Appunti del corso di Geometria e algebra lineare

STRUTTURE ALGEBRICHE

Sia G un insieme non vuoto e ⊕ un'operazione binaria interna

∀x, y ∈ G x ⊕ y = z ∈ G

La coppia (G, ⊕) è detta gruppoide rispetto al ⊕

• Semigruppo un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo

∀x, y, z ∈ G x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z

• Moniode un semigruppo dotato da elemento neutro e ∈ G rispetto all'operazione ⊕

∃ e ∈ G ∀x ∈ G e ⊗ x = x = x ⊗ e

1. Un gruppo (G, ⊕) è una struttura algebrica definita dagli assiomi del moniode a quali si aggiunge esistenza dell'inverso.

∀x ∈ G ∃! y ∈ G / x ⊕ y = e ELEMENTO NEUTRO

y ELEMENTO INVERSO

Un gruppo è commutativo o abeliano se

∀x, y ∈ G x ⊕ y = y ⊕ x

2. Anello: insieme A dotato di 2 operazioni interne ⊕ e ⊗

Il sistema (A, ⊕, ⊗) è Anello se

1. Commutativo rispetto la 1^a operazione (A, ⊕)
2. Associativo rispetto la 2^a (A, ⊗) (semigruppo)
3. Legge di compatibilità fra 2 operazioni

∀x, y, z ∈ A x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z)

Anello unitario se esiste l'elemento neutro

Anello commutativo se vale la proprietà rispetto a ⊗

Sia (A,⊕,⊗) un anello. Se (A\*,⊗) è un gruppo commutativo, (A,⊗) è un campo

Q,R e di sono campi scalene, in cui ogni elemento è può essere definito scalene

*Esclude elemento neutro

Relazioni di equivalenza

Dati due insiemi non vuoti A e B si definisce prodotto cartesiano

A×B l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) / a∈A, b∈B

A×B = {(a,b) / a∈A , b∈B}

1. Una relazione è una terna (A,B,R) in cui A e B sono due insiemi non vuoti e R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Per indicare 2 elementi in relazione: aRb o (a,b)∈R

• Una relazione è riflessiva: se aRa ∀a∈R
• Simmetrica: se aRb ⇒ bRa ∀a,b∈R
• Transitiva: se aRb, bRc ⇒ aRc ∀a,b,c∈R

Una relazione è di equivalenza se è: riflessiva, simmetrica e transitiva

Esempio: A/R (rel/relato del piano) R≤S ⇔ l~1/3

R è riflessiva, transitiva e simmetrica

Quindi si può dividere l'insieme A in sottoinsiemi, ciascuno dei quali conterrà solo elementi relazionati Classi di equivalenza

Queste classi rappresentano ed ogni rappresenta ...

2.5 Prodotto Vettoriale

Definiamo prodotto vettoriale V ∧ W con:

1. Direzione ortogonale al piano individuato da V e W
2. Modulo pari a |V| |W| sen(ϕ)
3. Verso dato dalla regola della mano destra

V ∧ W

Il prodotto vettoriale è nullo solo quando uno dei vettori è nullo oppure sono paralleli.

• Il prodotto vettoriale è anticommutativo V ∧ W = - W ∧ V
• Distributivo rispetto alla somma fra vettori V ∧ (W₁ + W₂) = V ∧ W₁ + V ∧ W₂

Se consideriamo un parallelogramma avente per lati V W, la sua area sarà pari al modulo del prodotto vettoriale |V ∧ W|

Se i vettori appartengono allo spazio cartesiano V = (Vx, Vy, Vz) e W = (Wx, Wy, Wz) il prodotto vettoriale sarà:

V ∧ W = i(Vy Wz - Vz Wy) - j(Vz Wx - Vx Wz) + k(Vx Wy - Vy Wx)

Siano V = OP e π un piano passante per O il quale appartengano i vettori U₁, U₂.

M ≥ 1

Sia A ∈ M_m,m(ℝ) detta una sottomatrice di A una qualsiasi matrice ottenuta usando gli elementi che appartengono contemporaneamente a un numero p di righe di A e a un numero q di colonne di A. Diremo minore di ordine p di A il determinante di una sottomatrice di ordine p di A. Diremo COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento a_ij ∈ A il minore di ordine n-1 ottenuto cancellando la riga e la colonna a cui appartiene a_ij, moltiplicato per (-1)^i+j

ESEMPIO

A = 1010 2120 3131 SOTTOMATRICE 10 21 10 20

A = 123 010 224 COMPLEMENTO ALGEBRICO di a₂₃ A₂₃ = (-1)³ 01 22 = -2

TEOREMA DI LAPLACE

Sia A una matrice quadrata di un certo ordine n. Il determinante di A si ottiene moltiplicando una qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici e sommando tutti i prodotti ottenute

A = 3210 2101 0110 3201 LAPLACE ⇒ Det(A) = 1011 11-21 2100 3130 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0

SE LA MATRICE HA UNA COLONNA O UNA RIGA CON TUTTI GLI ELEMENTI NULLI, AVRA DET NULLA Una matrice con det nulla è detta SINGOLARE

Se consideriamo A = matrice dei coefficienti

X = matrice incognite

B = matrice termini noti

A = | a11 a12 ... a1m |

| a21 a22 ... a2m |

| am1 am2 ... amm |

X = | x1 |

| x2 |

| ... |

| xn |

B = | b1 |

| b2 |

| ... |

| bm |

A = matrice incompleta

AB = matrice completa

TEOREMA: le soluzioni del sistema lineare A·X = B sono

il sistema di A'·X = B' ottenuto attraverso operazioni elementari

TEOREMA DI ROUCHÉ - CAPELLI

Un sistema lineare ammette soluzione se ρ(A) = ρ(AB)

Il numero delle soluzioni sarà ∞ⁿ⁻ᵐ (m = incognite)

I sistemi che ammettono soluzione sono compatibili.

ESEMPIO

ρ(A) = ρ(AB)

R₂ - R₂ - R₁

R₃ = R₁ - R₁

Soluzioni = ∞³⁻³ = ∞⁰ = 1 unica soluzione

e = (1, 0, 0)

e₂ = (0, 1, 0)

K = (0, 0, 1) e₃

a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

a (1, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (0, 0, 0)

(a, b, c) = (0, 0, 0) ↔

• a = 0
• b = 0
• c = 0

Linearmente indipendenti.

Aggiungiamo il vettore v = (1, 1, 1) ≠ u

a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) + d (1, 1, 1) = (0, 0, 0)

a (1, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) + (d, d, d) = (0, 0, 0)

(a + d, b + d, c + d) = (0, 0, 0) ↔

• a + d = 0
• b + d = 0
• c + d = 0

⇒

• a = -d
• b = -d
• c = -d

a = b = c = d

Linearmente dipendenti.

• Due distinte basi di uno spazio vettoriale contengono lo stesso numero di elementi.
• Chiamiamo dimensione di uno spazio vettoriale V e la indichiamo con dim (V) il numero di vettori che formano una base di V.
• Supponiamo di avere V ⊆ ℝ³
  • V = {(x, y, z) ∈ ℤ³: x + y = 0
  • y - z = 0
• V = {(x, -x, z) ∈ ℤ : β₁ = (1, -1, 0), (0, 0, 1)
• basi
• β₁: (1, -1, 0), (0, 0, 1)

dim V = 2