Appunti Geometria e Algebra lineare

PAOLO DULIO WALTER PACCO

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

APPLICAZIONI LINEARI

TEORIA ED ESERCIZI SVOLTI

2

Indice

1 APPLICAZIONI LINEARI 5

1.1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Nucleo ed immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Composizione di applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Teorema fondamentale delle applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Spazi isomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Isomorfismo canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 MATRICI ASSOCIATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Il Teorema dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Matrici associate alla composizione di applicazioni lineari . . . . . . 19

1.2.3 Rappresentazione canonica indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4 Cambi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 SIMILITUDINE E DIAGONALIZZABILITÀ 29

2.1 SIMILITUDINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 DIAGONALIZZABILITÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Alcune proprietà del Polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 AUTOVALORI ED AUTOVETTORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Calcolo degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Autospazi di un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.3 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica . . . . . . . . . . . . 40

2.4 ENDOMORFISMI SIMMETRICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Il Teorema Spettrale nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2 Classificazione delle matrici ortogonali di ordine 2 . . . . . . . . . . 50

Significato geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3 Endomorfismi simmetrici in dimensione superiore . . . . . . . . . . . 52

Generalizzazione del prodotto scalare. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Generalizzazione delle matrici ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.4 Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Il Teorema Spettrale generalizzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.5 Matrici di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 Lo studio della similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 INDICE

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 73

3.1 ESERCIZI CAPITOLO 1 - SOLUZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 ESERCIZI CAPITOLO 2 - SOLUZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Capitolo 1

APPLICAZIONI LINEARI

Lo studio degli spazi vettoriali si amplia in maniera naturale quando vengono considerate

le applicazioni lineari. Esse sono particolari funzioni, definite tra due spazi vettoriali, la

cui importanza è quella di conservare le operazioni tipiche presenti in queste strutture.

1.1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ

Siano V e W due spazi vettoriali qualsiasi, definiti sullo stesso campo K. Una funzione

f : V −→ W è un’applicazione lineare se e solo f verifica le seguenti proprietà.

(i) Per ogni u, v ∈ V: f (u + v) = f (u) + f (v).

(ii) Per ogni a ∈ K e per ogni u ∈ V: f (au) = af (u).

Pertanto una applicazione lineare conserva le operazioni di somma di vettori e di

prodotto tra uno scalare ed un vettore.

Teorema 1.1. Le condizioni (i) e (ii) che definiscono una applicazione lineare sono

equivalenti all’unica condizione

0

(i ) Per ogni a, b ∈ K e per ogni u, v ∈ V: f (au + bv) = af (u) + bf (v).

-Dimostrazione. Se valgono (i) e (ii), si ha

1 2

( ) ( )

f (au + bv) = f (au) + f (bv) = af (u) + bf (v).

1 2

L’uguaglianza ( ) deriva dalla proprietà (i) e l’uguaglianza ( ) dalla (ii). Viceversa, se

0

vale la (i ), automaticamente è vera pure la (i), ponendo a = b = 1 e la (ii), ponendo

b = 0. ¥

Un’applicazione lineare f : V → W viene anche chiamata omomorfismo di spazi

vettoriali, di dominio V e codominio W. L’insieme di tali omomorfismi è indicato con

Hom(V, W).

Osservazioni ed esempi.

1. Il campo K che viene utilizzato nella costruzione di uno spazio vettoriale viene anche

detto campo base dello spazio.

6 APPLICAZIONI LINEARI

2. La proprietà (ii) giustifica il fatto che gli spazi V e W debbano necessariamente

essere definiti sullo stesso campo K. Altrimenti l’operazione di prodotto per uno

scalare al secondo membro della (ii) non sarebbe nemmeno definita.

3. Prescindendo dalla struttura di spazio vettoriale, possiamo considerare una applica-

zione lineare semplicemente come funzione tra due insiemi. Allora possiamo trasferi-

re ad una applicazione lineare f : V → W, senza alterarle, alcune definizioni valide

per generiche funzioni tra insiemi. Per esempio, f è una applicazione lineare iniet-

0 0

tiva se f (v) = f (v ) implica v = v . Invece f è una applicazione lineare suriettiva

w ∈ W esiste v ∈ V tale che f (v) = w. Si ha una applicazione lineare

se per ogni

biunivoca quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

4. Applicazioni lineari invertibili, ovvero contemporaneamente iniettive e suriettive, si

chiamano isomorfismi, e il loro insieme viene indicato da Iso(V, W). Nel caso in

cui dominio e codominio coincidano, gli omomorfismi prendono il nome di endo-

morfismi e gli isomorfismi quello di automorfismi. I loro insiemi sono individuati,

End(V) e Aut(V).

rispettivamente, dai simboli

5. Studiamo la linearità dell’applicazione:

2 2

f : R −→ R

t t

[x, y] 7−→ [x − y, x + y] .

