Appunti Geometria

GEOMETRIA

MATRICI

TABELLA RETTANGOLARE CON m RIGHE E n COLONNE → A=(a_ij)

MATRICE NULLA → UNA MATRICE A SI DICE NULLA SE a_ij=0 ∀ i,j (TUTTI O)

MATRICE QUADRATA → UNA MATRICE SI DICE QUADRATA DI ORDINE m SE m=n

MATRICE DIAGONALE → UNA MATRICE QUADRATA SI DICE DIAGONALE SE a_ij=0 QUANDO i≠j TUTTI O TRANNE IL DIAGONALE a₁₁,a₂₂,a₃₃,...OM SI CHIAMA TRACCIA DI A tr(A)

MATRICE UNITA → UNA MATRICE DIAGONALE SI DICE MATRICE UNITA SE a_ij=0; i=j=1

SOMMA DI MATRICI → DATE 2 MATRICI A=(a_ij),B=(b_ij), LA LORO SOMMA È LA MATRICE m×n CON L'ELEMENTO DI POSTO (i,j),s_ij=a_ij+b_ij ⇒ PROPRIETÀ = 1) A+B=B+A; 2) (A+B)+C=A+(B+C)

3) A+0=A (mat. nulla)= A

MOLTIPLICAZIONE KEIR PER UNA MATRICE → DATA LA MATRICE A=(a_ij) E UN KEIR kA È UNA MATRICE m×n CON L'ELEMENTO DI POSTO j=k·a_ij ⇒ MATRICE (–1)A=–A ⇒ PROPRIETÀ = 1) k(A+B)=kA+kB; 2) (k+h)A=kA+hA; 3) (kh)A=k(hA)

TRASPOTA → LA TRASPOSTA DI UNA MATRICE A_m×n È LA MATRICE m×n CON L'ELEMENTO DI POSTO j⇒a_ji=a_ij ⇒ PROPRIETÀ ⇒ 1) (A+B)=aA^T+B^T; 2) (cA)^T=cA^T; 3) (A^T)^T=A 4)

MATRICE SIMMETRICA → DATA UNA MATRICE QUADRATA A SI DICE SIMMETRICA SE A^T=A

TUTTE LE MATRICI DIAGONALI SONO SIMMETRICHE ⟹ ANTISIMMETRICA SE A^T =–A

PRODOTTO FRA MATRICI → DATE 2 MATRICI A=(a_ki)_m×p e B=(b_ij)_p×m, ALLORA A·B=E

MATRICE m×n.m CON L'ELEMENTO DI POSTO (i,j) E=a

=a_kib_{j i} ⇒ c_{i j} = b_{i k} a _{i k}+ b_2k c_{1 j}+b_3k a;_{1 i j}

PROPRIETÀ = A≠0 I A=I; A⋅B≠A(A B)(C)=A(BC) (cA)B=c(AB)=(cA) (kA)b=(kAB)=(kB)(kA)B

MATRICI PERMUTABILI 2 MATRICE QUADRATE DELO STESSO ORDINE SI DICONO PERMUTABILI SE AB=BA

MATRICE IDEMPOTENTE → UNA MATRICE QUADRATA A E IDEMPOTENTE SE A²=A (es. I,O)

MATRICE NILPOTENTE → UNA MATRICE A È NILPOTENTE SE A^m=0 = O (es.0, (-1 1 , 0–1))

MATRICE INVOLUTORIA → UNA MATRICE A E INVOLUTORIA SE A² = I;(1;0) (-1 0 ) (0–1)

E SIA IDEMPOTENTE CHE INVOLUTORPA A=I. A _j A SI A IDEMPOENTE CHE NILPOTENZA 0=A=O

MATRICI INVERTIBILI → DATA UNA MATRICE A SI DICE INVERTIBILE SE ∃ UNA MATRICE

B_n×n CCA AA=BB = I, A² = I, }TALE MATRICE SE ESISTE E UNICA, LA MATRICE B SI DICE MATRICE INVERSA DI SE INDICA CON A^-1 E LE INSATRI I SONO INVERTIBILI

A (nxn) quadrate nulla non sono invertibili. Siano A e B, 2 matrici, allora AB±1

(A B)=AB–1 ⇒ PROPRIETÀ ^-1 A UNA INVERTIBILITÀK E kEIR ≤ O3, ANCHE AAIS INVERTITO

E L'INVERTEIBLE ANCHE IR^-1 E A¹¹ INVERTIBILE

BÌIÙI È L'INVERTIBLE (AB)^{=1 A} C^-1 B^-1 T.T 3) PRODOTTI DI MATRICE UUVB

B^-1. SIA A INVERTIBILE (AB^c−1 ) E LA MATRICE INVERTIBILE T.IÙÒ 11O0 UV.VB

B^-1.

(A^T) (A^-1) E SE A INVERTIBILE È SIMMETRICA ^-1 ; E UNA PARTICI

E ANTISIMMETRICA A= ANTISIMMETRICA A^-1 E! NON VERO (⟹ A 0)VV||VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV VV

E NON INVERTIBILE IDEMPOTENTE 1) A=A E NILPOTENTE NON INVERTIBILE;

GEOMETRIA

MATRICI

TABELLA RETTANGOLARE CON m RIGHE E n COLONNE -> A = (a_ij) -> a_ij

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

MATRICE NULLA -> UNA MATRICE A SI DICE NULLA SE a_ij = 0 ∀ i,j TUTTI O

MATRICE QUADRATA -> UNA MATRICE SI DICE QUADRATA DI ORDINE m SE m=n

MATRICE DIAGONALE -> UNA MATRICE QUADRATA SI DICE DIAGONALE SE a_ij=0 QUANDO i≠j

TUTTI O TRANNE LA DIAGONALE -> a₁₁ a₂₂ a₃₃...0m,n SI CHIAMA TRACCIA DI A -> tr(A)

MATRICE UNITA -> UNA MATRICE DIAGONALE SI DICE MATRICE UNITA S