Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sulle derivate e sulle loro applicazioni

DERIVATE

. .

PARTE TEORICA: PARTE PRATICA:

Signicato geometrico: Formule di derivazione

• •

E' noto che per trovare il coeciente angolare della retta

m

secante a una funzione basta eettuare quello che viene d d

f (x) con costante

0

k =0 (kf (x)) = kf (x) k

rapporto incrementale

denito il , ovvero , con

m = ∆f (x)/∆x dx dx

e .

− −

∆f (x) = f (x ) f (x ) ∆x = x x = h

2 1 2 1 d

viene chiamato . 0 0

h incremento ± ±

(f (x) g(x)) = f (x) g (x)

Quando la retta tende a essere una tangente, e quindi: dx

→

h 0 d

− 0 0

f (x + h) f (x) ·

(f (x) g(x)) = f (x)g (x) + f (x)g(x)

m = lim dx

h

h→0

Il coeciente angolare della retta tangente a una 0 0

−

d f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)

funzione in un punto è il limite del rapporto incre- = 2

dx g(x) g (x)

mentale quando l'incremento tende a zero .

derivata di rispetto d

A questo limite viene dato il nome di 0 0

f ·

f (g(x)) = f (g(x)) g (x)

a . dx

x Principali funzioni derivate

• f (x) Df (x) f (g(x)) Df (g(x))

n 0

n

n−1 n−1

·

x f (x)

nx f (x) nf (x)

x x 0 f (x)

f (x)

e e ·

f (x) e

e

−1 0 −1

·

x ln(f (x))

ln(x) f (x) f (x)

0 ·

sin(x) cos(x) sin(f (x)) f (x) cos(f (x))

0

− −f ·

cos(x) sin(x) cos(f (x)) (x) sin(f (x))

Figura 1: Signicato geometrico della derivata. DERIVABILITA':

Lo studio della derivabilità di corrisponde allo studio della

f (x)

Applicazione in analisi: continuità di :

0

• f (x)

derivabile

è in se:

Per si intende la funzione i cui valori sono f x

f unzione derivata 0

le derivate della funzione in tutti i punti del suo dominio

f (x) 0 0 0

(e quindi i coecienti angolari delle rette tangenti in tutti i lim f (x) = lim f (x) = f (x )

0

− +

punti). x→x x→x

0 0

non derivabile

Funzione in un punto se:

x 0

d

Notazioni equivalenti: ˙

0

f (x) f (x) f (x) Df (x)

dx e/o nito

Tramite la funzione derivata, possiamo studiare di- 0 0

lim f (x) = l lim f (x) = l l l

1 2 1 2

−

−

x→x + x→x

x→x + x→x

verse proprietà della funzione di partenza f(x) 0 0

. punto angoloso

è un angoloso.

x 0

(Vedi sezione "Applicazioni Studio di Funzione") 0 0 −∞

lim f (x) = +∞ lim f (x) =

Applicazione in sica: −

+

• x→x x→x

0 0

Esprimendo una grandezza sica in relazione a un'altra (ad è una cuspide con vertice rivolto verso il basso

basso.

x

esempio facendo un graco spazio-tempo) ricaviamo una fun- 0

zione che, se derivabile, permette di introdurre una terza 0 0

−∞

lim f (x) = lim f (x) = +∞

grandezza, data dalla derivata della funzione di partenza. −

+

x→x x→x

0 0

ESEMPI: alto

è una cuspide con vertice rivolto verso l'alto

alto.

x 0

d 0 0

velocità = derivata dello spazio lim f (x) = lim f (x) = +∞

v(t) = s(t) −

+

dt x→x x→x

0 0

d accelerazione = derivata della velocità è un punto di esso a tangente verticale crescente

crescente.

a(t) = v(t) x 0

dt 0 0

d −∞

lim f (x) = lim f (x) =

corrente = derivata della carica

i(t) = q(t) −

−

+

x→x x→x

dt 0 0

è un punto di esso a tangente verticale decrescente

decrescente.

d carica = capacità derivata potenziale x

· ·

Q(t) = C V (t) 0

dt Tutte le considerazioni fatte sullo studio della continuità sono

valide anche ai ni dello studio della derivabilità.