Appunti di Geometria e algebra lineare

A B A A B A

Spesso nei testi questa formula si trova scritta nella forma

− −

x x y y

A A

= .

− −

x x y y

B A B A

Ne sconsigliamo l’uso, in quanto in quest’ultima forma occorre che i denominatori siano diversi

da zero, ovvero che la retta non sia parallela a nessuno dei due assi, la qual cosa non è sempre

verificata nelle applicazioni che interessano.

6.4.4 Retta per un punto e parallela (o perpendicolare) a una retta data

y = mx+q,

Se la retta data è non verticale, si può, come già noto, scrivere in forma esplicita:

− −1),

mx y + q = 0, v = (m, x = t ; y = mt + q,

cioè con vettore perpendicolare o parametrica

u = (1, m).

con vettore parallelo Procediamo intanto a trovare la parallela a una retta data.

−→

A(x , y ) P (x, y) AP

Detto il punto assegnato, un punto appartiene alla retta se e solo se è

A A

u.

parallelo a

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Algebra lineare e geometria analitica 40

— Usando la condizione di parallelismo si ottiene:

i j k 1 m

⇔ ⇔ − −

1 m 0 =0 = 0 y y = m(x x ) .

A A

− −

x x y y

A A

− −

x x y y 0

A A

— Usando la condizione di perpendicolarità si ottiene:

å

Ç å Ç −

m x x A ⇔ − −

· = 0 y y = m(x x ) ,

A A

−1 −

y y

A

cioè lo stesso risultato di prima.

Se non è possibile, o conveniente, scrivere la retta data in forma esplicita e si vuole usare la

ax + by + c = 0, = (a, b)),

forma implicita, un vettore perpendicolare alla retta è immediato (v

un vettore parallelo si può trovare o passando alle equazioni parametriche o, semplicemente,

−Q.

P Q u = P

prendendo due punti e arbitrari della retta e considerando il vettore Dopodiché

si procede esattamente come prima. Si può, ancora più semplicemente, osservare che la retta

ax+by +γ = 0, γ

cercata deve essere del tipo e che la determinazione di richiede solo di scrivere

A.

la condizione di passaggio per il punto dato

A questo punto la scrittura dell’equazione della retta per un punto e perpendicolare a una

retta data è poco più che un gioco da ragazzi. . .

6.4.5 Distanza di un punto da una retta

A(x , y ) r ax + by + c = 0

Siano un punto e una retta di equazione implicita (in questo caso

A A P (x , y )

l’equazione implicita è la più conveniente). Detto un generico punto della retta, la

P P −→

d(A, r), AP

distanza richiesta, non è altro che il modulo della proiezione di sulla perpendicolare

alla retta stessa. y A

b

ϕ H

b

P b

O x

Figura 6.4: Distanza di un punto da una retta

−→

k k·|

AH = AP cos(ϕ)|. v = (a, b)

Con riferimento alla figura 6.4, si ha: Teniamo ora conto che

AH. v

è un vettore perpendicolare alla retta, cioè parallelo ad Il vettore potrebbe avere il verso

−−→ −−→ −→ −

AH HA. v AP ϕ, ϕ,

π

di oppure quello di Allora l’angolo tra e è oppure ma questi due

angoli hanno coseno che differisce solo per il segno. Se ne deduce che

−→ −→

|a(x − − |

· = x ) + b(y y )| = v AP cos(ϕ)| ,

v AP P A P A

da cui |a(x − −

x ) + b(y y )|

P A P A

| cos(ϕ)| = .

−→

v AP

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Algebra lineare e geometria analitica 41

−c,

A ax + by =

Teniamo ora conto che il punto appartiene alla retta, per cui e che

A A

p 2 2

kvk = a + b .

Allora |ax − |ax

+ by (ax + by )| + by + c|

P P A A P P

| cos(ϕ)| = = .

−→ −→

AP AP

v v

Si conclude che −→ −→ |ax |ax

+ by + c| + by + c|

P P P P

√

k k · | k k

AH = AP cos(ϕ)| = AP .

=

d(A, r) = √ −→ 2 2

a + b

2 2

a + b AP

6.5 Intersezioni di rette nel piano

Date due o più rette nel piano ci possiamo chiedere se esse hanno o no punti in comune. Dal

punto di vista algebrico il problema si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni in

due incognite, a cui si potranno applicare tutte le tecniche già viste. a x +

È particolarmente importante, per il suo significato geometrico, il caso di due rette: 1

b y + c = 0 a x + b y + c = 0.

e Il sistema formato dalle due equazioni è

1 1 2 2 2 ® −c

a x + b y =

1 1 1 ,

−c

a x + b y =

2 2 2

con le matrici completa e incompleta seguenti å

Ç −c

a b 1

1 1 .

