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Appunti Geometria 1

Appunti di teoria del corso Geometria 1 completi di definizioni e teoremi dimostrati. Ottimi per preparare un esame orale. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Candilera dell’università degli Studi di Padova - Unipd. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Geometria 1 docente Prof. M. Candilera

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ESTRATTO DOCUMENTO

{w }

A = , v , . . . , v V

Dunque è ancora un insieme di generatori di e possiamo considerare

1 1 2 n

00 {w }.

A = , w , v , . . . , v

l’insieme Ragionando come sopra otteniamo che

1 2 2 n

∈ hw i hw i

v , w , v , . . . , v = , v , . . . , v = V

2 1 2 3 n 1 2 n

r B A

Iterando questo processo possiamo sostituire gli vettori di ad altrettanti vettori di e avere

V A

ancora un insieme di generatori per . Ciò significa che non può avere un numero di elementi

B.

strettamente minore di quello di

Possiamo ora dimostrare il teorema di struttura:

{v }

A = , . . . , v V

Dimostrazione. Sia un insieme di generatori di . Se i generatori sono linearmen-

k 1 k

A

te indipendenti, allora è una base e il primo asserto è verificato. Altrimenti, uno dei vettori di

k

A v A V

è combinazione lineare degli altri, sia , quindi è un insieme di generatori per e si itera

k k k−1 V

il processo. Dopo un numero finito di passi ci si deve arrestare e si ottiene così una base per . Ora,

V

poichè ha un numero finito di generatori, allora ogni sua base ha un numero finito di elementi.

v , . . . , v w , . . . , w V =⇒ m n

Inoltre per il lemma dello scambio, se e sono due basi di

1 n 1 m

w v V

perchè i vettori sono linearmente indipendenti e i vettori sono generatori di . D’altra parte è

v w V =⇒ n m

anche vero che se sono linearmente indipendenti e sono generatori di e quindi

m = n.

si conclude che

6. Relazioni di Grassmann.

U, W V C.

Lemma. Siano due sottospazi di dimensione finita di su Risulta

− ∩

dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W )

C C C C

z , . . . , z U W

Dimostrazione. Sia una base di (oppure nessun vettore se l’intersezione è banale).

1 k ∩W

z , . . . , z , u , . . . , u U z , . . . , z , w , . . . , w W k = dim(U ),

Siano base di e base di . Allora

1 k k+1 r 1 k k+1 s

r = dim U s = dim W z , . . . , z , u , . . . , u , w , . . . , w

e . La tesi è dimostrata se si dimostra che 1 k k+1 r k+1 s

∈ · · · · · ·

U + W u + w U + W u = a z + + a z + a u + + a u

è base di . Se con e

1 1 k k k+1 k+1 r r

· ·+b · ·+b · ·+(a

w = b z +· z +b w +· w u+w = (a +b )z +· +b )z +a u +

abbiamo

1 1 k k k+1 k+1 s s 1 1 1 k k k k+1 k+1

· · · · · · hz i.

+ a u + b w + + b w U + W = , . . . , z , u , . . . , u , w , . . . , w

. Dunque Se

r r k+1 k+1 s s 1 k k+1 r k+1 s

· ·+a ∈ −b −· · ·−b ∈

u+w = 0 =⇒ a z +. . . a z +a u +· u U = w w W e quindi

V 1 1 k k k+1 k+1 r r k+1 k+1 s s

U W z , . . . , z =⇒

si trova in , dunque si scrive in modo unico come combinazione lineare di 1 k

· · · · · · · · ·

a = = a = 0 = b = = b a z + + a z = 0 z , . . . , z

, cioè ma sono linearmente

k+1 r k+1 s 1 1 k k V 1 k

· · ·

a = = a = 0.

indipendenti, quindi 1 k

7. Definizione di applicazione lineare. →

V W C. φ : V W

Definizione. Siano e due spazi vettoriali su Un’applicazione si dice appli-

0

v, v V

cazione lineare o omomorfismo di spazi vettoriali se, per ogni coppia di vettori in e ogni

0 0

α, β C φ(αv + βv ) = αφ(v) + βφ(v ).

coppia di scalari in si ha

8. Formula delle dimensioni. →

V W C φ : V W

Proposizione. Siano e spazi vettoriali su e sia un’applicazione lineare. Allora:

dim ker φ + dim im φ = dim V

C C C

4

u , . . . , u ker φ, V

Dimostrazione. Sia base di di e completiamo questi vettori ad una base di :

1 k

u , . . . , u , v , . . . , v φ(v ), . . . , φ(v ) im φ.

