Appunti di Geometria e Algebra lineare - Geometria

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GEOMETRIA

I SEMESTRE

(ALGEBRA LINEARE)

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GEOMETRIA

I SEMESTRE

(ALGEBRA LINEARE)

LEZIONE

SPAZIO VETTORIALE

È un insieme di elementi chiamati vettori e scalari (numeri). Insieme di azioni che dato un insieme V (non vuoto), in esso è definita una struttura di spazio vettoriale - sul campo K (numeri reali o scalari). Sia in V sono definite due operazioni:

• Somma di vettori
• Prodotto di vettori per scalari (numeri)

ESEMPIO: vettore colonna così può essere rappresentato.

V = { ^x₁ | x₁, x₂ ∈ ℝ }

Due richieste:

• Vettore somma ^{x₁ y₁ x₁+y₁}_x₂ + _y₂ = _x₂+y₂^{-3 2 -1}₈ + _-4 = ₄
• Prodotto di vettore e scalare α ^{x₁ αx₁} _x₂ = _αx₂ ^-2 = ^-6 ₈ = ₁₆

CAMPO ALGEBRICO → Esistono tanti tipi di campi:

• ℚ → (ℝ ≠ i) → Noi prendiamo questi
• ^m/_n - (m, n ∈ ℤ) n ≠ 0
• (m, n)

• Le due operazioni richieste devono rispettare una serie di proprietà (assiomi)

PROPRIETA

1. Esiste un vettore (indicato con 0) tale che

   0 + v = v + 0 = v

   si chiama elemento neutro.

2. Per v esiste l'opposto di v: -v (opposto)

   v + (-v) = 0

3. Associativa della somma:

   (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ + (v₂ + v₃)

4. Commutativa della somma

   v₁ + v₂ = v₂ + v₁

5. 1×v = v ... 1∈R

6. (αβ)v = α(βv) = β(αv) Associativa del prodotto

   es: -2((3/5)v) = 2(1/5)(3v)

7. α (v + w) = αv + αw

8. (α + β)v = αv + βv

1. Coppie ordinate di numeri reali

0 = ⁰/₀ Vettore Nullo

-x₁ = ^.../_-x₁

x₂ = ^.../_x₂

R ³ {^.../_{v₁, v₂, v₃} ∈ R }

Es:

2, -3, 1

-1, 8, 9

0, 10, 10

1. 3, 1 = 3

2, 1 = 6

1. n-uple ordinate di numeri reali

Esempio di Spazio Vettoriale

LE MATRICI: Tavole di numeri con m righe e n colonne:

M_m,n(R)

A^m×n = (a_ij)

A+B = (a_ij + b_ij)

B = (b_ij)

A = (a_ij)

II LEZIONE

5/10/16

Ripetizione Spazio Vettoriale: Insieme non vuoto, con vettori e numeri (che indica come reale).

V + V = V (per proprietà, somma di vettori)

Proprietà n. 1, 2, 3, 4 (esaminate nella 1 lezione)

V . V = (prodotto su scala e vettori)

V di K ∝ V, a ∈ V e definito il vettore a . v

Proprietà n. 5, 6, 7, 8 (esaminate nella 1 lezione)

ESERCIZI (osservazioni BANALI)

1. L'elemento neutro 0 è unico.
2. L'opposto è unico.

1. αθ = θ

2. -1V = V

3. 0V = θ

4. Se V ≠ θ αV = θ => α = θ

E.g.: θ1θ2 = θ1-θ2 = 0

E.g.: 0θ1 = θ2 = 0

1. Siano V e W 2 vettori c. opposti:

V + W = θ

W + V = θ

V + 2V = θ

W' + W = θ

W' + H (2V) H (W + 2V) - (W + 2V) H

1. 2H V = θ (W + H) 7 H = 0 + 2 - 2

Richiami:

• αθ = L (θ + θ) = Lθ + Lθ = θ2θ = θ

• L(1) V + V = θ => L (H + H V1T) - (1 - 1) V2 - θV = θ

• αV = V ≠ θ α = 0

• Se α ≠ θ α [(α, θ, V)] ([α], α, V) * Contraddizione

V : segmenti orientati (con origine in O)

• Orientato:

• Identità di una direzione (retta per O sui cui giace)

• Identità di un orientamento (verso) quindi uno simmetrico delle due

• Identità delle lunghezze (val) (norma, modulo)

• Vettori con lunghezza 0 o