE SE UN SISTEMA È RISOLUBILE 16

LEMMA 16

CALCOLO DELL’INVERSA 16

PROPOSIZIONE 17

SPAZI VETTORIALI 17

FUNZIONE LINEARE 18

SOTTOSPAZI VETTORIALI 18

SOTTOSPAZI DI 18

SOTTOSPAZI DI 18

APPLICAZIONI LINEARI 18

PROPOSIZIONE 19

PROPOSIZIONE 19

NUCLEO DI UN’APPLICAZIONE LINEARE 19

IMMAGINI DI UN'APPLICAZIONE LINEARE 19

PROPOSIZIONE 19

DEFINIZIONE 20

PROPOSIZIONE 20

COME TROVARE L’IMMAGINE 20

INSIEME DI GENERATORI DI V 20

SPAN 21

OSSERVAZIONE 21

PROPOSIZIONE 21

DIMENSIONE 21

TEOREMA 21

LEMMA 21

SCHEMA 22

LINEARMENTE INDIPENDENTI 22

BASE 22

INIETTIVITÀ E SURIETTIVITÀ 22

TEOREMA 23

RANGO PER RIGHE 23

RANGO PER COLONNE 23

TEOREMA 23

COROLLARIO 23

DETERMINANTE 23

MATRICE TRIANGOLARE 24

TEOREMA DI BINET 24

SEGNO DEL DETERMINANTE 24

DETERMINANTE MATRICE 3 x 3 24

PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE 25

PRODOTTO MISTO 25

SVILUPPO DI LAPLACE 25

MINORE 25

TEOREMA DEGLI ORLATI 25

PROPOSIZIONE 25

GEOMETRIA PROIETTIVA 26

PROPOSIZIONE 26

PROPOSIZIONE 26

MATRICE ASSOCIATA A UN’APPLICAZIONE LINEARE 26

AUTOVETTORI E AUTOVALORI 26

PROPOSIZIONE 26

TEOREMA 27

POLINOMIO CARATTERISTICO 27

MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA 27

MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA 27

TEOREMA 27

COROLLARIO 27

DEFINIZIONE 27

MATRICI SIMMETRICHE 27

MATRICI ASIMMETRICHE 28

TEOREMA 28

TEOREMA 28

SEGNATURA DI UNA MATRICE SIMMETRICA 28

PROPOSIZIONE 28

GRADIENTE 28

FORMULA DI TAYLOR 29

CONICA 29

QUADRICA 29

CONICA NON DEGENERE 29

PROPOSIZIONE 30

PROPOSIZIONE 30

BASE CANONICA DI 30

TEOREMA

r a x + b y + c = 0 v

Sia una retta di equazione e sia un vettore

(a, b) r v

geometrico di componenti , allora la retta e il vettore sono

perpendicolari.

TEOREMA

r a x + b y + c = 0 v

Sia una retta di equazione e sia un vettore

(a, b) v

geometrico di componenti , allora il verso di guarda verso il

a x + b y + c > 0

semipiano .

DEFINIZIONE

v , v v (x , y ) e v (x , y )

Dati due vettori di componenti il

1 2 1 1 1 2 2 2

v v

prodotto scalare tra e si indica in tre modi diversi:

1 2

( )

v ⋅ v < v , v > v v

|

1 2 1 2 1 2

DEFINIZIONE GEOMETRICA

∥v ∥ v

Se indichiamo con: =lunghezza (o norma) di e con

1 1

∥v ∥ v

=lunghezza (o norma) di .

2 2

v ⋅ v = ∥v ∥ ⋅ ∥v ∥ cos θ

1 2 1 2

DEFINIZIONE ALGEBRICA

v ⋅ v = x x + y y

1 2 1 2 1 2

PROPOSIZIONE

v v

Dati e due vettori,

1 2

v ⋅ v = 0 ⇔ v = 0 v = 0 v ⊥ v

oppure oppure

1 2 1 2 1 2

PROPOSIZIONE ( )

v(a, b) P x , y

Le componenti di con punto di applicazione e

1 1 1

( )

P x , y (x − x ; y − y )

punto finale sono: .

2 2 2 2 1 2 1

PROPOSIZIONE P , P , . . . , P , P

Sia V un poligono piano di vertici . L’area del

1 2 n 1

poligono si trova mediante la formula: x y

x y x y

x y n−1 n−1

2 2 n n

1 1

2A = + + . . . + +

x y

x y x y x y

3 3

2 2 n n 1 1

PROPOSIZIONE

( ) ( )

P x , y v a, b r

Sia un punto, un vettore, la retta passante per

1 1 1

P ⊥ v S S r

ed

, i semipiani individuati da come in figura.

1 1 2 ( )

P x, y

Allora se è un punto arbitrario del piano:

P ∈ r ⇔ v ⋅ (P P) = 0

• 1

P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) > 0

• 1 1

P ∈ S ⇔ v ⋅ (P P) < 0

• 2 1

EQUAZIONE RETTA NELLO SPAZIO

Una retta nello spazio si può rappresentare come intersezione di due

piani. 3

R

Ogni equazione rappresenta un piano nello spazio (in ).