. Vogliamo mostrare che i vettori sono una base di

1 k k+1 n k+1 n

· ·+α · ·+v

v = α u +· u +α v +· V φ(v) = α φ(v )+

Infatti dato un vettore di , si ha

1 1 k k k+1 k+1 n k+1 k+1

· · · + α φ(v ) φ(v ), . . . , φ(v ) im φ.

e quindi i vettori sono un sistema di generatori per D’altra

n n k+1 n

· · · · · · ∈

β φ(v ) + + β φ(v ) = 0 β v + + β v ker φ

parte, se allora il vettore e quindi

k+1 k+1 n n k+1 k+1 n n

· · · · · ·

β v + + β v = 0, β = = β = 0.

deve necessariamente aversi ovvero

k+1 k+1 n n k+1 n

9. Matrici di cambio di base e loro relazioni. V, W.

V

Proposizione. Siano dati uno spazio vettoriale e due sue basi Le matrici di cambio di

α (id ) α (id )

base e sono una l’inversa dell’altra.

V,W W,V

V V 0

→ V, V

φ : V W V

Proposizione. Sia data un’applicazione lineare e siano fissate due basi di e

0

W, W W

di . Risulta α (φ) = α (id )α (φ)α (id )

0 0 0 0

V W,W V,W V

,W W ,V V

Dimostrazione. Si consideri l’ovvio diagramma commutativo

φ

V W

0 0

V W

id id

V W

φ

V W

V W

ove, ai piedi di ogni spazio vettoriale si è indicata la base a cui riferirsi per calcolare le matrici

associate.

10. Proprietà dello spazio vettoriale duale.

V C.

Definizione. Sia uno spazio vettoriale su Si chiama spazio vettoriale duale lo spazio

∗ :=

V Hom (V, C) V

delle forme lineari su . Si chiama dualità canonica l’applicazione

C

∗ ∗

◦ × → ◦ ∈ ×

:=

: V V C, ξ v ξ(v) (ξ, v) V V

definita ponendo per ogni coppia . ∗ ∗ ∗

V V {v }

V C = , . . . , v

Definizione. Sia spazio vettoriale su e sia una sua base. Il sottoinsieme n

1

∗ ∗ ◦

V v v = δ

di , i cui elementi sono definiti ponendo (simbolo di Kronecker) per ogni coppia di

j i,j

i

∗ V

i, j = 1, . . . , n, V V

indici è una base di detta la base duale della base di .

V W φ Hom (V, W ).

Proposizione. Siano dati due spazi vettoriali e e un omomorfismo Allora

C

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

→ ◦ ◦

φ : W V φ v φ (w ) = φ(v) w

esiste un’unica applicazione lineare , legata a dalle relazioni ,

∗ ∗

∈ ∈

v V w W

per ogni e . ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

◦ ◦ ∈

v φ (w ) = φ(v) w w W

Dimostrazione. Dalle relazioni discende che, fissato , l’elemento

∗ ∗ ∗

∈ ◦

φ (w ) Hom (V, W ) w φ,

è l’applicazione composta ovvero l’unica applicazione che rende

C

commutativo il diagramma φ

V W ∗

w

∗ ∗

φ (w ) C

v V

Infatti, qualunque sia il vettore , si ha

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

◦ ◦

φ (w )(v) = v φ (w ) = φ(v) w = w (φ(v))

φ

Dunque è un’applicazione lineare ed è univocamente determinata dalla condizione dell’enunciato.

5

3 Sistemi di Equazioni Lineari

1. Definizione di sistema lineare m n x , . . . , x

Definizione. Chiameremo sistema di equazioni lineari nelle incognite , a coefficienti

1 n

C,

nel campo ogni scrittura del tipo · · ·

a x + + a x = b

11 1 1n n 1

·

Σ: ·

 · · ·

a x + + a x = b

m1 1 mn n m

≤ ≤ ≤ ≤

a b 0 i m, 0 j n C.

ove i coefficienti e i termini noti , sono elementi di

ij i n m

φ : C C A

Lemma. Siano dati un’applicazione lineare , di matrice rispetto alle basi canoniche

m

b C

dei due spazi, ed un vettore . Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

b im φ;

(a) b A;

(b) è combinazione lineare delle colonne della matrice

rk(A|b) = rk A.

