Geometria - Appunti

INSIEMI

N= è l'insieme dei numeri naturali, interi positivi.

• valgono le formule di addizione e moltiplicazione in quanto si ottiene sempre un numero
• non si può dire lo stesso con la divisione e sottrazione

Z= è l'insieme dei numeri interi relativi (numeri con il conteggio negativo)

• valgono le funzioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione
• non è valida la divisione in quanto il risultato non è intero

Q= è l'insieme dei numeri razionali relativi

• valgono tutte e 4 le operazioni

I= è l'insieme dei numeri irrazionali (numeri non periodici)

Z= è l'insieme dei numeri complessi

R= è l'insieme dei numeri razionali e irrazionali che si pongono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta

(Disegno di una retta numerica)

1. Dati due insiemi S, A, si dice che S ed A che S è un sottoinsieme di A o che è contenuto in A S⊆A xϵB => xϵA

   Se c'è anche l'uguale si chiamerà principio di doppio insieme

   ∀xA:xϵA progetto relessivo

   ∀xA, A⊆B, B⊆A => A=B progetto antisessivo

   ∀xA:A⊆B, B⊆C => A⊆C progetto transitivo

   (Disegno di un diagramma di Venn)

   (Disegno di un altro diagramma di Venn)

2. x ϵ A e x ϵ B complementare di B rispetto A A_B= complemento proiettrà
3. An=ξ/xϵA xϵB

4. Dati due insiemi si chiama unione A∪B=ξ/xϵA oppure xϵB

   (Disegno di un diagramma di Venn)

   • proprietà commutativa A∪B=B∪A
   • proprietà associativa A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

5. Dati due insiemi si chiama intersezione A∩B= ξ/xϵA, xϵB

   (Disegno di un diagramma di Venn)

   A∩B= disgiunti

   • proprietà commutativa A∩B=B∩A
   • proprietà associativa (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
6. Si chiama complemento: ∀xA, A=ξ/xϵA xϵB

7. Si chiama differenza (meno insieme) complementare:

   A-B=ξ/xϵA xϵB

5) Differenza simmetrica o somma disgiunta:

∨A,B

A-B={ x/x∈A oppure x∉B}

A B

A-B = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)

Se a,b,c B = A C = (B B) C = B C

{(A B) C = B C} \ {formula di De Morgan}

{(A∪B)^c =A^C ∩ B^C}

{(A∩B)^c=A^C ∪ B^C}

6) Si chiama prodotto cartesiano (molti autori) il insieme di coppie ordinate avente il primo elemento appartenente al insieme il secondo al insieme

∨ A,B A×B={(a,b)| a∈A, b∈B}

• Coppie ordinate: diversa dalla nozione di paia elementi. Gli elementi sono sempre gli stessi in un paio; una coppia vanno considerati in prefacio ordine perché due coppie ordinati sono uguali s hanno ordinatamente gli stessi elementi
• (x,y)≠(y,x)
• (x,y) =(x,y^1)

7) Si definisce insieme delle parti (P) (A):

• P(A)={X|x A} potenzialmente 2^A>
• P(A)=2^m.conduelemnti

ES:

• A= {a,b,c}
• P(a)={a,b,c,{a,b},{a,c},{c,b},{a,},{c}}

8) Si definisce relazione tra due insieme (r):

a∈A, b∈B /A*B si A in relazione con B

• R {riflessivo A*A}
• simmetrica A*B B*A
• transitiva A*B B*C A*C
• antisimmetrica A*B B*A

Se valgono prime 3, si chiama relazione di equivalenza (≡); se invece valgono le prime 2 e l'ultima, si chiama relazione d'ordine

Da una relazione di equivalenza, fisso un elemento arbitrario a∈A, si chiama classe di equi col insieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad a

(a){x∈A,x=a}

X∈(a){a}⅃x=(a) Il insieme di tutte le classi di equivalenza si chiamerà insieme quoziente

A/={a1,a2,a3,,...}

ES:

introduzione di Cayley

(1=appartiene 0= non apparitene)

Lineamente dipendenti

Supponiamo due o tre n ed i vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi si esprime come combinazione lineare dei rimanenti n-1:

a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv=0

• v=0
• a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_mv_m=0

Si ha poi che se n vettori v₁ …v_m sono Linearmente dipendenti, sono dipendenti almeno tutti gli nn=2:

a₁v₁ + a₂v₂=0 a₁^m a₂ != 0

a₂v₁ = -a₂v₂ = v₂V = fomen=3:a₁^mv₁ + a₂v₃ = 3…

Se consideriamo un vettore v₁ = 0 sono linearmente dipendenti:

a₁v₂ + a₄v₃ - a_(n-1)v_n=0

Tutti gli altri sono line vettori nullo

Lineamente indipendenti:

v₁ != 0

Siano lineamente dipendenti anche la combinazione lineare di v₁ != 0 2v₂ + v₃ - 2v_n

• v₁
• v₁
• v₁

Restano sono linearmente indipendenti

av₁=0 a=0

v₁/0

a1v=0 => a!=0

(V, N_(n) S) < v

Sottospazio, Sottosistema nel vettore che sia uno spatz vettoriale respezio le operazion di sottr intazione ecc Al numen lo spatz del numeri, V ovvero tutti gli intemi al 5 dodorzo Di invato il gruppo del Vettori V

V che V| S Vn(mod 1), w V w

generamnete non è sottospaņio

CNES perché un sottosistema sia come sottospazio sono:

• (V, -=ve)s e R e S
• V,t,c,' V e E

Si soveso intedere che un stood sistema per eners sotsospozii e Nemoucere che contenno il Vettore Nulle unicotodimensionalmente, nothing minco Al mechermanemente in un dotsa Spazio

S. nota che un | jn insieme (v₁,v…v_m) di m vettori diuno Spazio vettoriale si dice SISTEMA o GRUPPO LINEARMENTE DIPENDENTE se ogni vettore si Esprime hspace come e oca combinazione Lineamezze

degli altri nell'insieme e S

generamete

fun\tomeno generazeo

S. chiama bse soži SISTEMA ordinoato di generazeoti Lineamente inmqją dipendenzi

ES:

A = ²3 1 4₂ 4 3 4 6

• 1 = 24 + 9 - 15 minore estratto della matrice. Si definisce minore di ordine 2 \(c,/) n\) di una matrice lui il determinante ottenuto fornando il righe della np e colom delle n
• S$\$ definisca rango o caratteronica di luna corrente pi 01 orci minori non nulla si $ 6 definemindependenti. riguarda il numero del verici che colonna Lineamento indipendente planiforma una bdsse del Esta generairro ele variono sf rango $0$\$ del allassto
• principio _a indipendendente lineare (9 a tutti per righe del 2 $ rang sono nulli avendo quello del terzo serio < 13 accric avendo quello dell scarado ordinio por le r. fornisaro al le plsse

A/_1-2-1 _{3-21 4 4/ ⁴ 3 0 0 ^{1 / 6 4}}

C/ 1- 2 1 = 4 + 3 9

ore

- S definisce det m e somma degli mi racolati era vera distinti.

• prodotto di m> 2$ elicmi comunque pius di tale det. e.poi 2_nd dei non rapporondoni con _mesos$ resl e coloma del eno si ^attiattica
• S_opereriche dele $ posio o delile inversione di inirice di tipo o. colemna non par o olorpori

ES:

• comprende la matrica inverse
• 1) elinirica ^algebrica
• 2)^equire risosiracone
• 3)^{det_n \(520,0,0,1)._)020$x}
• \\) \(\) \( \( 0