Appunti di Geometria e algebra T

PROGRAMMA DEFINITIVO

svolto nell’Insegnamento di Geometria e Algebra TCorso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica, Università di Bolognaa.a. 2020-2021,docente: Alessia Cattabriga

SISTEMI LINEARI

Definizione e notazione matriciale; coefficienti di un sistema lineare: definizione di campo ed esempi;soluzioni di un sistema lineare e definizione di k-ª; sistemi lineari impossibili, determinati, indeterminati,compatibili; sistemi lineari quadrati e triangolari alti; criterio per l’unicità di soluzioni di un sistematriangolare alto (con dimostrazione). Matrici e sistemi a scala. Criterio di compatibilità e unicità dellasoluzione per sistemi a scala. Risoluzione di sistemi a scala: variabili libere e vincolate. Sistemi equivalenti.Le operazioni elementari di riga sulla matrice completa non modificano l'insieme delle soluzioni del sistemaassociato. Ogni sistema è equivalente ad uno a scala: algoritmo di Gauss (con dimostrazione). Sistemi diCramer e sistemi omogenei. Risoluzione di sistemi di Cramer con l’inversa della matrice dei coefficienti econ la regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare compatibilemediante l'individuazione di un minore che realizza il rango e l’utilizzo di una regola “tipo Cramer” per ladeterminazione delle variabili libere vincolate. Sistema omogeneo associato ad un sistema lineare, teorema distruttura per i sistemi lineari (con dimostrazione) e struttura affine dello spazio delle soluzioni.

MATRICI

Matrici triangolari e matrici a scala per righe, operazioni elementari di riga e algoritmo di Gauss diriduzione a scala. Definizione di rango di una matrice mediante riduzione a scala. Sottospazi associati aduna matrice: spazio riga, spazio colonna e spazio nullo. Determinazione di una base per lo spazio riga (condimostrazione), per lo spazio colonna (dimostrazione solo nel caso a scala) e per lo spazio nullo. Operazionitra matrici: addizione e prodotto per scalare e struttura di spazio vettoriale. Base canonica dello spazio dellematrici e dimensione. Prodotto riga per colonna tra matrici e sue proprietà. Il caso delle matrici quadrate:definizione di inversa e sua unicità. Trasposta di una matrice. Comportamento della trasposta rispetto alleoperazioni. Matrici simmetriche e antisimetriche. Determinante di una matrice quadrata: definizionemediante lo sviluppo di Laplace. Formule per n=2 e n=3. Teorema sulla caratterizzazione del determinantein termini di proprietà. Proprietà del determinante. Determinanti di matrici triangolari (con dimostrazione).Calcolo del determinante mediante riduzione in forma triangolare. Invertibilità di matrici in termini dirango e determinante (dimostrazione solo del fatto che A regolare implica A invertibile). Formula perl’inversa di una matrice mediante la matrice dei cofattori numerici algebrici. Metodo di determinazionedell'inversa mediante riduzione per righe. Teorema di Kronecker e minori che realizzano il rango.Determinazione di una base dello spazio riga e colonna mediante l’individuazione di un minore che realizzail rango.

SPAZI VETTORIALI

Spazi vettoriali: definizione, somma e moltiplicazione di vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare e loroproprietà. Spazi vettoriali e loro spazio campio. Esempi: spazi vettoriali numerici, vettori geometrici, spazio deipolinomi. Spazi vettoriali su un campo.

polinomi in una indeterminata a coefficienti in R. Spazio delle successioni reali. Spazio delle funzioni continue da R ad R. Combinazioni lineari di vettori e chiusura lineare di un insieme. Lineare indipendenza di vettori ed insiemi linearmente dipendenti/indipendenti. Caratterizzazione della lineare dipendenza di un insieme in termini della sua chiusura lineare. Unicità della rappresentazione di vettori come combinazione lineare dei vettori di un insieme indipendente. Sottospazi vettoriali. Il vettore nullo sta in ogni sottospazio vettoriale. Span(X) è un sottospazio vettoriale e X è un sottospazio vettoriale se e solo se X=Span(X). L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio vettoriale di Kⁿ se e solo se il sistema è omogeneo. Generatorii e base di uno spazio vettoriale. Base canonica di Kⁿ, base dei vettori geometrici dello spazio e del piano. Base dello spazio dei polinomi in diciamo t indeterminata a coefficienti in R. Teorema di esistenza di una base per uno spazio vettoriale non banale. Due basi dello stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto ad una base ordinata. Per spazi vettoriali di dimensione finita: relazione tra dimensione di uno spazio vettoriale e cardinalità di insiemi di generatori e insiemi linearmente indipendenti; equivalenza tra insiemi aventi cardinalità pari alla dimensione tra lineare indipendenza e l'essere generatori. Definizione di sottospazio affine di uno spazio vettoriale. Giacitura e dimensione di un sottospazio affine. Punti, rette, piani e iperpiani. Il caso di R³. Sottospazi affini paralleli, incidenti e sghenbi. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi affini di Kⁿ. Ogni sottospazio affine ammette una rappresentazione cartesiana minimale. Rappresentazioni minimali e transizione tra le due rappresentazioni: da cartesiana a parametrica mediante risoluzione di parametri e cartesiana mediante il Teorema di Kronecker e eliminazione dei parametri. Condizioni di parallelismo tra rette in R² e tra piani e rette in R³. In R² non ci sono rette sghenbe e in R³ non ci sono piani sghenbi. Due rette in R³ sono sghenbe se e solo se non sono complanari. Condizioni di non complanarità per due rette in R³. Determinazione del piano passante per due rette date ed incidenti. Equazione cartesiana del fascio di piani passanti per una retta fissata. Condizioni di giacitura, incidenza e posizione sghenba per due sottospazi affini in forma parametrica. L'intersezione di sottospazi affini (risp. vettoriali) è un sottospazio affine (risp. vettoriale) se non è vuota (in ogni caso). Unione di sottospazi affini (risp. vettoriale) non é un sottospazio affine (risp. vettoriale). Somma di sottospazi vettoriali e teorema di Grassmann. Se W=span(X) e U=span(Y) allora W+U=span(X∪Y). Somma diretta di sottospazi vettoriali.

TRASFORMAZIONI LINEARI

Definizione di trasformazione lineare. Ogni trasformazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo e manda rette vettoriali in rette vettoriali. Esempi generali: omotetia, trasformazione nulla. La trasposizione é lineare. La derivata é lineare. Teorema di struttura delle trasformazioni lineari. Endomorfismi, isomorfismi e automorfismi. La composizione di due trasformazioni lineari é lineare e l'inversa di una funzione lineare invertibile é lineare. Condizioni di iniettività, suriettività e invertibilità per trasformazioni lineari in termini di immagine dei vettori di una base. Due sottospazi vettoriali aventi di per dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione (dimostrazione fatta del se). Immagine e controimmagine di un sottonspazione. Nucleo di un'immagine di una trasferazione lineare. L'immagine di un sottospazio affine (vettoriale) é un sottospazio affine (vettoriale). La controimmagine di un sottospazio affine (vettoriale) é un sottospazio affine (vettoriale). Trasformazione lineare associata ad una matrice. Ogni trasformazione lineare da Kⁿ a K^m é associata ad una matrice. Caratterizzazione di iniettività, suriettività, invertibilità, nucleo, immagine e controimmagine di un vettore per le trasformazioni associate ad una matrice. Equazione dimensionale delle trasformazioni lineari. Matrice associata ad una trasformazione lineare tra spazi finitamente generati rispetto a basi ordinate di dominio e codominio: determinazione su relazione con le equazioni della trasformazione. Caratterizzazione di iniettività, suriettività,