Appunti di Geometria 1

Operazioni con le matrici

Mlo indichiamo con A di tipo k x n e B di tipo k x n.

Definiamo su A e B un'operazione di somma come segue: dati A e B, la matrice C di tipo k x n è data da:

C = A + B

con k e n arbitrari e fissati. Per ogni i e j si ha:

C_ij = A_ij + B_ij

Definita la somma, definiamo l'operazione di prodotto per uno scalare γ: data una matrice A di tipo k x n e uno scalare γ, la matrice D di tipo k x n è data da:

D = γ · A

Per ogni i e j si ha:

D_ij = γ · A_ij

Con le operazioni appena definite si dimostra facilmente il seguente teorema:

Teorema 2.1. L'insieme delle matrici M di tipo k x n, con le operazioni di somma (+) e prodotto (·), è uno spazio vettoriale sull'insieme K.

Osserviamo che lo spazio vettoriale, ossia lo spazio dei vettori colonna, non è

altroK×( )M nche lo spazio delle matrici 1, . ( )i×A k n, A i-esimaData una matrice del tipo indichiamo con la sua riga:Notazione.( )i · · ·a a a=A i1 i2 inA j-esimae con la sua colonna:( )j  a 1ja 2j =A  ..( )j  . a kjCon queste notazioni abbiamo: ( )1A ( )2A   · · ·A A A= =A ... ( ) ( ) ( )n1 2   ( )kAProdotto (riga per colonna) tra matriciOltre al prodotto per uno scalare, un’altra importante operazione è quella del prodottoriga per colonna tra matrici. × ×A k p B p n;Consideriamo una matrice del tipo e un matrice del tipo il prodotto· ×= ( )A B C c k n,è una nuova matrice del tipo il cui elemento generale è:ijp∑ · ∀ ∀= = =c a b i k j1, 2, ..., e 1, 2, ...nij is sj=s 1Osserviamo banalmente che il prodotto tra matrici è sempre definito.non   1 0 1 0K R − ·=

= =A B A B.0 1 1 4Sia e siano e , calcoliamoEsempio 2.1.    −0 1 0 1× ×Dato che la prima matrice è di tipo 3x3 e la seconda di tipo 3x1, possiamo ef-fettuare il prodotto tra queste due matrici (il numero di colonne della prima è uguale×Cal numero di righe della seconda). Il risultato sarà una matrice del tipo 3x1: c 11c=C 21 c 31Calcoliamo i singoli elementi di questa matrice, si ha:Matrici e sistemi lineari 113∑ · · · · −= = + + (− ) =c a b 1 0 0 4 1 1 1s111 1s=s 13∑ · · · ·= = + + (− ) (− ) =c a b 0 0 1 4 1 1 52s s121 =s 13∑ · · · ·= = + + (− ) =c a b 0 0 1 4 0 1 43s s131 =s 1Concludiamo che:     −1 0 1 0 1− · =0 1 1 4 5     −0 1 0 1 4 Siano A, B e C tre matrici, alloraProposizione 2.1 (Proprietà del prodotto tra

matrici). Valgono le seguenti proprietà, purché il prodotto tra di loro sia eseguibile:

1. Proprietà associativa:
   A · (B · C) = (A · B) · C
2. Proprietà distributiva a sinistra della moltiplicazione rispetto all'addizione:
   A · (B + C) = (A · B) + (A · C)
3. Proprietà distributiva a destra della moltiplicazione rispetto all'addizione:
   (B + C) · A = (B · A) + (C · A)

Il prodotto tra matrici, in generale, è commutativo. Ad esempio:

Osservazione 2.1.
−1 2 1 · 0 1 2 = −3 4 0
1 0 1 · 1 2 4 = 1 3 4

Il prodotto tra matrici può essere definito equivalentemente come:

Osservazione 2.2.
(A · B) · C = A · (B · C)

In questa notazione è facile osservare

che:C• le righe della matrice sono date da:( ) ( ) ( ) ( )i p1 2· · · · · ·= + + +C a B a B a Bi1 i2 ipC• le colonne della matrice sono date da:· · · · · ·= + + +C b A b A b Apj1j 2j( ) ( ) ( ) ( )j p1 212 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1Matrici quadrateFocalizziamo ora l’attenzione sulle ossia quelle in cui il numero di ri-matrici quadrate,= n).ghe e colonne coincide (k Indicheremo l’insieme delle matrici quadrate del tipo×n n M acon e chiameremo l’insieme degli elementi .diagonale principalen ii∈ · ∈A, B M A B MOsserviamo che date , il prodotto , dunque, l’insieme delle ma-n ntrici quadrate è chiuso rispetto al prodotto tra matrici. Inoltre, esiste l’elemento neutroMrispetto al prodotto in , infatti la matrice:n ···1 0 0· · ·0 1 0 =I  . . ...n . . . .. . .

Il sistema non ha soluzioni e non è invertibile.

Indichiamo con K l'insieme delle matrici invertibili su un campo ed osserviamo che, per quanto detto sopra, K è un esempio di gruppo non abeliano.

K, chiamato gruppo generale lineare, è detto gruppo generale lineare.

Osserviamo infine che se A e B sono due matrici invertibili, allora anche la matrice A*B è invertibile e si ha (A*B)^-1 = B^-1 * A^-1.

Matrici e sistemi lineari

Matrici trasposte T

Data una matrice del tipo A k n, A, A, si dice matrice trasposta del tipo n k A, ottenuta scambiando le righe con le colonne della matrice A. In simboli:

T = A^T

Dato l'esempio 2.2.

A = 2 1 3

7 0 5

la sua trasposta è la matrice:

T = 2 7

1 0

3 5

È facile mostrare che le matrici trasposte godono delle seguenti proprietà:

proprietà:T T T( + ) = +A B A B

1) T T T· ·( ) =A B B A

2) T T· ·( ) =c A c A

3) K( )M

Sottospazi vettoriali di nsottoinsiemi

Consideriamo i seguenti dell’insieme delle matrici quadrate:

1) l’insieme delle matrici simmetriche:Σ K T{ ∈ | }= ( ) =A M A An

2) l’insieme delle matrici antisimmetriche:Θ K T{ ∈ | − }= ( ) =A M A An

3) l’insieme delle matrici diagonali:Φ K{ ∈ | ∀ ̸ }= ( ) = =A M a i j0n ij

Ed osserviamo che vale la seguente proposizione.Σ, Θ Φ K( )I sottoinsiemi e sono sottospazi vettoriali di M .

Proposizione 2.3. nInoltre, l’insieme delle matrici ossia le matrici che hanno tutti glitriangolari superiori,elementi al di sotto della diagonale principale uguali a zero, e l’insieme della matriciin cui tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sonodiagonali inferiori, K( )Muguali a zero; sono sottospazi vettoriali di .

n14 Mattia Pozzi - Appunti

Il determinante di una matrice può essere indicato con <det> oppure con <det>. Per una matrice 1x1, cioè del tipo <A>, definiamo:

<det>(<A>) = <a>

Per una matrice 2x2, cioè del tipo

 a b 

 c d 

<A> =  

definiamo:

<det>(<A>) = ad - bc

Infine, per una matrice 3x3, cioè del tipo

 a b c 

 d e f 

<A> =  g h i 

definiamo:

<det>(<A>) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi