Appunti Geometria

GEOMETRIA

MATRICI

• Tabella rettangolare con m righe e n colonne -> A= (a_ij) -> a_ij, a₂₁, a₂₂
• Matrice nulla -> una matrice A si dice nulla se a_ij = 0 ∀i,j (tutti 0)
• Matrice quadrata -> una matrice si dice quadrata di ordine m se m=n
• Matrice diagonale -> una matrice quadrata si dice diagonale se a_ij = 0 quando i≠j
• Tutti tranne la diagonale -> λ₁₁, λ₂₂, λ₃₃, ..., λ_nn si chiama traccia di A -> Tr(A)
• Matrice unita -> una matrice diagonale si dice matrice unita se a_ij = 1
• Somma di matrici -> date due matrici A=(a_ij), B=(b_ij), la loro somma è la matrice C=(c_ij) con c_ij = a_ij + b_ij
• Proprietà: 1) A+B = B+A, 2)(A+B)C = AC + BC
• A + 0 (mat. nulla) = A
• Moltiplicazione per un numero k di una matrice -> data la matrice A =(a_ij) e un k∈IR, kA è una matrice mxn con l’elemento di posto i,j è k a_ij -> matrice C=1A = A
• A = B -> Proprietà = 1) k(A+B) = kA + kB, 2) (kh)A = h(kA) = (kh)A
• Trasposta -> la trasposta T di una matrice A_mn è la matrice mXm con l’elemento di posto j,i= a_ji -> A = A
• Proprietà: 1) (A+B)^T = A^T + B^T, 2) (cA)^T = (cA)^T, 3) (AB)^T = B^TA^T
• Matrice simmetrica -> data una matrice quadrata A, si dice simmetrica se A= A
• Tutte le matrici diagonali sono simmetriche -> Antisimmetrica = A^T = -A
• Prodotto tra matrici -> date 2 matrici a_i_j, mXp c = B^l; c_ij= somma k=1 a_ik B_kj
• Matrice mxn con l’elemento di posto i,j è c_ij è i_{k = B}: il prodotto (BAC) (AB)C = A(BC)
• Proprietà = A(AO) = AO = 0, 1= A, 2(A+B)C = AC + BC, 3) (AB)C = A(BC), (kA)^T = (kA)B
• Matrice permutabile = 2 matrici quadrate dello stesso ordine sono permutabili se A(A)B= BA
• Matrice idempotente = una matrice quadrata A è idempotente se A² = A (e.x; 1,0 1,1)
• Matrice nilpotente = una matrice A è nilpotente se A^m = 0 -> (a^-2, 0 ... 1,0)⁴
• Matrice involutoria = una matrice A è involutoria se A² = I (+-1, 0 0 +-1)
• E sia idempotente che involutoria^: A² = I sia idempotente che nilpotente^: A = 0
• Matrici invertibili -> data una matrice A, si dice invertibile se esiste una matrice B, m=n, c= C^-1 = AB= BA = I, tale matrice esiste è unica, la matrice B si dice matrice inversa di A indicia con A^-1 le matrici I sono invertibili
• Matrici quadrate nuke non sono invertibili J siano A e B due matrici allora AB^-1= (BAB) + inversa di A A^-1= I è invertibile e K∈IR{0} allora AK è invertibile
• BiE^-1 è invertibile anche}^-1 è invertibile (ai 1: inverà 3) prodoti di {a} matr. W U
• Biui sono invertibili (AB)^-1 = B^-1 A^-1 coline 2i matrici invertibili non ho converti
• Biui sia A invertibile = (AB)^-1 = B^-1 (acA)
• (s.e.) e ass invertibile è simmetrica = 0 è invertibile= n^' invertibili
• At +--> A^-1 e antisimmetrica a²= antisimmetrica a^-2= inv colutori
• S e A invertibile e idempotente τ = A³
• S e diversen nilpotente none invertibile ->

Matrici Ortogonali

Una matrice invertibile e dice ortogonale se A^-1 = A^T (A A^T = I)

Determinante

A ogni matrice quadrata A si può associare un numero reale detto determinante di A (detA o |A|).

Se A = (a₁₁) => detA = a₁₁, se m=1

(a₁₁ a₁₂) detA = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁, se m=2

A = (a₁₁ a₁₂ a₁₃) => detA = a₂₁a₃₂

(a₂₁ a₂₂ a₂₃) (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂)

(a₃₁ a₃₂ a₃₃) - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + ...

Sottomatrice

Data una matrice A_{m x n}, una matrice P _{q x t} è una matrice ottenuta dagli elementi comuni di p righe e q colonne fisse.

Teorema: |A| = A_mn/A_n1 = 0 A^T

Complemento Algebraico

Il complemento algebrico dell'elemento a_ij di A è un numero reale A_ij = (-1)^i+j det A_ij

Sviluppo Determinante (Laplace)

Sia A = (a_ij) _m-1xm (m-1,i) allora il detA è uguale una somma dei prodotti degli elementi di una riga o colonna fissata di A per i rispettivi coefficenti algebrici => A = (a_ij a₁₂ a₁₃ a₁₂ ...

(a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₃₁)

detA = a₁₃a₂₂... (a₁₁a₁₃a₂₂ + a₁₂a₂₃ ) - (a₁₃a₂₁a₂₂ + ...

Matrici Triangolari

Sia A=(a_ij)_mxm. Il determinante triangolare è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale.

Operazioni su Righe e Colonne

1) Cambiare seguito a moltiplicare tutti termini di una riga (o colonna) per un k R (+R) = R.2

2) det(A) = k det(A) 2) Sommare ad una riga (o colonna) il prodotto di un'altra riga (o colonna).

3) Se una riga (o colonna) di una parametriga quadrata è nullo (o multiplo di un'altra riga o colonna) det(A) = 0.

Teorema di Binet

Siano A e B matrici quadrate dello stesso ordine, allora det(AB) = det(A) det(B). Anche se AB è non diverso, AB = CB

Matrici Cofattore

Data una matrice A _mxm, (m+1) dicasi matrice cofatura.

Matrici Inversa

Teorema: |A| = 1; A idempotente |detA| =0/idempotente M=0 // Risultato: N

Rango

Data una matrice A_{m x n} (non nulla), si dice rango di A il max ordine di una sottomatrice quadrata di A con det0 (1(AB)), se B è dominante.

Teorema degli Orlati

Sia A M x W ... 5 tutti sottotamatici quadrati A (schema):= somma ordine variabile. Calcola.

OTTENERE L'EQUAZIONE DELLA RETTA IMPLICITA CHE HA _v = (-b,a) COME VETTORE. DATA

a DI UNA RETTA NEL PIANO SI PUÒ RAPPRESENTARE CON UN' EQ. IMPLI

ZIONE DI QUESTO TIPO CON *(2,0)*(0,0)

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA: DATA LA RETTA v: ax+by+c=0 ALLORA b(y-1)=-ax+1

→ y= -^ax/_b +(^-c/_b) → y=mx+q

a ( coefficente angolare ) q: ( termine noto)

b y = mx+q b y = mx+q { x∈√ y∉m1c2

RETTE INCIDENTI, PARALLELE e COINCIDENTI: DATE 2 RETTE

1) a₁x+b₁y+c₁=0 con v1= ( f ^(Il™ 1 ) *° )

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