Appunti Geometria 1

C

Az z̄ + B̄z + B z̄ + C = 0

∈ ∈

A, C B, z z:

con e Possiamo dunque descrivere gli assi del piano in termini di

R C. −iz + iz̄

z + z̄ y =

x = e

2 2

7. Rifelssioni di Möbius nel cerchio unitario. 1

6 →

z = 0 λ : λ(z) =

Definizione. Sia e sia definita da . Il gruppo che si ottiene da tutte le

C C z̄

λ

trasformazioni possibili si chiama gruppo delle trasformazioni di Möbius.

2 Spazi Vettoriali e Applicazioni Lineari

1. Definizione di spazio vettoriale.

C C V

Definizione. Sia un campo. Uno spazio vettoriale su è un insieme dotato di due operazioni

× → 7→ · × → 7→

+ : V V V, (v, w) v + w : C V V, (α, v) αv

e +

che lo rendono un gruppo commutativo rispetto all’operazione e siano soddisfatte le seguenti

proprietà: α(βv) = (αβ)v, (α + β) = αv + βv,

α(v + w) = αv + αw, 1v = v

∈ ∈

v, w V α, β C.

qualunque siano e 2

2. Definizione di sottospazio vettoriale.

V C. W V

Definizione. Sia uno spazio vettoriale sul campo Un sottoinsieme non vuoto di si dice

V

sottospazio vettoriale di se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:

∈ ∈ ∈

u, w W α, β C =⇒ αu + βw W

(a) , ;

∈ ∈ ∈ ∈

u, w W α C =⇒ u + w W αu W

(b) , e ;

W w , . . . , w W

(c) è chiuso rispetto alle combinazioni lineari, ossia dati comunque vettori di e

1 k

∈ · · · ∈

α , . . . , α C α w + + α w W

scalari si ha .

1 k 1 1 k k

3. Definizione di somma di sottospazi.

U W V U W U + W =

Definizione. Siano , due sottospazi di . Si chiama somma di e il sottospazio

hU ∪ i. ∩ h0i,

W U W =

Se inoltre diremo che la somma dei due sottospazi è diretta e scriveremo

⊕ ⊕

U W U + W U W = V V

in luogo di . Se diremo che sono complementari in .

4. Definizione di vettori linearmente indipendenti

V C. S V

Definizione. Sia uno spazio vettoriale su Una collezione non vuota di vettori di si dice

v , . . . , v S,

formata da vettori linearmente indipendenti se, dati comunque dei vettori di

1 r

· · · · · ·

a v + + a v = 0 =⇒ a = = a = 0

1 1 r r V 1 r

V V

Una base di è un insieme di generatori linearmente indipendenti dello spazio .

5. Struttura degli spazi vettoriali. V

V C V

Proposizione. Siano uno spazio vettoriale su e una sua base. Ogni vettore di si scrive

V.

in modo unico come combinazione lineare di elementi di

hVi,

V = V

Dimostrazione. Poichè allora ogni vettore di si scrive come combinazione di un numero

V. ∈

v V

finito di elementi della base Inoltre, se il vettore si scrive in due modi come combinazione

V, · · · · · · ∈ V

v = a v + + a v = c v + + c v v , . . . , v

di elementi di allora si ha , ove e

1 1 n n 1 1 n n 1 n

∈ − − · · · −

a , . . . , a , c , . . . , c C. 0 = v v = (a c )v + + (a c )v

Se ne deduce che e quindi

1 n 1 n V 1 1 1 n n n

− · · · − V

a c = = a c = 0,

che perchè gli elementi di sono linearmente indipendenti. Quindi i

1 1 n n v

coefficienti dei vettori di base necessari per scrivere coincidono a due a due.

6 h0i

V =

Teorema (di struttura degli spazi vettoriali). Sia uno spazio vettoriale finitamente ge-

C. V V

nerato su Allora esiste una base per e due diverse basi di hanno lo stesso numero di

elementi.

La dimostrazione discenderà dal fatto seguente:

{v }

A = , . . . , v V

Lemma (di scambio). Sia un insieme di generatori per uno spazio vettoriale

1 n

{w }

C B = , . . . , w V

su e sia un insieme formato da vettori linearmente indipendenti di , allora

1 r

≤

r n. 0 {w }. hv i

A = , v , . . . , v V = , . . . , v w

Dimostrazione. Si consideri l’insieme Poichè il vettore

1 1 n 1 n 1

6

V w = 0

è combinazione lineare dei generatori di . Poichè , tali costanti non sono tutte nulle,

1 V

a v

supponiamo non nullo il coefficiente di . Se ne deduce che

1 1

−1 −1 −1

− − · · · − ∈ hw i hv i

v = a w a a v a a v , v , . . . , v = , . . . , v

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 n

1 1 1

3

{w }

A = , v , . . . , v V

Dunque è ancora un insieme di generatori di e possiamo considerare

1 1 2 n

00 {w }.

A = , w , v , . . . , v

l’insieme Ragionando come sopra otteniamo che

1 2 2 n

∈ hw i hw i

v , w , v , . . . , v = , v , . . . , v = V

2 1 2 3 n 1 2 n

r B A

Iterando questo processo possiamo sostituire gli vettori di ad altrettanti vettori di e avere

V A

ancora un insieme di generatori per . Ciò significa che non può avere un numero di elementi

B.

strettamente minore di quello di

Possiamo ora dimostrare il teorema di struttura:

{v }

A = , . . . , v V

Dimostrazione. Sia un insieme di generatori di . Se i generatori sono linearmen-

k 1 k

A

te indipendenti, allora è una base e il primo asserto è verificato. Altrimenti, uno dei vettori di

k

A v A V

è combinazione lineare degli altri, sia , quindi è un insieme di generatori per e si itera

k k k−1 V

il processo. Dopo un numero finito di passi ci si deve arrestare e si ottiene così una base per . Ora,

V

poichè ha un numero finito di generatori, allora ogni sua base ha un numero finito di elementi.

