Appunti del corso di Geometria e algebra lineare

STRUTTURE ALGEBRICHE

Sia G un insieme non vuoto e ⊕ un'operazione binaria interna

∀ x, y ∈ G x ⊕ y = z ∈ G

• La coppia (G, ⊕) è detta gruppoide rispetto al ⊕
• Semigruppo un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo

∀ x, y, z ∈ G (x ⊕ (y ⊕ z) = ((x ⊕ y) ⊕ z)

• Monoidale un semigruppo dotato di elemento neutro e ∈ G

∃ e ∈ G / ∀ x ∈ G e ⊕ x = x ⊕ e = x

1. Un Gruppo (G, ⊕) è una struttura algebrica definita dalle assiomi del monoid a qual si aggiunge l'esistenza dell'inverso.

∀ e ∈ G / ∀ x ∈ G ∃ y ∈ G / x ⊕ y = y ⊕ x = e

Un gruppo è commutativo/abeliano se

∀ x, y ∈ G x ⊕ y = y ⊕ x

2. Anello: insieme A dotato di 2 operazioni interne ⊕ e ⊗

Il sistema (A, ⊕, ⊗) è un Anello se

1. Commutativo rispetto la 1^a operazione (A, ⊕)
2. Associativo rispetto la 2^a (A, ⊗) (semigruppo)
3. Legge di compatibilità fra 2 operazione

∀ x, y, z ∈ A x ⊗ (y ⊕ z) = ((x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z))

STRUTTURE ALGEBRICHE

Sia G un insieme non vuoto e ⊕ un'operazione binaria interna

∀ x,y ∈ G x ⊕ y = z ∈ G

La coppia (G, ⊕) è detta gruppoide rispetto al'operazione:

• S _emi gruppo un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo

∀ x,y,z ∈ G x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z

• Mon _oide un semigruppo dotato di elemento neutro ∈ Grispetto all'operazione ⊕

∃ e ∈ G / ∀ x ∈ G e ⊕ x = x ⊕ e = x

Un Gruppo

(G, ⊕) è una struttura algebrica definita dalle assiomidel monoid a cui si aggiunge l'esistenza dell'inverso.

∀ x ∈ G ∃ y ∈ G / x ⊕ y = y ⊕ x = ex ^Elemento Neutro

y ^{Elemento Inverso}

Un gruppo è commutativo o abeliano se

∀ x,y ∈ G x ⊕ y = y ⊕ x

Anello

insieme A dotato di 2 operazioni interne ⊕ ⊗Il sistema (A, ⊕, ⊗) è Anello se

1. Commutativo rispetto la 1^a operazione (A, ⊕)
2. Associative rispetto la 2^a operazione (A, ⊗) (semigruppo)
3. Legge di compatibilità fra 2 operazioni

∀ x,y,z ∈ A x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z)

ANELLO UNITARIO SE ESISTE L'ELEMENTO NEUTRO ANELLO COMMUTATIVO SE VALE LA PROPRIETA' RISPETTO A

Sia _(A,⊕,⊗) un anello. Se _(A*,⊗) è un gruppo (A,⊗)

un gruppo commutativo (A,⊕,⊗) è un campo.

* ESCLUDE ELEMENTO NEUTRO

ℚ ℝ e ℂ sono campi scalari in cui ogni elemento può essere definito scalare.

RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Dato due insiemi non vuoti A e B si definisce prodotto cartesiano

A×B l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) /a∈A b∈B

A×B ={(a,b) / a∈A , b∈B}

Una relazione è una terna (A,B,R) in cui A e B sono due

insiemi non vuoti e R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Per indicare 2 elementi in relazione: aRb o (a,b)∈R

UNA RELAZIONE È:

• RIFLESSIVA: se aRA ∀a∈R
• SIMMETRICA: se aRb ⇒ bRa ∀a,b∈R
• TRANSITIVA: se aRb, bRc ⇒ aRc ∀a,b, c ∈ R

UNA RELAZIONE È DI EQUIVALENZA SE È RIFLESSIVA SIMMETRICA E TRANSITIVA

ESEMPIO:

A: Reale dei piombi RS si R/S

R è riflessiva transitiva e simmetrica

Quindi si può dividere l'insieme A in sottoinsiemi ciascuno dei

quali contengono solo elementi in relazione CLASSI DI EQUIVALENZA

Ogni classe può essere rappresentata da uno dei suoi elementi e si classi

fra loro non hanno elementi in comune.

2. Vettori geometrici

Siano A, B due punti del piano o dello spazio.

AB è detto vettore applicato in A individuato da direzione verso

e modulo. Un vettore è detto versore di una retta se è un

vettore di modulo 1.

2 vettori sono equivalenti se hanno la stessa direzione, verso e modulo.

Tutti i vettori sono distribuiti in classi di equivalenza, ciascuna class.

è detto vettore geometrico. Una classe di equivalenza [AB̅] è composta

da tutti i vettori equivalenti ad AB̅.

2.2