Geometria - Appunti

INSIEMI

N = l'insieme dei numeri naturali, interi positivi.

→ valgono le formule di addizione e moltiplicazione in quanto si ottiene sempre un numero maggiore o uguale al termine maggiore.

→ mancano della sottrazione e della divisione.

Z = l'insieme dei numeri interi (naturali e numeri con il segno).

→ valgono la formula di addizione, sottrazione e moltiplicazione.

→ manca la divisione.

Q = l'insieme dei numeri razionali relativi.

→ valgono tutte e quattro le operazioni.

I = numeri irrazionali (decimali illimitati non periodici).

C = insieme numeri complessi.

i² = -1 → numero immaginario.

R = è l'insieme dei numeri razionali e irrazionali, che si pongono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

1) Dati due insiemi S, A si dice che S è un sottoinsieme di A o che è contenuto in A:

S ⊆ A ⇔ ∀ x ∈ S, x ∈ A.

Se c'è anche l'uguale si chiama principio di doppio insieme.

→ ∀ A ⊆ A (proprietà riflessiva).

→ ∀ A, B ⊆ B, B ⊆ A ⇒ A = B (proprietà antitrasitivo).

→ ∀ A, B ⊆ C, se B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (proprietà transitiva).

A' = {x | x ∈ A, x ∉ B} complementare di B rispetto A.

2) Dati due insiemi si chiama unione:

A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}.

→ proprietà commutativa A ∪ B = B ∪ A.

→ proprietà associativa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

3) Dati due insiemi si chiama intersezione:

A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B}.

A ∩ B = ∅ disgiunti.

→ proprietà commutativa A ∩ B = B ∩ A.

→ proprietà associativa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3) Si chiama congiunzione:

→ ∀ A, B ⊆ C, (A ∩ B) ∩ C = A.

4) Si chiama differenza (meno relativo) o complemento:

A - B = {x | x ∈ A, x ∉ B}.

INSIEMI

N = l'insieme dei numeri naturali, interi positivi. Valgono le formule di addizione e moltiplicazione in quanto si ottiene sempre un numero che appartiene all'insieme.

Z = l'insieme dei numeri interi relativi (numeri N con il segno). Valgono le formule di addizione, sottrazione e moltiplicazione. La divisione esce dall'insieme.

Q = l'insieme dei numeri razionali.

Valgono tutte e quattro le operazioni.

I numeri decimali (numeratori non periodici).

C = l'insieme numeri complessi.

C = <a + i >b = numero immaginario.

R = l'insieme dei numeri razionali e irrazionali, che si pongono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

⁰ U ±∞

¹ ±∞

1)

Data due insiemi S, A si dice che S è un sottoinsieme di A o che è contenuto in A

S ⊆ A ⟺ ≤ ε ≤ A

S = anche l'uguale si chiama principio di doppio insieme

-∀ A ⊆ A (proprietà riflessiva)

-∀ B ⊆ A, A ⊆ B ⟹ B ⊆ A (proprietà asimetrica)

-∀ A ⊆ B, B ⊆ C ⟹ A ⊆ C (proprietà transitiva)

_A = {X‸X ε A, X∉B}, complemento di B rispetto A.

2)

Data due insiemi si chiama unione.

^{A ∪ B} {x|--> X ε A oppure -->|x ε B}

∘ proprietà commutativa

∘ proprietà associativa

A ∪ B = B ∪ A

<A*

C, insieme intersezione

C = A ∩ B = disgiunti

∘ proprietà commutativa

∘ proprietà associativa

_A B = B ∪ A

(A ∩ B) = A_C

3)

Si chiama il complemento:

∀ A, B, A ⊆ B

(A ∩ B) = A

4)

Si chiama differenza (meno esclusione) complemento:

^{A - B} {x; X|⟶X ≤ A, X ᓰ > B}

5)

differenza simmetrica o somma disgiunta:

∀A,B   A-B-∑{χ∈A oppure χ∈B}

A

B

A-B = (A∪B)-(B∩A) = (A∪B)-(A∩B)

Se A,B,C   B ⊂ C e A

A

B

C

C_A(B∪C) = C_AB ∩ C