Appunti Geometria - parte 1

Lezione 1

La direzione di un vettore è data dalla retta su cui giacciono. Il verso è indicato da una freccia. Costa uguali due vettori, si ha uguale se il modulo è la grandezza che esso rappresenta ovvero un numero.

Con i vettori è abbinato due operazioni:

• Somma di vettori
• Prodotto di un numero (scalare) per un vettore

(Il risultato è un vettore)

Gli insiemi

N = {0, 1, 2, 3, ...} _{Numeri naturali}

In N tutte le operazioni funzionano negli insiemi dei numeri naturali, per esempio la sottrazione 2 - 5 = ?

Allora passiamo ad un insieme uno più grande:

Z = {..., -1, 0, +1, +2, +3, ...} _{Numeri interi}

L'operazione di sottrazione che prima in N non era creata, d'unchec produrre. Ma ora può fare tranquillamente anche al prodotto. Passiamo ad un insieme più grande: ad esempio 2 ÷ 5 = ?

Allora passiamo ad un insieme ancora più grande:

Q = {| m/n ∈ Z, n ≠ 0} _{Numeri razionali}

In questo insieme le 4 operazioni sono ample e questo par regalo un campo ai numeri.

Def. Un campo

K ∈ un insieme non vuoto ad ibadato di due operazioni, +, *, che soddisfa le segnanti proprietà:

1. (a + b) + c = a + (b + c) _{Proprietà associativa}
2. a + b = b + a _{Proprietà commutativa}

∃ un elemento 0GGK tale che 0+2=2+0=2.

∃_K 0 è l'elemento neutro per l'operazione somma.

∀∃_K esiste un elemento indicato con -a∃_K tale che a+(-a)=0. L'elemento inverso 1-2-3-4 proprietà rispetto all'operazione somma (4).

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) proprietà associativa

a⋅b=b⋅a proprietà commutativa

∃ un elemento 1∈K tale che 1⋅2=2⋅1=2 ∀a∈K 1 è l'elemento neutro per il prodotto.

∀ 2∃ esiste un elemento k^-1 tale che 2⋅2^-1=1=2^-1⋅2=1 k^-1 è detto l'inverso di a.

5-1-7-8 proprietà rispetto all'operazione prodotto (o).

Ci sono altre proprietà che riguardano il somma che il prodotto

(a+b)⋅c = (a⋅c)+(b⋅c) proprietà distributiva

Esempi di Campi

Q ⊂ R ⊂ C (campi infiniti)

R= numeri reali

C= numeri complessi

N.B. Un campo può essere costituito da un numero finito di elementi

Def.: Sia K un campo qualsiasi. Uno spazio vettoriale è un insieme non vuoto V dotato di una operazione (somma) +

V ×V ➔ V

(v,w) ➔ V + W

+

T+W

(1) r, s, t V sono elementi di V che chiamo vettori T, W e ancora un vettore

e una operazione (detta prodotto tra uno scalare e un vettore): 2⋅K (Q è un numero

n)∈V

2⋅n∈V

= (3λ₁, 2λ₁) + (2λ₂, 5λ₂) =

= (3λ₁ + 2λ₂, 2λ₁ + 5λ₂) = (0, 0) = o̅

{3λ₁ + 2λ₂ = 0

2λ₁ + 5λ₂ = 0

λ₁ = 0

λ₂ = 0

è l'unica soluzione

Quindi λ₁, λ₂ sono linearmente indipendenti

N.B. dal punto di vista geometrico e grafico v₁ e v₂ non sono mai paralleli

Attenzione: questa interpretazione geometrica vale solo per due vettori

Esempio V = R²

v₁ = (3, -2)

v₂ = (-1, 1)

v₃ = (1, 3)

λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = λ₁ ( ³/₂ ) + λ₂ ( ⁴/₁ ) + λ₂ ( ¹/₃ ) =

= (3λ₁ + 4λ₂ + λ₃)

= (2λ₁ + λ₂ + 3λ₃) = (0)