(c) hφ(e {e }

=⇒ im φ = ), . . . , φ(e )i, , . . . , e

Dimostrazione. (a) (b): ricordiamo che ove è la ba-

1 n 1 n

m

C A

se canonica di e che le colonne della matrice sono esattamente le coordinate dei vettori

m

φ(e ), . . . , φ(e ), C

rispetto alla base canonica di .

1 n ≥

=⇒ rk(A|b) rk A,

(b) (c): É chiaro che dato che tutte le colonne della seconda matrice sono anche

b

le colonne della prima. I due ranghi quindi coincidono se la colonna è combinazione lineare delle

A.

colonne della matrice m

=⇒ b C

(c) (a): Se i due ranghi sono uguali, il vettore di si scriverà come combinazione lineare del-

· ·+ξ

A, ξ , . . . , ξ b = ξ φ(e )+· φ(e ) =

le colonne di ovvero devono esistere delle costanti tali che

1 n 1 1 n n

· · ·

φ(ξ e + + ξ e ).

1 1 n n

2. Teorema di Rouchè-Capelli. m

× ∈

Σ : Ax = b, A m n C b C

Teorema. Il sistema lineare con matrice a coefficienti nel campo e ,

rk(A|b) = rk A.

ha soluzione se e solo se In tal caso

Sol(A|b) = x + Sol(A|0)

0 x

ossia l’insieme delle sue soluzioni si ottiene sommando a una soluzione particolare del sistema, ,

0

0 0

Σ : Ax = 0. Σ

una soluzione del sistema omogeneo associato Le soluzioni di formano uno spazio

n rk A.

vettoriale di dimensione

3. Metodo di eliminazione di Gauss.

Teorema. Tramite operazioni elementari sulle righe, ogni matrice può essere ridotta in forma a

scala (per righe), ascala speciale e a scala ridotta.

6

4 Determinanti

1. Definizione di determinante.

V C-spazio n D n-lineare

Definizione. Sia un vettoriale di dimensione e sia una forma alternante

V φ : V V

non-nulla su . Dato un endomorfismo , si pone

D(φ(v ), . . . , φ(v )

1 n

det φ = D(v ), . . . , φ(v )

1 n

V {v }

= , . . . , v V

ove è una base di .

1 n V n C.

Proposizione. Sia spazio vettoriale di dimensione su Valgono le seguenti condizioni:

→ 6

φ : V V det φ = 0;

(a) un endomorfismo è invertibile se e solo se

φ, ψ Hom (V, V ),

(b) dati due endomorfismi si ha

C

det(ψ φ) = (det ψ)(det φ) (Teorema di Binet)

−1 −1

det(φ ) = (det φ)

In particolare, φ

Dimostrazione. (a): Un omomorfismo è invertibile se e solo se l”immagine di una base è una base.

V {v }

= , . . . , v V φ(v ), . . . , φ(v )

Data una base di , i vettori sono una base se e solo se sono

1 n 1 n

n-lineare D,

linearmente indipendenti. Fissata una forma alternante non-nulla, ciò accade se e solo

6

D(φ(v ), . . . , φ(v ) = 0.

se 1 n 6 V.

D = 0 φ(v ), . . . , φ(v )

(b): Siano fissate e una base Se i vettori sono linearmente dipendenti,

1 n

allora anche i vettori ψ(φ(v )), . . . , ψ(φ(v ))

1 n

det φ = 0 = det(ψ φ);

lo sono e si ha quindi vale la formula dell’enunciato. Se invece i vettori

φ(v ), . . . , φ(v ) V

sono lienarmente indipendenti, essi formano una base di e quindi si ha

1 n D(ψ(φ(v )), . . . , ψ(φ(v )))

1 n

det(ψ φ) = =

D(v , . . . , v )

1 n

D(ψ(φ(v )), . . . , ψ(φ(v ))) D(φ(v ), . . . , φ(v ))

1 n 1 n

= = (det ψ)(det φ)

D(φ(v ), . . . , φ(v )) D(v , . . . , v )

1 n 1 n

det ψ

ove l’ultima uguaglianza discende dal fatto che il valore di non dipende dalla base usata per

−1 −1

φ φ = id det(φ) det(φ ) = det(id) = 1

calcolarlo. Infine, da segue che e si conclude.

