Appunti di Geometria e algebra T

SISTEMI LINEARI

Definizione e notazione matriciale; coefficienti di un sistema lineare: definizione di campo ed esempi; soluzioni di un sistema lineare e definizione di Kⁱ; sistemi lineari impossibili, determinati, indeterminati, compatibili; sistemi lineari quadrati e triangolari alti; criterio per l'unicità di soluzione di un sistema triangolare alto (con dimostrazione). Matrici e sistemi a scala. Criterio di compatibilità e unicità della soluzione per sistemi a scala. Risoluzione di sistemi a scala: variabili libere e vincolate. Sistemi equivalenti. Le operazioni elementari di riga sulla matrice completa non modificano l'insieme delle soluzioni del sistema associato. Ogni sistema è equivalente ad uno a scala: algoritmo di Gauss (con dimostrazione). Sistemi di Cramer e sistemi omogenei. Risoluzione di sistemi di Cramer con l’inversa della matrice dei coefficienti e con la regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare compatibile mediante l’individuazione di un minore che realizza il rango e l’utilizzo di una regola "tipo Cramer" per la determinazione delle variabili vincolate. Sistema omogeneo associato ad un sistema lineare, teorema di struttraffinitura per i sistemi lineari (con dimostrazione) e struttura affine dello spazio delle soluzioni.

MATRICI

Matrici triangolari e matrici a scala per righe, operazioni elementari di riga e algoritmo di Gauss di riduzione a scala. Definizione di rango di una matrice mediante riduzione a scala. Sottospazi associati ad una matrice: spazio riga, spazio colonna e spazio nullo. Determinazione di una base per lo spazio riga (con dimostrazione), per lo spazio colonna (dimostrazione solo nel caso a scala) e per lo spazio nullo. Operazioni tra matrici: addizione e prodotto per scalare e struttura di spazio vettoriale. Base canonica dello spazio delle matrici e dimensione. Prodotto riga per colonna tra matrici e sue proprietà. Il caso delle matrici quadrate: definizione di inversa e sua unicità. Trasposta di una matrice. Comportamento della trasposta rispetto alle operazioni. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Determinante di una matrice quadrata: definizione mediante lo sviluppo di Laplace. Formule per n=2 e n=3. Teorema sulla caratterizzazione del determinante in termini di proprietà. Proprietà del determinante. Determinanti di matrici triangolari (con dimostrazione). Calcolo del determinante mediante riduzione in forma triangolare. Invertibilità di matrici in termini di determinante (dimostrazione solo del fatto che A regolare implica A invertibile). Formula per determinare l’inversa mediante la matrice dei complementi algebrici. Teorema di caratterizzazione dell’inversa mediante riduzione a scala. Teorema di Kronecker e minori che realizzano il rango. Determinazione di una base dello spazio riga e colonna mediante l’individuazione di un minore che realizza il rango.

SPAZI VETTORIALI

Spazi vettoriali numerici: Kⁿ con addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare e loro proprietà. Spazi vettoriali su un campo. Esempi: spazi vettoriali numerici, vettori geometrici, spazio dei polinomi reali.

SISTEMI LINEARI

Definizione e notazione matriciale; coefficienti di un sistema lineare: definizione di campo ed esempi; soluzioni di un sistema lineare e definizione di k⁺; sistemi lineari impossibili, determinati, indeterminati, compatibili; sistemi lineari quadrati e triangolari alti; criterio per l'unicità di soluzione di un sistema triangolare alto (con dimostrazione). Matrici e sistemi a scala. Criterio di compatibilità e unicità della soluzione per sistemi a scala. Risoluzione di sistemi a scala: variabili libere e vincolate. Sistemi equivalenti. Le operazioni elementari di riga sulla matrice completa non modificano l'insieme delle soluzioni del sistema associato. Ogni sistema è equivalente ad uno a scala: algoritmo di Gauss (con dimostrazione). Sistemi di Cramer e sistemi omogenei. Risoluzione di sistemi di Cramer con l'inversa della matrice dei coefficienti e con la regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare compatibile mediante l'individuazione di un minore che realizza il rango e l'utilizzo di una regola "tipo Cramer" per la determinazione delle variabili vincolate. Sistema omogeneo associato ad un sistema lineare, teorema di struttura per i sistemi lineari (con dimostrazione) e struttura affine dello spazio delle soluzioni.

MATRICI

Matrici triangolari e matrici a scala per righe, operazioni elementari di riga e algoritmo di Gauss di riduzione a scala. Definizione di rango di una matrice mediante riduzione a scala. Sottospazi associati ad una matrice: spazio riga, spazio colonna e spazio nullo. Determinazione di una base per lo spazio riga (con dimostrazione), per lo spazio colonna (dimostrazione solo nel caso a scala) e per lo spazio nullo. Operazioni tra matrici: addizione e prodotto per scalare e struttura di spazio vettoriale. Base canonica dello spazio delle matrici e dimensione. Prodotto riga per colonna tra matrici e sue proprietà. Il caso delle matrici quadrate: definizione di inversa e sua unicità. Trasposta di una matrice. Comportamento della trasposta rispetto alle operazioni. Matrici simmetriche e antisimmetriche. Determi