Dobbiamo verificare se f conserva la somma di vettori e il prodotto tra un vettore ed

2 t 0 0 t

R. Consideriamo u, v ∈ R , con u = [a, b] e v = [a , b ]

uno scalare del campo base

e h, k ∈ R. Per il Teorema 1.1 basta verificare che

f (hu + kv) = hf (u) + kf (v).

t 0 0 t 0 0 t

Poiché hu + kv = h[a, b] + k[a , b ] = [ha + ka , hb + kb ] , abbiamo:

def

0 0 t

f (hu + kv) = f ([ha + ka , hb + kb ] ) =

0 0 0 0 t

= [(ha + ka ) − (hb + kb ), (ha + ka ) + (hb + kb )] =

0 0 0 0 t

= [h(a − b) + k(a − b ), h(a + b) + k(a + b )] =

t 0 0 0 0 t

= [h(a − b), h(a + b)] + [k(a − b ), k(a + b )] =

t 0 0 0 0 t t 0 0 t

= h[a − b, a + b] + k[a − b , a + b ] = hf ([a, b] ) + kf ([a , b ] ) =

= hf (u) + kf (v)

Quindi f è lineare.

6. Forme lineari. Sia W uno spazio vettoriale sul campo K. Una forma lineare su

W è un’applicazione lineare f ∈ Hom(W, K), dove il campo K è visto come spazio

2

vettoriale su se stesso. Per esempio, è facile verificare che l’applicazione f : R → R

definita da: 2

f : R −→ R

· ¸

x 7−→ x + y

y

1.1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ 7

t 0 0 0 t 2

è lineare. Infatti, per ogni a, b ∈ R e per ogni v = [x, y] e v = [x , y ] in R si ha:

µ · ¸ · ¸¶

0

x x

0

f (av + bv ) = f a + b =

0

y y

µ· ¸¶

0

ax + bx

= f =

0

ay + by

0 0 0 0

= ax + bx + ay + by = a(x + y) + b(x + y ) =

µ· ¸¶ µ· ¸¶

0

x x

= af + bf =

0

y y

0

= af (v) + bf (v ).

Quindi f è una forma lineare.

7. Consideriamo l’applicazione det : M (K) → K, che associa ad ogni matrice di

n

1

M (K) il proprio determinante . In questo caso, pur essendo ancora vero che il

n

codominio è il campo base dello spazio vettoriale al dominio, non si ha una forma

lineare, in quanto il determinante, in generale, non conserva il prodotto di un vettore

n

per uno scalare. Infatti, se a ∈ K, con a 6 = 1, ed A ∈ M (K), risulta

n

n

det(aA) = a det A 6 = a det A.

8. Consideriamo ora un importante esempio di applicazione lineare. Sia A una matrice

n m

ad elementi reali avente m righe ed n colonne. Allora la corrispondenza f : R → R

n

f (x) = Ax per ogni x ∈ R è una applicazione lineare. Infatti, per ogni

definita da

coppia di vettori x, y ∈ R, e per ogni scelta degli scalari a, b ∈ R, sfruttando le

proprietà delle matrici abbiamo

f (ax + by) = A(ax + by) = A(ax) + A(by) = aAx + bAy = af (x) + bf (y),

e quindi, per il Teorema 1.1, f è una applicazione lineare.

1.1.1 Nucleo ed immagine

Consideriamo l’applicazione f ∈ Hom(V, W). Il nucleo di f , indicato con ker f , è

l’insieme dei vettori di V che hanno come immagine il vettore nullo di W, cioè

ker f = {v ∈ V| f (v) = 0 } .

W

L’immagine di f , indicata con Imf è l’insieme dei vettori di W che vengono ottenuti

applicando f ai vettori di V, cioè

1 Indichiamo con M (K) l’insieme delle matrici quadrate, di ordine n, i cui elementi appartengono al

n

campo K.

8 APPLICAZIONI LINEARI

Imf = {w ∈ W| ∃v ∈ V : f (v) = w} .

Un modo più compatto per definire i due insiemi è il seguente. Il nucleo è l’insieme

−1

f (0 ), mentre l’immagine è f (V).

W

Ovviamente ker f ⊆ V e Imf ⊆ W. Il teorema seguente mette in evidenza che nucleo

ed immagine non sono semplici sottoinsiemi, ma hanno una loro propria struttura di spazio

2

vettoriale .

Teorema 1.2. Sia f : V → W una applicazione lineare. Allora ker f ≤ V, ed Imf ≤ W.