2. Sviluppo di Laplace per colonna. ≤

A = (a ) C. j 1

Proposizione. Sia a coefficienti in Fissato comunque un indice con

ij 1≤i,j≤n

j n si ha n

X i+j

det A = (−1) a det A

ij ij

i=1

A n 1 A j-esima

ove indica la matrice di ordine chhe si ottiene da cancellano l’i-esima riga e la

ij

colonna. 7

n n

φ : C C A ε =

Dimostrazione. Sia l’endomorfismo di matrice rispetto alla base canonica

{e }

, . . . , e n-lineare D.

e sia fissata una forma alternante e non-nulla Allora

1 n D(φ(e ), . . . , φ(e )

1 n

:=

det A det φ = D(e , . . . , e )

1 n

n

P

j φ(e ) = a e D

Se è l’indice fissato, ricordando che e che è un’applicazione multilineare, si

j ij i

i=1

può quindi scrivere n

X −

D(φ(e ), . . . , φ(e )) = a D(φ(e ), . . . , φ(e 1), φ(e ), φ(e , . . . , φ(e ))

1 n ij 1 j i j+1 n

i=1

5 Autovalori e Autovettori

1. Definizione di autovalore e autovettore. →

V C φ : V V

Definizione. Sia uno spazio vettoriale su e un endomorfismo. Fissato comunque

a C,

uno scalare si consideri il sottospazio vettoriale

− {v ∈ |

:=

V (φ) ker(φ a id ) = V φ(v) = av}

a V

→ 7→ ∈

a id : V V v av, v V a

ove indica l’endomorfismo al variare di . Si dice che è autovalore di

V 6 h0i,

φ V (φ) = dim V (φ)

se in tal caso il numero intero positivo si dirà nullità (molteplicità geo-

a C a ∈

a. a φ, v V (φ)

metrica) di Inoltre se è un autovalore per ogni vettore non nullo si dirà autovettore

a

a. V (φ) a.

relativo all’autovalore Lo spazio viene anche detto autospazio relativo all’autovalore

a

2. Definizione di matrici simili. −1

A, B P GL (C) B = P AP

Definizione. Due matrici sono simili se esiste tale che

n

3. Definizione di matrice diagonalizzabile.

φ V

Definizione. Un endomorfismo si dice diagonalizzabile se ammette una base formata da

V V α (φ)

autovettori, ovvero se e solo se esiste una base di tale che sia diagonale.

V,V

4. Mostrare che tutti gli autovalori relativi ad un endomorfismo sono linearmente indipendenti.

V C φ a , . . . , a

Lemma. Siano spazio vettoriale su e un endomorfismo. Se sono autovalori

1 r ∈

v V (φ),

per l’endomorfismo, a due a due distinti, allora presi comunque degli autovettori per

j a j

j = 1, . . . , r, v , . . . , v

i vettori sono linearmente indipendenti.

1 r

· · · − ·

b v + + b v = 0 (φ a id)

Dimostrazione. Sia e applichiamo ai due membri dell’uguaglianza

1 1 r r 2

· · −

(φ a id). Si ottiene la relazione

r − − · · · −

b (a a )(a a ) (a a )v = 0

1 1 2 1 3 1 r 1

6

v = 0 a , . . . , a b = 0.

ed essendo e gli autovalori a due distinti, si conclude che In modo analogo

1 1 r 1

b , . . . , b 0.

si ottiene che anche tutti gli altri coefficienti sono uguali a

2 r

8

5. Definizione di polinomio caratteristico. →

V n C φ : V V

Definizione. Siano spazio vettoriale di dimensione su e un endomorfismo.

V {v }

= , . . . , v V A = α (φ) φ

Fissata una base di , sia la matrice di rispetto alla base data. Si

V,V

1 n φ

chiama polinomio caratteristico di il polinomio n

− −

:=

p (X) p (X) = det(X1 A) = (−1) det(A X1 )

φ A n n

p (X) φ a

Le radici di sono tutti e soli gli autovalori di e, se è un autovalore, chiameremo molteplicità

φ r r+1

∈ − −

a r (X a) p (X) (X a) p (X).

dell’autovalore l’esponente tale che divida e divida In

N, φ φ

(a = r).

tal caso scriveremo molt Sin oti inoltre che il polinomio caratteristico è un invariante per

φ

similitudine.