A|b = −c

a b

2 2 2

Si possono presentare tre possibilità.

rg(A) = 2 rg(A|b) = 2),

— (e quindi a fortiori ovvero

a b

1 1 6 = 0 .

a b

2 2

In questo caso il sistema ha una sola soluzione, il punto di intersezione delle due rette. Si

può notare che la condizione appena scritta non è altro che la condizione che le due rette

non siano parallele. In questo caso le due rette appartengono a un fascio proprio di rette.

rg(A) = 1 rg(A|b) = 2,

— e ovvero −c −c

a b a b

1 1 1 1 1 1

6 ∨ 6

= 0 , = 0 = 0 .

ma −c −c

a b a b

2 2 2 2 2 2

In questo caso il sistema non ha soluzioni. Le condizioni appena scritte esprimono il fatto

che le due rette sono parallele, ma distinte. Le due rette appartengono dunque a un fascio

improprio di rette.

rg(A) = 1 rg(A|b) = 1,

— e ovvero −c −c

a b

a b 1 1

1 1 1 1 = 0 .

= = −c

−c b

a b a 2 2

2 2 2 2

1

In questo caso il sistema ha infinite (∞ ) soluzioni. Le condizioni appena scritte esprimono

il fatto che le due rette sono parallele e coincidenti.

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6.6 Rette nel piano: esercizi

−1), −

A(−1, B(5, 2), C(3, 5) r : 2x y + 1 = 0.

Sono dati i punti e la retta Risolvi i seguenti

problemi, applicando le tecniche del calcolo vettoriale, e facendo il minor uso possibile delle

formule dimostrate. r.

Esercizio 6.1. Trova le equazioni parametriche della retta

−1)

A(−1, B(5, 2) r.

Esercizio 6.2. Trova la retta per e e perpendicolare alla retta

−1)

A(−1, B(5, 2) r.

Esercizio 6.3. Trova la retta per e e parallela alla retta

AC B.

Esercizio 6.4. Trova la distanza tra la retta e il punto

−−→ −→

AB AC.

Esercizio 6.5. Trova il prodotto vettoriale tra i vettori e

−−→

BC r.

Esercizio 6.6. Trova il prodotto scalare tra il vettore e un vettore parallelo a

6.7 Piani nello spazio cartesiano

La trattazione dell’equazione di un piano nello spazio cartesiano avviene in maniera sostan-

zialmente identica a quella delle rette nello spazio; naturalmente, avendo ora una variabile in

più, la situazione potrà essere più complessa (e quindi più interessante). Lo si può constatare

confrontando le righe che seguono con le definizioni date nel caso della retta nel piano.

Consideriamo la più generale equazione di primo grado in tre incognite:

ax + by + cz + d = 0. (6.4)

a, b c

Perchè sia effettivamente un’equazione di primo grado occorre che i coefficienti e non

siano contemporaneamente nulli. In formule questa condizione si può scrivere, per esempio,

2 2 2 |a| |b| |c|

a + b + c > 0 + + > 0.

oppure

Poiché vogliamo usare la teoria delle matrici, consideriamo la matrice incompleta e la matrice

−d,

ax + by + cz =

completa, scrivendo l’equazione nella forma, tipica dei sistemi, cioè con il

termine noto a secondo membro: Ä ä

−d

a b c

A|b = .

Poichè è ovvio che i quattro coefficienti non devono essere contemporaneamente nulli, la con-

dizione sopradetta coincide allora con la condizione di risolubilità del “sistema” (costituito da

una sola equazione) Ö è

x

Ä ä Ä ä

−d

a b c y = ,

z

che è la condizione rg(A) = rg(A|b) = 1 .

Tenendo conto della teoria generale dei sistemi lineari, possiamo affermare che in queste

2

∞

condizioni l’equazione ha soluzioni, dipendenti da due parametri. Precisamente

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6 −by − −

a = 0, ax = cz d,

— se allora si scrive da cui

 b c d

− − −

x = u v

a a a



 ;

y = u

 z = v



6 −ax − −

b = 0, by = cz d,

— se allora si scrive da cui

 x = u



 ab cb d

− − − ;

y = u v b

 z = v



6 −ax − −

c = 0, cz = by d,

— se allora si scrive da cui

 x = u



 y = v ;

b d

a − −

−

 u v

y =

 c c c

6 ∧ 6 ∧ 6

a = 0 b = 0 c = 0,

— se si può scegliere indifferentemente una o l’altra forma.

Volendo considerare una formulazione generale che comprenda i casi visti, si usa scrivere la

soluzione nella forma:  x = λ u + λ v + α

1 2



 y = µ u + µ v + β ; (6.5)

1 2

 z = ν u + ν v + γ

 1 2

Oxyz,

In un sistema cartesiano ortogonale monometrico l’insieme delle soluzioni di un’equa-

π

zione di primo grado in tre incognite ha sempre come grafico un piano e, viceversa, ad ogni

π

piano dello spazio corrisponde una sola equazione di primo grado in due incognite le cui

soluzioni sono proprio tutti e soli i punti del piano.

Ebbene

1. un’equazione del tipo 6.4 si dice equazione implicita del piano;

2. un sistema di equazioni del tipo 6.5 si dice (sistema di) equazioni parametriche del piano,

o, semplicemente equazione parametrica del piano;

6

c = 0

Se l’equazione 6.4 si può anche scrivere nella forma

a b d

− − −

z = x y = mx + ny + q , (6.6)

c c c 6

c = 0

che viene detta equazione esplicita del piano. Si noti che la condizione implica che il

O

piano non sia “verticale”, cioè parallelo all’asse , o, il che è lo stesso, perpendicolare al piano

z

O .

xy = 0)

È ovvio che l’equazione esplicita si può sempre scrivere in for