Appunti di Geometria e Algebra lineare - Geometria

Mussari Tommaso

Corso Ing. Edile - Architettura

Prof. G. Caruso Libro

Redazione S.chofi

Sito web: Dipartimento di Matem

Giorni: LUN 14:00/15:45 AULA 4

MER 8:30/11:15 AULA 1

GIOV 11:30/13:15 AULA 1

GEOMETRIA

I SEMESTRE

(ALGEBRA LINEARE)

3) α∅ = ∅

4) -1 (∅^-1) = ∅

5) 0 * = 0

6) se ∀ α ⁿ ∅ = ∅ => α² = ∅

Es. ∅ • ∅ El muner:

∅ • ∅ = ∅ • ∅ = ∅

Es₂. Siamo v1 e v2 vettori t.c. opposti:

v1 + v2 = 0

v1 + v2 = 0

v1 ≠ 0

v1 ≠ 0 - v1 + v1 (2+v2) - (v1+v2) v

2 ∙ v1 = 0

(v1+v1) 1 = ∅ 0+2 = 2

Richiami:

• α∅ = ∅(∅+∅) = ∅∅ + α∅ => α2∅ = ∅
• -(1) ∀v v + λv = 0 => (±1 v + λv) = (1-1)v = α∅ = ∅
• αv ≠ ∅ e v ≠ 0 ↔ α = 0
• se α ≠ 0 α[(α) = (α) - − αv * Contraddizione

V_{〈orientato〉} = {segmenti orient. con origine in 0}

Orientato:

• definito da una direzione (retto ≠ 0 su altri piani)
• definito da un orientamento (V ∅ ⊆ uno simmetrico delle due)
• definito di lunghezza [r] (norma. modulo)
• vettore con lunghezza 0 = ∅
• opposti: stessa direzione e lunghezza ma verso opposto

2) Matrici e diagonale

Ossservazioni di Cioleb:

Mat 0 0 0 0 1 2 3 4 5 10 15 20

0 -2 0 5 6 1 -1 -10 -12 -2 2

0 8 0 1 1 2 1 8 8 16 8

DA e DB

vetori righe vetori colono

A = 0 0 0 B 0 0 0 P = P

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

ES:

1 0 2 3 0 0 0

2 1 2 4 0 4 0 6 4 2

3 1 2 3 0 1 9 4 2

SISTEMI LINEARI

• sistemi di 1 gr

In equazione lineare in n indici è unujemo d questo gr

1. a
2. 2 2 1 x₂ +2 x₁ + 5

Sist lineare insiami di 1 gr

• [ a 0 1 x₁ + [ a 1 2 x₁ ]: [ a 0 0 x₁ ]
• [ 0 0 2 x 1_i x₃ 0 a₁ x₂ 2
• [ a n

⋄ Un insieme (finito) di vettori V₁, V₂, Vₖ ∈ V è una base di V se:

1) V = Span{V₁, V₂, Vₖ} (ossia V₁, V₂, Vₖ è un sistema di generatori di V)

2) {V₁, V₂} sono linearmente indipendenti.

ESMPIO

R² {

DAPO

SPAN

⋄ Inoltre se V₁ contiene solo il vettore nullo non ha BASE.

• DEFINIZIONE DIMENSIONE DI V

dim V = 0 se V = {0}

ESEMPIO R¹

La dimensione è il n° di BASI in R¹ che sono linearmente indipendenti.

⋄ La dimensione V₁ è formata da 2 vettori dipendenti.

VI LEZIONE

METODO DI ELIMINAZIONE DI GAUSS PER RISOLVERE S.L. EQUIVALENTI

Ax = b

OBIETTIVI: Vedere se un sistema è compatibile e trovare le soluzioni.

TEOREMA:

Due S.L. con stesso numero di incognite sono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni (o tutti e due non hanno soluzioni).

ES: Ax = b

Ay = c

Sono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

ESEMPI DI TRAS. A SCALA DI UN SISTEMA (stesso num di soluz.)

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• ...
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

⇒

a₁₁ a_1n b₁

a₂₁ ... a_2n b₂

...

am

• Ci sono due artifici per trasformare il sistema in uno a scala:

• 1. Sostituire ai resti di ogni riga il risultato della differenza tra la riga stessa e il multiplo delle righe precedenti.
• 2. Scambiare le righe 2 o più precedentemente per fare sì che il pivoti siano tutti o in basso.

