Appunti sulle matrici

MATRICI

Una tabella di numeri reali elencati su m righe e n colonne è detta matrice numerica reale di tipo [m;n] e si indica

Con a_ij, i=1,...,m j=1,...,n indichiamo l'elemento generico.

i è detto indice di riga j è detto indice di colonna

se m=n la matrice si dice quadrata. se m=1 la matrice è detta vettore riga se n=1 la matrice è detta vettore colonna

es.

(   0   1   -1   2   4   0 ) è una matrice di tipo [2;3] (oppure abbiamo 2x3)

(   2   1   3   -1 ) è una matrice [2;2] oppure quadrata di ordine 2.

SOMMA DI 2 MATRICI

Se A e B sono 2 matrici dello stesso tipo [m;n], si definisce somma di A e B la matrice C del tipo [m;n] il cui elemento generico c_ij = a_ij + b_ij per i=1,...,m j=1,...,n

es.

(   2   1   0   3   1   2 ) + (   1   2   4   5   8   21 ) = (   3   3   4   8   9   23 )

P R O D O T T O T R A M A T R I C I

Se A e B sono 2 matrici di tipo rispettivamente _m,n e _p,q e n=p, cioè se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, possiamo definire il prodotto righe per colonne P=AB:

A= (_aij)    B= (_bij)    P=AB= (_phk) con _phk = ⁿ Σ _ahi b_ik              i=1

E S.

A= _{2 0 -1}   0 1 2

B= _{3 1}   0 -1   2 0

AB= (6+0-2   2+0+0) = _{4   2}     0+0+4   0-1+0    _{4  -1}

P R O P R I E T À

• A S S O C I A T I V A

  A di tipo [_m,n]    B di tipo [_u,q]    C di tipo [_q,s] risulta

  (AB) C = A (BC)

• D I S T R I B U T I V A

  A di tipo [_m,n]    B e C di tipo [_n,g]    D di tipo [_q,s] risulta

  • A(B+C) = AB + AC
  • (B+C)D = BD + CD

N O N V A L E L A P R O P R I E T À C O M M U T A T I V A in generale   AB ≠ BA

A= (_{2 0 -1})         B = (_{3 1})      BA = (_{6+0   6 1 0 1 2            0 1                  0+1   0            -3+2   -1 -1}

(_{0+0   0        0-1   -2          0 1 -2               4+0   4 0 - 2})

Proprietà

1. |A| = |A^T|
2. Se a_gg = 0 ∀i = 1,...,m oppure ∀j = 1,...,n allora |A| = 0
3. Se si sostituisce una riga di A con (ka_i1, ka_i2,..., ka_in) per la matrice A' così ottenuta si ha |A'| = k |A|

Es.

• |0 2| = |0 1| |0 1|
• |0 4 -3| 2 |2 3 2 -4| 4 |3 2 -2|
• |3 0 2| |3 0 2| |3 0 1|

4. Se si scambiano 2 righe (oppure due colonne) il determinante cambia di segno
5. Se 2 righe (oppure 2 colonne sono uguali) |A| = 0
6. Se le righe i-ume di A è (R_i1 + dR_i2 + ... + aR_in) |A| è uguale alla somma dei 2 determinanti nei quali tutte le righe sono le righe di A tranne la i-uma date rispettivamente da (R_i1, a_i2, ... a_in) e (Q_i1, b_i2, ... b_in)

Es.

• |1 -1 0| = |1 0 0| + |0 -1 0|
• |2 1 1| |2 1 1| |2 1 1|
• |3 1 -2| |3 1 -2| |3 1 -2|

7. Se una riga (o colonna) è combinazione lineare delle altre righe (o colonne) il determinante è nullo

Es

• |0 3 -4|
• |2 1 2| = 0
• |1 2 -1|

• (0, 3, -4) = -(2, 1, 2) + 2 (1, 2, -1)

A

è detta prima matrice o matrice dei coefficienti

A'

è detta seconda matrice o matrice completa

Un vettore

è soluzione del sistema se valgono

a₁₁ ξ₁ + a₁₂ ξ₂ + ... + a_1m ξ_m + c₁ = 0

a_m1 ξ₁ + a_m2 ξ₂ + ... + a_mm ξ_m + c_m = 0

Definiamo

Se β₁

possiamo scrivere

a¹ ξ₁ + a² ξ₂ + ... + a^m ξ_m + c = 0

Un sistema lineare si dice compatibile se ammette almeno una soluzione; incompatibile se non ammette soluzioni -

Teorema

Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema ammetta soluzioni è che il vettore c dipende linearmente dal sistema {a¹, a², ..., a^m}

DIM

Sia ξ soluzione del sistema. Vale allora a¹ ξ₁ + a² ξ₂ + ... + a^m ξ_m + c = 0 di cui

c = (-ξ₁) a¹ + (-ξ₂) a² + ... + (-ξ_m) a^m

cioè c dipende linearmente da {a¹, a², ..., a^m}