6. Criteri di diagonalizzabilità. →

V C φ : V V

Proposizione. Siano spazio vettoriale su e endomorfismo. Allora:

φ n

(a) è diagonalizzabile se ammette autovalori distinti.

φ

(b) (Teorema di Frobenius) è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del suo polinomio

C a molt (a) = null (a).

caratteristico sono in e per ogni autovalore si ha φ φ

Dimostrazione. (a): ovvia.

φ p (X) C.

(b): Se è diagonalizzabile, tutte le radici di sono in Inoltre la somma dei relativi

φ

autospazi è diretta ⊕ · · · ⊕ ⊆

V (φ) V (φ) V

a a

1 r

φ

Osserviamo che è diagonalizzabile se e solo se l’inclusione è un uguaglianza, ovvero se e solo se

C

tutti gli autovalori sono n e la somma delle nullità uguaglia la somma delle molteplicità. In base

a quanto sin’ora osservato si ha

· · · ≤ · · ·

null (a ) + + null (a ) molt (a ) + + molt (a ) = dim V

φ i φ r φ 1 φ r C

e quindi, trattandosi di somme di numeri interi positivi, vale l’uguaglianza se e solo se per ogni

i = 1, . . . , r null (a ) = molt (a ).

si ha φ 1 φ i 9

Parte II

Modulo B

6 Autoteoria e Teoria di Jordan

1. Criterio di triangolarizzqazione. ∈

A M (C) p (X)

Proposizione. Una matrice è triangolarizzabile se e solo se ha tutte le radici

n A

C.

in

2. Definizione di autovettore generalizzato.

∈ →

v V φ : V V

Definizione. Un vettore è un autovettore generalizzato per un endomorfismo

m

− ∈

(φ a id ) (v) = 0 a

se per un qualche autovalore Si chiama periodo dell’autovettore

C.

V m

∈ − −

v m v ker(φ a id ) m (φ

generalizzato il minimo intero per cui , ovvero l’intero per cui

V

m m−1

6 −

a id ) (v) = 0 = (φ a id ) (v) e si hanno le inclusioni

V V 2 r

− ⊆ − ⊆ · · · ⊆ − ⊆ · · ·

ker(φ a) ker(φ a) ker(φ a)

3. Struttura di endomorfismi triangolarizzabili. →

V C-spazio n φ : V V

Teorema. Siano un vettoriale di dimensione e un endomorfismo tale che

m m

− · · · −

p (X) = (X a ) (x a ) a , . . . , a C

, con in a due a due distinti. Allora

1 r

φ 1 r 1 r

n n

− ⊕ · · · ⊕ −

V = ker(φ a ) ker(φ a )

(a) ;

1 r

n n

− ⊆ −

φ(ker(φ a ) ) ker(φ a ) j = 1, . . . , r;

(b) , per

j j

n n m

− − − j = 1, . . . , r.

dim ker(φ a ) = m ker(φ a ) = ker(φ a ) , per

(c) , e quindi j

C j j j j n

V ker(φ a ) V

Dimostrazione. (a): Dire che è somma dei sottospazi significa che è generato

j

φ.

da autovettori generalizzati per Il fatto che autovettori distinti siano linearmente indipendenti

implica che la somma è diretta.

n n n

− ⊆ − −

φ(ker(φ a ) ) ker(φ a ) φ (φ a )

(b): discende dal fatto che commuta con .

j j j

n

φ ker(φ a ) a

(c): La restrizione di al sottospazio ha come unico autovalore e quindi il polinomio

j j

d n

− −

(x a ) d = dim ker(φ a )

caratteristico di questa restrizione è , ove . Poichè il polinomio

j

j j C j

φ

caratteristico di è il prodotto dei polinomi caratteristici delle sue restrizioni aggli addendi diretti

m m

− · · · −

(X a ) (X a ) d = m j = 1, . . . , r.