≤

v , . . . , v w , . . . , w V =⇒ m n

Inoltre per il lemma dello scambio, se e sono due basi di

1 n 1 m

w v V

perchè i vettori sono linearmente indipendenti e i vettori sono generatori di . D’altra parte è

≤

v w V =⇒ n m

anche vero che se sono linearmente indipendenti e sono generatori di e quindi

m = n.

si conclude che

6. Relazioni di Grassmann.

U, W V C.

Lemma. Siano due sottospazi di dimensione finita di su Risulta

− ∩

dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W )

C C C C

∩

z , . . . , z U W

Dimostrazione. Sia una base di (oppure nessun vettore se l’intersezione è banale).

1 k ∩W

z , . . . , z , u , . . . , u U z , . . . , z , w , . . . , w W k = dim(U ),

Siano base di e base di . Allora

1 k k+1 r 1 k k+1 s

r = dim U s = dim W z , . . . , z , u , . . . , u , w , . . . , w

e . La tesi è dimostrata se si dimostra che 1 k k+1 r k+1 s

∈ · · · · · ·

U + W u + w U + W u = a z + + a z + a u + + a u

è base di . Se con e

1 1 k k k+1 k+1 r r

· ·+b · ·+b · ·+(a

w = b z +· z +b w +· w u+w = (a +b )z +· +b )z +a u +

abbiamo

1 1 k k k+1 k+1 s s 1 1 1 k k k k+1 k+1

· · · · · · hz i.

+ a u + b w + + b w U + W = , . . . , z , u , . . . , u , w , . . . , w

. Dunque Se

r r k+1 k+1 s s 1 k k+1 r k+1 s

· ·+a ∈ −b −· · ·−b ∈

u+w = 0 =⇒ a z +. . . a z +a u +· u U = w w W e quindi

V 1 1 k k k+1 k+1 r r k+1 k+1 s s

∩

U W z , . . . , z =⇒

si trova in , dunque si scrive in modo unico come combinazione lineare di 1 k

· · · · · · · · ·

a = = a = 0 = b = = b a z + + a z = 0 z , . . . , z

, cioè ma sono linearmente

k+1 r k+1 s 1 1 k k V 1 k

· · ·

a = = a = 0.

indipendenti, quindi 1 k

7. Definizione di applicazione lineare. →

V W C. φ : V W

Definizione. Siano e due spazi vettoriali su Un’applicazione si dice appli-

0

v, v V

cazione lineare o omomorfismo di spazi vettoriali se, per ogni coppia di vettori in e ogni

0 0

α, β C φ(αv + βv ) = αφ(v) + βφ(v ).

coppia di scalari in si ha

8. Formula delle dimensioni. →

V W C φ : V W

Proposizione. Siano e spazi vettoriali su e sia un’applicazione lineare. Allora:

dim ker φ + dim im φ = dim V

C C C

4

u , . . . , u ker φ, V

Dimostrazione. Sia base di di e completiamo questi vettori ad una base di :

1 k

u , . . . , u , v , . . . , v φ(v ), . . . , φ(v ) im φ.

. Vogliamo mostrare che i vettori sono una base di

1 k k+1 n k+1 n

· ·+α · ·+v

v = α u +· u +α v +· V φ(v) = α φ(v )+

Infatti dato un vettore di , si ha

1 1 k k k+1 k+1 n k+1 k+1

· · · + α φ(v ) φ(v ), . . . , φ(v ) im φ.

e quindi i vettori sono un sistema di generatori per D’altra

n n k+1 n

· · · · · · ∈

β φ(v ) + + β φ(v ) = 0 β v + + β v ker φ

parte, se allora il vettore e quindi

k+1 k+1 n n k+1 k+1 n n

· · · · · ·

β v + + β v = 0, β = = β = 0.

deve necessariamente aversi ovvero

k+1 k+1 n n k+1 n

9. Matrici di cambio di base e loro relazioni. V, W.

V

Proposizione. Siano dati uno spazio vettoriale e due sue basi Le matrici di cambio di

α (id ) α (id )

base e sono una l’inversa dell’altra.

V,W W,V

V V 0

→ V, V

φ : V W V

Proposizione. Sia data un’applicazione lineare e siano fissate due basi di e

0

W, W W

di . Risulta α (φ) = α (id )α (φ)α (id )

0 0 0 0

V W,W V,W V

,W W ,V V

Dimostrazione. Si consideri l’ovvio diagramma commutativo

φ

V W

0 0

V W

id id

V W

φ

V W

V W

ove, ai piedi di ogni spazio vettoriale si è indicata la base a cui riferirsi per calcolare le matrici

associate.

10. Proprietà dello spazio vettoriale duale.

V C.

Definizione. Sia uno spazio vettoriale su Si chiama spazio vettoriale duale lo spazio

∗ :=

V Hom (V, C) V

delle forme lineari su . Si chiama dualità canonica l’applicazione

C

∗ ∗

◦ × → ◦ ∈ ×

:=

: V V C, ξ v ξ(v) (ξ, v) V V

definita ponendo per ogni coppia . ∗ ∗ ∗

V V {v }

V C = , . . . , v

Definizione. Sia spazio vettoriale su e sia una sua base. Il sottoinsieme n

1

∗ ∗ ◦

V v v = δ

di , i c