FASCI DI RETTE

( )

P x , y

Dato l’insieme di tutte le rette passanti per P, si dice

0 0

FASCIO PROPRIO di rette di centro P.

r e r

Se sono due rette distinte del fascio di equazioni

1 2 { r : a x + b y + c = 0

1 1 1 1

rispettivamente r : a x + b y + c = 0

2 2 2 2

Allora le rette del fascio sono tutte e sole le rette che ammettono

un’equazione della forma:

( ) ( )

λ a x + b y + c + u a x + b y + c = 0 λ u

con NON

e

1 1 1 2 2 2

ENTRAMBE NULLE.

MATRICE

a. Una matrice è una tabella rettangolare di numeri.

b. Una matrice con una sola riga si dice anche VETTORE RIGA.

c. Una matrice con una sola colonna si dice anche VETTORE

COLONNA.

d. Le operazioni di base sulle equazioni, sono: somma, differenza,

moltiplicazione per numeri.

e. Queste operazioni si chiamano COMBINAZIONI LINEARI.

f. Somma su vettore riga:

[ ] [ ] [ ]

a , . . . , a + b , . . . , b = a + b , . . . , a + b

1 n 1 n 1 1 n n

g. Prodotto per un numero su vettore riga:

[ ] [ ]

c a , . . . , a = c ⋅ a , . . . , c ⋅ a

1 n 1 n

h. Pivot del vettore riga: è il primo elemento non nullo da sinistra

del vettore riga. Indice di pivot: indice di colonna corrispondente

SISTEMI EQUIVALENTI

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesse soluzioni.

MATRICE A SCALA i , i , . . . , i

Sia A una matrice con m righe. Siano gli indici di pivot

1 2 m

delle righe della matrice A. i < i < i < . . . < i

La matrice A si dice a scala se .

1 2 3 m

PROPOSIZIONE ELIMINAZIONE DI GAUSS

Mediante operazioni elementari sulle righe si può trasformare un

qualsiasi sistema lineare in un sistema lineare ad esso equivalente la

cui matrice completa è a scala.

DEFINIZIONE DI RANGO DI UNA MATRICE

- 1° CASO: Sia A una matrice a scala. Si definisce il RANGO di A il

numero di pivot di A, ossia il numero di righe non nulle di A.

- A’

2° CASO: Sia A una matrice a scala. Sia una matrice ottenuta

da A mediante operazioni elementari sulle righe. Per definizione il

rango di A è il rango di A’, ossia il numero di pivot (righe non nulle

di A’)

PROPOSIZIONE SULLE MATRICI OTTENUTE DA A

A e A

Sia A una matrice e siano matrici a scala ottenute da A

1 2 A e A

mediante operazioni elementari sulle righe. Allora hanno lo

1 2

stesso numero di pivot.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 1)

Un sistema lineare è risolubile se ,e solo se, la matrice dei

coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 2)

A x = b

Sia un sistema lineare. Sia A una matrice con m righe e n

colonne. Supponiamo che sia risolubile e sia K il rango di A.

⇔ K = n

Allora il sistema ammette un’unica soluzione

K ⩽ n , K ⩽ m

(Osserviamo che ).

Ossia in ogni colonna di A c’è esattamente un pivot.

TEOREMA DI ROUCHÈ - CAPELLI (parte 3)

A x = b

Sia un sistema risolubile, con A matrice, con m righe, n

K < n

colonne e rango K. Se , allora ci sono infinite soluzioni che

n − K

dipendono da parametri.

FUNZIONE INIETTIVA

Una funzione iniettiva è una funzione che associa, a elementi distinti

del dominio, elementi distinti del codominio. NB: Ad ogni y è

associata una sola x.

FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio

è immagine di almeno un elemento del dominio.

FUNZIONE BIUNIVOCA

La funzione f si dice BIUNIVOCA o BIIETTIVA se è sia iniettiva che

suriettiva.

ASSIOMI DELLO SPAZIO VETTORIALE

- SOMMA (cassetto 1-2-3-4)

v + w = w + v

1. commutativa

( ) ( )

v + v + v = v + v + v

2. associativa

1 2 3 1 2 3

∃ 0 ∈ V : v + 0 = 0 + v = v ∀ v ∈ V

3. un elemento

elemento neutro (0) dell'addizione

∀ v ∈ V ∃ w : v + w = 0 w −v

4. ( si indica con e si dice

opposto di v) l’opposto

- PRODOTTO (cassetto 5-6-7-8)

( ) ( )

a bv = a b v

5. associativa

(a + b)v = av + bv

6. distributiva

a(v + w) = av + aw

7. distributiva

1v = v

8. elemento neutro della moltiplicazione

VETTORE

Un vettore è caratterizzato da: un punto di applicazione (o), un punto

finale, una lunghezza, una direzione e un verso. Si rappresenta con

OP

un segmento orientato e la sua lunghezza si indica con .

OPERAZIONI TRA VE