Appunti di Geometria e Algebra lineare - Geometria

Missanelli Francesca - Corso ingegneria civile e architettura

Informazioni corso

Prof. G. Ceresa
Sito web: Dipartimento dei Matemi

Orari

• Lun 14:00-17:15 Aula 4
• Mer 8:30-11:45 Aula 1
• Giov 11:30-14:15 Aula 1

Geometria - I semestre (Algebra lineare)

Massimi Francesca - Corso ingegneria edile e architettura

Prof. G. Corso libero
Sito web: Dipartimento dei Matemi

Orari

• Lun 14:00/17:15 Aula 4
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Lezione - Spazio vettoriale

È un insieme di elementi chiamati vettori e scalari (numeri). Insieme di azioni che dato un insieme V (non vuoto), in esso è definita una struttura di spazio vettoriale - sul campo K (numeri reali o scalari). Sia in V sono definite due operazioni:

• Somma di vettori
• Prodotto di vettori per scalari (numeri)

Esempio

Vettore colonna così può essere rappresentato.
V = { ^x₁ | x₁, x₂ ∈ ℝ }

Due richieste:
Vettore somma ^{x₁ y₁ x₁+y₁}_x₂ + _y₂ = _x₂+y₂
^{-3 2 -1}₈ + _-4 = ₄

Prodotto di vettore e scalare α ^{x₁ αx₁} _x₂ = _αx₂
^-2 = ^-6 ₈ = ₁₆

Campo algebrico

Esistono tanti tipi di campi:
ℚ → (ℝ ≠ i) → Noi prendiamo questi
^m/_n - (m, n ∈ ℤ) n ≠ 0

Le due operazioni richieste devono rispettare una serie di proprietà (assiomi)

Proprietà

1. Esiste un vettore (indicato con 0) tale che 0 + v = v + 0 = v si chiama elemento neutro.
2. Per v esiste l'opposto di v: -v (opposto) v + (-v) = 0
3. Associativa della somma: (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ + (v₂ + v₃)
4. Commutativa della somma v₁ + v₂ = v₂ + v₁
5. 1×v = v ... 1∈R
6. (αβ)v = α(βv) = β(αv) Associativa del prodotto es: -2((3/5)v) = 2(1/5)(3v)
7. α (v + w) = αv + αw
8. (α + β)v = αv + βv

Coppie ordinate di numeri reali

0 = ⁰/₀ Vettore nullo
-x₁ = ^.../_-x₁
x₂ = ^.../_x₂
R ³ {^.../_{v₁, v₂, v₃} ∈ R }
Es: 2, -3, 1 -1, 8, 9 0, 10, 10

N-uple ordinate di numeri reali

Esempio di spazio vettoriale: le matrici sono tavole di numeri con m righe e n colonne. M_m,n(R) A^m×n = (a_ij) A+B = (a_ij + b_ij) B = (b_ij) A = (a_ij)

II Lezione

5/10/16
Ripetizione spazio vettoriale: insieme non vuoto, con vettori e numeri (che indica come reale). V + V = V (per proprietà, somma di vettori) Proprietà n. 1, 2, 3, 4 (esaminate nella 1 lezione) V . V = (prodotto su scala e vettori) V di K ∝ V, a ∈ V e definito il vettore a . v Proprietà n. 5, 6, 7, 8 (esaminate nella 1 lezione)

Esercizi (osservazioni banali)

1. L'elemento neutro 0 è unico. L'opposto è unico.
2. αθ = θ-1V = V0V = θ Se V ≠ θ αV = θ => α = θ
3. E.g.: θ1θ2 = θ1-θ2 = 0 E.g.: 0θ1 = θ2 = 0
4. Siano V e W 2 vettori c. opposti: V + W = θ W + V = θ V + 2V = θ W' + W = θ W' + H (2V) H (W + 2V) - (W + 2V) H 2H V = θ (W + H) 7 H = 0 + 2 - 2

Richiami:

αθ = L (θ + θ) = Lθ + Lθ = θ 2θ = θ L(1) V + V = θ => L (H + H V1T) - (1 - 1) V2 - θ V = θ αV = V ≠ θ α = 0 Se α ≠ θ α [(α, θ, V)] ([α], α, V) * Contraddizione

Vettori: segmenti orientati (con origine in O)

Orientato: Identità di una direzione (retta per O sui cui giace) Identità di un orientamento (verso) quindi uno simmetrico delle due Identità delle lunghezze (val) (norma, modulo) Vettori con lunghezza 0