{3λ₁ + 4λ₂ + λ₃ = 0

2λ₁ + λ₂ + 3λ₃ = 0

abbiamo un sistema di due equazioni ma tre incognite

posso ricavare due in funzione della terza

quindi è libera di assumere qualsiasi valore quindi

il sistema ha infinite soluzioni

=>

=> v₁, v₂ , v₃ sono linearmente dipendenti

Esempio V = R³

v₁ = (2, 0, 1)

v₂ = (-1, 1, 0)

v₃ = (3, 9, 1)

E ottengo

N_x = -_lnN_t + l_n1₂ - ... +l_ml_nN_m e vi inviamo la chiamaviva per semplifica t₂ t_m

N_t = a₁N₁ + a₂N₂ + ... + a_mN_m Crediamo quasi sicuri che un vettore si può ottenere nessuna come combinazione lineare degli altri dove dimostriamo al contrario

Supponiamo che N_t = a₁N₁ + ... + a_i-1N_i-1 + a_i+1N_i+1 + ... + a_mN_m neanche sia per il nostro mora che dipinso dim sono linealmente dimetro desci scriversi una combinazione lineare è può venire ad erò

-1N_t ± (- 1 = 0)

Quindi non tutti i coefficienti sono nulli! =>₁ ... N_m sono linearmente dipendenti

Esempio

V = R³

N₁ = (2, 1, 0) N₂ = (9, -1, 2) N₃ = (6,- 9, 4)

(N₃ = 2N₂)

N₁, N₂, N₃ sono linearmente dipendenti pero anche N₃ = 2N₂, N₂ =^1₂ , ma non è possibile scrivere ni come combinazione lineare di N₂ e N₃ = N₁ ≠ 2N₂ + 6N₃

U ∪ W

n₁ ∈ U ∪ W ⇔ n₁ ∈ U ∨ n₁ ∈ W

n₂ ∈ U ∪ W ⇔ n₂ ∈ U ∨ n₂ ∈ W

n₁ + n₂ ∈ U ∪ W?

Potrebbe essere n₁ ∈ U, n₂ ∈ W

n₁ + n₂ ∈ ?

Non lo possiamo sapere

N.B. In generale l'unione di due spazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale

Esempio

U, W ⊂ R²

U = {(2,0) | V ∈ R}

vettori che stanno sull'asse x

W = {(0,b) | V ∈ R}

vettori che stanno sull'asse y

W₁

Sia m₁ = (3,0) ∈ U ∪ W

n₁ = (0,2) ∈ U ∪ W

Tuttavia

m₁ + n₁ = (3,2) ∉ U ∪ W

(perché non sta né sull'asse x né sull'asse y)

Definizione

Siano U, W ⊂ V sottospazi vettoriali

U + W è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene U ∪ W

Esempio V = R³

U = una retta passante per l'origine

W = un'altra retta passante per l'origine

LEZIONE 5ESEMPI

1. Considero un vettore

   retta che contiene

   la retta che contiene

   • {

2. n.dobbiamo distinguere due casi

   1. se { (vettori paralleli)

      retta

   2. se { (vettori non paralleli)

      è il piano che contiene

3. sono generatori di ?

   Sia un generico vettore di

(vale per ogni n) quindi {W₁, V₁, ..., V_n-1}

sono un sistema di generatori.

Ripetiamo la procedura considerando come sistema di generatori {W₁, V₁, ..., V_n-1}

W₂ = l₁W₁ + l_nV_n + ... + l_mV_m

Si ottiene un nuovo sistema di generatori

{W₂, V₁, V₂, ..., V_n-2}

Ripetiamo ancora la procedura ed otteniamo

{W₁, W₂, ..., W_n, V₁, V₂, ..., V_n-3}

(per ogni i)

In quanto r sono punti insigni di generatori

Se esse {W₁, W₂, ..., W_m}

In quanto W_m+1 = l₁W₁ + l₂W₂ + ... + l_mW_m.

Cioè il vettore W_m+1 è combinazione lineare dei rimanenti vettori.

=> Vettori {W₁, W₂, W_m, W_m+1, ..., W₂}

Sarebbero linearmente dipendenti assurdo

Quindi deve esistere k < m