ed è uguale a , si conclude che , per

1 r

1 r j j

4. Definizione di polinomio minimo. →

V C-spazio n φ : V V

Definizione. Siano un vettoriale di dimensione e un endomorfismo. Sia

m m

− · · · −

p (X) = (X a ) (X a ) φ, a , . . . , a

il polinomio caratteristico di con a due a due

1 r

φ 1 r 1 r

j = 1, . . . , r c

distinti. Per indichiamo con il massimo periodo di un autovettore generalizzato

j

a φ

relativo all’autovettore . Si chiama polinomio minimo per

j c c

− · · · −

λ (X) = (X a ) (X a )

1 r

φ 1 r f (X),

Il nome minimo deriva dal fatto che si tratta del polinomio monico di grado minimo tale che

f (φ) V

sia l’endomorfismo nullo di . 10

5. Lemma di decomposizione

→ ∈

φ : V V F (X) C[X] F (φ) = 0

Lemma. Siano un endomorfismo e tale che e supponiamo che

·

F (X) = F (X)F (X) F (X) F (X)F (X)

con a due a due coprimi non costanti. Allora

1 2 r i j

⊕ · · · ⊕

V = V V V = ker F (φ) i = 1, . . . , r;

(a) con per ogni

1 r i i ⊆

V φ-stabile, W V φ(W ) W

(b) è cioè se è sottospazio di , .

i

6. Secondo criterio di diagonalizzazione. →

V C-spazio n φ : V V

Proposizione. Siano un vettoriale di dimensione e un endomorfismo.

φ

Allora è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo è prodotto di fattori lineari distinti

C[X],

in cioè r

Y −

λ (X) = (X a )

φ i

i=1 B ⊕ · · · ⊕

φ V = V V

Dimostrazione. Se è diagonalizzabile esiste una base di autovettori e con

1 r

− · · · − −

V = ker F (φ) =⇒ λ (X) = (X a ) (X a ) λ (X) = X

perchè è la produttoria

i i φ 1 r a 1

i ni

− −

a =⇒ a 1 a 1 = = V (X a ). Allora per il lemma di decomposizione applicato a

0

i i n i n a 1 i

i i i ni

− · · · − ⊕ · · · ⊕

λ (X) = (X a ) (X a ), V = V V V

nsi ottiene che è somma diretta degli autospazi

φ 1 r 1 r

φ =⇒ φ

di è diagonalizzabile.

7. Teorema di Hamilton-Cayley.

A M (C), λ (X)

Teorema. Sia allora il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico

n A

p (X) e inoltre hanno le stesse radici.

A

8. Teorema di Jordan. →

V C-spazio n φ : V V

Teorema. Siano un vettoriale di dimensione e un endomorfismo il cui

m m

− · · · −

p (X) = (X a ) (X a ) a , . . . , a

polinomio caratteristico sia con a due a due distinti.

1 r

φ 1 r 1 r

V φ

Allora esiste una base di rispetto alla quale la matrice assume la forma

 

  B 0 . . . 0

J 0 . . . 0 1

1 ..

. ..

. . ..  

  .

. 0 B

0 J .

2

2  

  J =

ove k  

  .

. . .

. . .. .. ..

.. .. ..  

  0

0  

  0 ... 0 B

0 ... 0 J s

r

B , . . . , B a

e le matrici sono opportuni blocchi di Jordan relativi all’autovalore .

1 s k

9. Lemma del vettore ciclico. →

V C-spazio n φ : V V

(a) Siano un vettoriale di dimensione e un endomorfismo con

k n

Q − ∈

p (X) = λ (X) = (X a ) v V

, allora esiste un vettore tale che

i

φ φ i

i=1

2 n−1

B {v,

= φ(v), φ (v), . . . , φ (v)} V v

è base di . viene detto vettore ciclico.

n n−1

− − · · · − ∈

p (X) = x c x c c C p (X)

(b) Detto con si ha la matrice compagna di

φ 1 n i φ

 

0 0 . . . 0 c n

. .

.. .. ..

 

.

1 0

 

 

.. ..

..

α (φ) =  

.

B,B 0 1 . .

 

 

. .

..

.. ..

 

.

0 0

 

0 ... 0 1 c

1

11


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18

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5 mesi fa


DETTAGLI
Esame: Geometria 1
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher al.siviero95 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Candilera Maurizio.

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