Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sulle derivate e sulle loro applicazioni

Derivate

Parte teorica

Il significato geometrico delle derivate è noto: per trovare il coefficiente angolare della retta secante a una funzione, basta effettuare il rapporto incrementale, definito come Δf(x)/Δx. Questo è dato da Δf(x) = f(x₂) - f(x₁) e Δx = x₂ - x₁ = h. L'incremento h tende a zero quando la retta diventa tangente.

La derivata viene definita come: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to limh\to 0$

A questo limite viene dato il nome di derivata. Il coefficiente angolare della retta tangente a una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a zero.

Formule di derivazione

Le principali formule di derivazione includono:

• (kf(x))' = kf'(x)
• (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
• (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g(x)²

Notazioni equivalenti per la derivata includono: f'(x), df/dx, Df(x).

Derivabilità

Lo studio della derivabilità corrisponde allo studio della continuità della funzione. Una funzione è derivabile in un punto se:

• lim_x→x⁰− f(x) = lim_x→x⁰+ f(x) = f(x⁰)
• lim_x→x⁰− f'(x) = lim_x→x⁰+ f'(x)

Una funzione non derivabile in un punto può presentare un punto angoloso, un punto di discontinuità o un punto dove il limite non esiste.

Applicazioni in analisi

Tramite la funzione derivata, possiamo studiare diverse proprietà della funzione di partenza. Vedi la sezione "Applicazioni Studio di Funzione" per ulteriori dettagli.

Applicazione in fisica

Le derivate sono utilizzate per studiare fenomeni fisici come il moto, dove la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.