-Dimostrazione. Siano u, v ∈ ker f . Ciò significa che f (u) = f (v) = 0. Per ogni a, b

appartenenti al campo base K, abbiamo:

1

( )

f (au + bv) = af (u) + bf (v) = a0 + b0 = 0.

1

Quindi au + bv ∈ ker f , che è un sottospazio. L’uguaglianza ( ) è conseguenza della

linearità di f . 0

Allo stesso modo ragioniamo per l’immagine. Se w, w ∈ Imf , esistono almeno due

0 0 0

v, v ∈ V tali che f (v) = w e f (v ) = w . Ora, per ogni a, b ∈ K:

vettori 2

( )

0 0 0

aw + bw = af (v) + bf (v ) = f (av + bv ).

0 0

Ma av + bv ∈ V, quindi aw + bw ∈ Imf , che è sottospazio di W. Anche in questo caso

2

l’uguaglianza ( ) è conseguenza della linearità della f . ¥

L’iniettività di un’applicazione è caratterizzata dal seguente risultato.

Teorema 1.3. Sia f ∈ Hom(V, W). Condizione necessaria e sufficiente affinché f sia

iniettiva è che ker f = {0}.

-Dimostrazione. La condizione è necessaria. Supponiamo che f sia iniettiva. Ogni

vettore di W ammette al più un’unica controimmagine. Se v ∈ ker f , allora f (v) = 0.

Ma anche f (0) = 0, cioè f (v) = f (0). Per l’unicità della controimmagine, v = 0 e

ker f = {0}. 0

La condizione è sufficiente. Supponiamo ker f = {0}. Siano v, v ∈ V tali che f (v) =

0

f (v ) = w. Abbiamo: 0 0

0 = w − w = f (v) − f (v ) = f (v − v ).

0 0 0

Ciò significa che v − v ∈ ker f . Ma ker f = {0}, quindi v − v = 0, cioè v = v . Questo

significa che, se esiste una controimmagine di un vettore di W, questa è unica, ovvero che

f è iniettiva.

Osservazioni ed esempi.

1. Possiamo visualizzare qualitativamente l’azione di una applicazione lineare f : V →

W con il seguente grafico

2 Utiliziamo il simbolo ⊆ per indicare l’inclusione insiemistica, mentre la scrittura X ≤ V indica che X

è un sottospazio vettoriale di V.

1.1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ 9

f

V W

ker f Im f

0

V 0

W

Figura 1.1: rappresentazione qualitativa dell’azione di una applicazione lineare f : V →

W.

2. Applicazioni lineari singolari. Un’applicazione lineare f : V → W si dice sin-

golare se il suo nucleo non è il sottospazio banale di V, cioè se ker f 6 = {0}. In

v 6 = 0 in V tale che f (v) = 0. Sappiamo che

questo caso esiste almeno un vettore f sia iniettiva. Quindi

ker f = 0 è una condizione necessaria e sufficiente affinché

un’applicazione singolare non può essere un isomorfismo, non essendo iniettiva.

1.1.2 Composizione di applicazioni lineari

Consideriamo due applicazioni lineari f e g. Se f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W),

cioè se il codominio di f coincide con il dominio di g, possiamo allora considerare la

composizione g ◦ f ∈ Hom(U, W) delle due applicazioni lineari.

Teorema 1.4. La composizione di applicazioni lineari è ancora una applicazione lineare.

-Dimostrazione. Se f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W), per ogni a, b, x, y ∈ K e

0 0

per ogni u, u ∈ U e v, v ∈ V si ha: 0 0

f (au + bu ) = af (u) + bf (u ), (1.1.1)

0 0

g(xv + yv ) = xg(v) + yg(v ). (1.1.2)

0

Allora, per ogni h, k ∈ K e per ogni u, u ∈ U otteniamo:

¡ ¢ ¡ ¢

1 2

( ) ( )

0 0 0

(g ◦ f )(hu + ku ) = g f (hu + ku ) = g hf (u) + kf (u ) =

0 0

= hg(f (u)) + kg(f (u )) = h · (g ◦ f )(u) + k · (g ◦ f )(u ),

1 2

dove le uguaglianze ( ) e ( ) sono vere, rispettivamente, per la (1.1.1) e la (1.1.2). Quindi,

dalla definizione di linearità, la composizione g ◦ f è lineare, cioè g ◦ f ∈ Hom(U, W). ¥

Teorema 1.5. Siano f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W). Se f e g sono iniettive, allora

g ◦ f è iniettiva 0 0

-Dimostrazione. Supponiamo che esistano u, u ∈ U tali che g ◦ f (u) = g ◦ f (u ), cioè

0

g(f (w)) = g(f (w )). Ma g è iniettiva, quindi le controimmagini sono uniche. Ciò significa

0 0

che f (u) = f (u ). Poiché anche f è iniettiva, risulta u = u . Pertanto g ◦ f è iniettiva. ¥

10 APPLICAZIONI LINEARI

Teorema 1.6. Siano f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W). Se f e g sono suriettive,

allora g ◦ f è suriettiva

-Dimostrazione. Sia w ∈ W. Siccome g è suriettiva, esiste (almeno) un vettore

v ∈ V tale che g(v) = w. Ma anche f è suriettiva, quindi esiste un u ∈ U tale che

f (u) = v. Di conseguenza è vera la seguente uguaglianza:

g ◦ f (u) = g(f (u)) = g(v) = w.

Ogni vettore di W ammette almeno una controimmagine, tramite l’applicazione g ◦ f ,

nello spazio U, per cui g ◦ f è suriettiva. ¥

Teorema 1.7. Siano f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W). Se g ◦ f è iniettiva allora f è

iniettiva.

-Dimostrazione. Supponiamo che f non sia iniettiva. Esistono allora due vettori

0 0

distinti u, u ∈ U, tali che f (u) = f (u ). Di conseguenza:

0 0

(g ◦ f )(u) = g(f (u)) = g(f (u )) = (g ◦ f )(u ). 0

Ma ciò è impossibile per l’iniettività di g ◦ f . Pertanto deve essere u = u ed f deve essere

iniettiva. ¥

Teorema 1.8. Siano f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W). Se g ◦ f è suriettiva allora g

è suriettiva.

-Dimostrazione. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio ammette

almeno una controimmagine. Se g ◦ f è suriettiva, per ogni w ∈ W esiste almeno un

f (u) = v ∈ V, abbiamo g(v) =

u ∈ U tale che (g ◦ f )(u) = g(f (u)) = w. Se poniamo

g(f (u)) = w, ovvero ogni vettore di W ha almeno una controimmagine, tramite g, in V.

Quindi g è suriettiva. ¥

Osservazioni ed esempi.

1. La composizione di applicazioni lineari è generalizzabile ad un numero finito qualsiasi

di applicazioni, con le dovute considerazioni sui domini e codomini. Queste non sono

ovviamente necessarie nel momento in cui si parla di endomorfismi, per i quali domini

e codomini coincidono.

2. Siano f ∈ Hom(U, V) e g ∈ Hom(V, W). Se g ◦ f è iniettiva il Teorema 1.7

garantisce che f è iniettiva, ma non fornisce alcuna informazione sulla iniettività di

g. Analogamente, se g ◦ f è suriettiva, il Teorema 1.8 garantisce che g è suriettiva,

ma non fornisce alcuna informazione sulla suriettività di f .

1.1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ 11

1.1.3 Teorema fondamentale delle applicazioni lineari

Un importante risultato nell’analisi di un’applicazione lineare è descritto nel teorema

seguente, noto come Teorema fondamentale delle applicazioni lineari.

Teorema 1.9. Se V e W sono spazi vettoriali sullo stesso campo K, e B = {v , . . . , v } è

1 n

una base di V, fissati n vettori di W, ad esempio w , . . . , w , esiste un’unica applicazione

1 n

lineare f ∈ Hom(V, W) tale che

f (v ) = w , i = 1, . . . , n. (1.1.3)

i i

-Dimostrazione. Consideriamo un generico vettore v di V. Esso si scrive in modo

unico come combinazione lineare dei vettori di B, cioè esistono a , ..., a ∈ K tali che

1 n

v = a v + · · · + a v . Consideriamo allora la funzione f : V → W definita come segue

1 1 n n

f (v) = f (a v + · · · + a v ) = a f (v ) + · · · + a f (v ) =

1 1 n n 1 1 n n (1.1.4)

= a w + · · · + a w ∈ W.

1 1 n n

Essa, ovviamente, verifica le condizioni (1.1.3). Inoltre, tale funzione è una applicazione

n n

X X

lineare. Infatti, se v , v ∈ V, con v = a v , v = b v , e h, k ∈ K, allora:

1 2 1 i i 2 i i

i=1 i=1

à à ! à !!

n n

X X

f (hv + kv ) = f h a v + k b v ) =

1 2 i i i i

i=1 i=1

µ ¶ µ ¶

P P P

n n n

= f ha v + kb v = f (ha + kb )v =

i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

P P P P

n n n n

= (ha + kb )f (v ) = (ha + kb )w = ha w + kb w =

i i i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1 i=1

µ ¶ µ ¶

P P P P

n n n

n ha f (v ) + kb f (v ) = h a f (v ) + k b f (v ) =

= i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1 i=1

µ ¶ µ ¶

P P

n n

= hf a v + kf b v = hf (v ) + kf (v ).

i i i i 1 2

i=1 i=1

Pertanto è possibile costruire una applicazione lineare f : V → W a partire dall’immagine

di una base fissata di V. Tale applicazione