VII LEZIONE

ESEMPIO: Discussione al variare di λ ∈ ℝ

un sistema lineare

λ ≠ ±1

λ ≠ 0 → UNICA SOLUZIONE

λ = 0

SOLUZIONE

x₁ = (λ -1) y₁

x = x + λy = 0 → x = −λ y

λ₀ = 2 t

λ = 1

compatibili

caso ≠ Sol

Sei questi prodotti mi dà la matrice identità allora la tesi è

Vera:

1. \( A \cdot A^{-1} = I \)

\((A^{-1})^{-1} = A\)

L’inverso di \(A^{-1}\) è \(A\)

2. Adesso prendiamo anche la ₄
3. \(A\) ha l’inverso se \(\exists \ x \) una soluzione del S.I. della matrice

\(AX = I\)

• Reduci la matrice alla S.I con comautica selezioni \(\iff r_S(A) = r_S(CA/I) = n\)

È invertibile se e solo se

non è singolare

Es: \(AX = b\)

\(m \times n \rightarrow r_s(A) = 0\) UNICA

SOLUZIONE

Quando: suppongo \(B\) inversa destra di \(A\) e voglio provare

che \(B\) sia inversa sinistra di \(A\)

IPOTESI: \(AB = I\) TESI: \(BA = I\)

\(\Rightarrow B\) è soluzione del sistema \(AX = I\) _{questa è unica}

\(\Rightarrow BA = I\)

\(A(B \cdot A) = (A \cdot I)= A\)

\(*soluzione di

AX = I\)

un

soluzione unica

\(I=BA\)

• RISULTATO PRINCIPALE:
• Le matrici invertibili sono tutte quelle non singolari

Ed equivalente dire che una matrice quadrata è invertibile è

non singolare

\(\text{INV} \Rightarrow \text{NON SING}\)

\((\exists A^{-1}) \iff \text{RS}(A) = n\)

B = {_{v1 v2}}

{ 1 1 }

y = y₁ · 1 + y₂ · 1

risolvere il sistema SOSTITUZIONE → 2y₁ + y₂ = 7 | y₁ = 3 → Sono le sue y₁ = 3 - 2y₂ → y₁ = 3/3 coordinate (in questo base) -3 - 2y₂ = 5 - y₁ = 3/7 quella base

Es:

C = { 2 · 1 1 · 2 }

un vettore ha coordinate: { 2 - 2 - 3 4 - 1 - 2 }

Eseguire a₁ = - coordinate di quel vettore in quella base

vett leader multipla del vettore

{ x₁ = 2x₂ + x₂ 5 = 2x₁ + x₂ } RISOLVERE PER SOSTITUZIONE =>

L = x₂ (6 - 2x₂) x₂ = 2L - 10 / 2x₂ x₂ = 2L -> +2x₂ -> +3x₂ = 8, x₂ = 3 8x₂ / 3

{ 5 = x₁ - x₂ x₂ } => x₁ = 5 - 2(x₂) => x₁ = 5 - 2(8/3) → x₁ = (4) x₁ 1 3

{" COORDINATE X x₁ alt W sono UNICHE

"Infatti se dovist di neolonno che y₂ = x₁ x => y₂ = x₂ W = { x₁ y₁ y₂ } → | y₁ y₂

- Allora se tterator miembro membro:

W = W = I + ( X₁- y₂ ) ( y₂ - y₁ ) w₁ = { ( X₁ = y₂- y₂ ) wt 0 0 0 0

} wt =

XI LEZIONE

(25/10/16)

ESERCIZIO - TROVA BASE, DIM, EQ. CARTESIANE DI U. COMPLETA LA BASE TROVATA DI U AD UNA BASE DI ℝ⁴

U = Span ( _{1 -2 3 0 2 4 0 -1 2 0 0 0 1} ) quindi ( _{x1 x2 x3 x4} ) = _t1 ( _{1 2 -1 0} ) + _t2 ( _{-2 4 2 0} ) + _t3 ( _{3 0 0 1} )

Si può scrivere così... _trasp

_{-1 -2 3 x1}

_{2 4 0 x2}

_{-1 2 0 x3}

_{0 0 1 x4}

A

Quindi

_x1

_x2

_x3

_x4

∈ U ⇔ il sistema

E' compatibile se

_{-1 -2 3 x1 - 2x4}

_{0 0 6 x2 - 3x4}

_{0 0 0 x3 + 6x4}

_{0 0 1 x4}

Compatibile se II e V sono righe di 0

Sempre

_{III - II = 3V}

_{Y + 6GY}

Estas equazioni risolvono n = r = 2 ⇒ h = 2

L = 2

Esercizio contenzione di U

(x₁ + x₃ - 3x₄ = 0)

(2x₁ + x₂ - 6x₄ = 0)