Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sugli Integrali (indefiniti e definiti) e sulle loro applicazioni negli esercizi

Integrali

Parte teorica

Parte pratica

Significato geometrico

Se vogliamo calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione in un intervallo [a, b], basta eseguire 2 passaggi:

• Divido l'intervallo in una partizione di punti: P := [x₀ = a, x₁, ..., x_n−1, x_n = b], così che la partizione sia divisa in intervallini di ampiezza x_k - x_k−1.
• Divido l'area nella somma di tante aree rettangolari che hanno come basi gli intervallini. L'area totale sarà quindi: S = Σ (x_k - x_k−1) · f(x_k−1).

Se tra f(x_k) e f(x_k−1) scelgo sempre il più piccolo (rettangoli sempre sotto alla curva di f(x)), faccio la somma S⁻. Se scelgo sempre il più grande, faccio la somma S⁺.

Quando n → ∞, gli intervallini diventano sempre più piccoli e quindi S⁻ e S⁺ tendono a coincidere. Ottengo che: S = S⁻ = S⁺ = ∫f(x)dx.

L'integrale di f(x) è quindi l'area sottesa dal suo grafico quando la partizione di [a, b] tende all'infinito.

Formule di integrazione

• Integrale di una costante:

  ∫kdx = kx + c

• Integrale di una funzione elevata a potenza:

  ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (n ≠ -1)

• Integrale del reciproco:

  ∫1/x dx = ln|x| + c

• Integrale dell'esponenziale:

  ∫e^xdx = e^x + c

• Integrazione per parti:

  ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx

• Integrazione di una derivata composta:

  ∫g'(f(x))f'(x)dx = G(f(x)) + c

• Integrali trigonometrici:

  ∫sin x dx = -cos x + c

  ∫cos x dx = sin x + c

• Integrale di una funzione tangente:

  ∫1/x² dx = tan^-1(x) + c

Applicazione in analisi

Per una funzione f, la funzione primitiva F(x) è tale che F'(x) = f(x). Questo vuol dire che per una data funzione esistono infinite funzioni primitive, tutte diverse tra loro solo per la costante c.

Se dobbiamo trovare F(x), dobbiamo svolgere l'integrale indefinito di f(x) (senza estremi di integrazione).