Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sugli Integrali (indefiniti e definiti) e sulle loro applicazioni negli esercizi

. .

METODI DI RISOLUZIONE: Integrali funzioni fratte:

Integrazione per parti: va usata quando la funzione da

va usata quando la funzione da •

• integrare è scritta come prodotto di due funzioni di tipologie N (x)

integrare è del tipo (con polinomi). Il

f (x) = N, D

completamente diverse (logaritmica trigonometrica, espo-

· D(x)

metodo dipende dal confronto tra i gradi di e .

nenziale polinomio, ecc.). N D

·

Una delle due è facile da integrare ( ), l'altra è

0 →

g (x) g(x) Grado di < Grado di : ho 4 possibili sottocasi.

invece più facile da derivare ( ).

0 N D

B

→

f (x) f (x) 1. Grado N=0, Grado D=1:

Candidati per : x

f (x) ln x, tan x, e

Candidati per :

0 x n

g (x) sin x, cos x, e , x Z a a |bx

dx = ln + c| + c

d bx + c b

0

dx

−−→ f (x)

f (x)

Individua e e usa lo schema

0

f (x) g (x) 2. Grado N=0, Grado D=2, con :

∆ < 0

R D

0 −−→

g (x) g(x)

Z

Ora hai tutte e 4 le funzioni: 2a 2bx + c

a √ √

dx = arctan + c

mettile nella formula e calcola l'integrale. 2

bx + cx + d −∆ −∆

3. Grado N=1, Grado D=2, con :

∆ < 0

Z D

(esponenziale polinomio)

x ·

Es. I = e xdx 0

f (x)

simile al caso N =0

caso 2.: grado

f (x) z }| {

z }| {

Z Z Z

ax + k ax k

d dx = dx + dx

Z

dx

−−

→ 1

x x x x 2 2 2

bx + cx + d bx + cx + d bx + cx + d

⇒ − · −

I = xe 1 e dx = e (x 1) + c

R

x x

−−→

e e 4. Grado D>2, con :

∆ < 0

D

ci sono volte (quando compaiono funzioni

ATTENZIONE:

trigonometriche) in cui l'integrazione per parti va eseguita 2 (1) Scomponi in fattori di grado e di

o −

D(x) 1 (x a)

volte e va fatta un' "equazione" per trovare l'integrale . grado con ;

I o 2

2 (ax + bx + c) ∆ < 0

(2) Scrivi la funzione come somma di frazioni semplici,

Z (esponenziale trigonometrica) usando questa tabella;

x ·

Es. I = e sin xdx A B

1 = + + ...

d − − − −

x

x Z

dx (x a)(x b)... (x a) (x b)

−

−

→ e

e x x

⇒ −

I = cos xe + cos xe dx

R

−−→ −

sin x cos x 1 A A A

1 2 n

| {z } = + + ... +

I

lo chiamo − − − −

n 2 n

2 (x a) (x a) (x a) (x a)

d

dx

x x Z 1 A x + B A x + B

−−→

e e 1 1 n n

x x

⇒ −

I = sin xe sin xe dx = + ... +

2

R 2 n 2 2 n

(ax + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)

−−→

cos x sin x | {z } (3) Trova i parametri in modo tale che, sommando le

I A , B

n n

Mettendo insieme i pezzi otteniamo: frazioni semplici ed eseguendo l'm.c.m., si riottenga il nume-

ratore di partenza ;

N (x)

1 x

x x (4) Integra le funzioni fratte semplici.

− − ⇒ −

I = cos xe + sin xe I + c I = (sin x cos x)e + c

2

ATTENZIONE: ci sono volte in cui identicare il prodotto ∆=−3<0

Z x +3

tra due funzioni non è banale: z }| {

3 2 2

Es. dx D(x) = x + x + x = x (x + x + 1)

3 2

x + x + x

Z Z Z Z

2

· ·

Es. ln xdx = 1 ln xdx cos xdx = cos x cos xdx 2 2

Z Z

A Bx + C Ax + Ax + A + Bx + Cx

+ dx = dx

2 3 2

x x + x +1 x + x + x

Sostituzione: va usata quando la funzione da integrare è

• Ora che ho eettuato l'm.c.m. devono essere tali da

scritta come una combinazione di funzioni della stessa tipo- A, B, C

ridarmi il numeratore di partenza, ovvero :

logia. In pratica è il metodo che si usa per identicare gli x + 3

integrali immediati generalizzati. coeciente di

 2

A + B = 0 x



 coeciente di

f (x) = t ⇒ −3, −2

A = 3, B = C =

A + C = 1 x

Individua e e usa lo schema −1

0 x = f (t)

f (x) f (x) termine noto



A =3



0

−1

dx = f (t) dt

In questo modo ottengo:

−3x −2

Z 3

⇒I

I = + + dx =

2 2

x x + x +1 x + x +1

Z Z

0

g(f (x))f (x)dx = g(t)dt = G(t) + c = G(f (x)) + c

1

3 2x + 1

2 √ √

|x| − |x −

= 3 ln ln + x + 1| arctan + c

2

Per funzioni trigonometriche, usa le relazioni: 3 3

Grado di > Grado di : Eettuo la divisione ,

N

N D

B

n+1

n+1

Z Z

cos x sin x D

ottenendo il quoziente + il resto .

n

n −

cos x sin xdx =

sin x cos xdx = Q(x) R(x)

n +1 n +1 N D

caso <

polinomio z }| {

2 2

2 2 2 }| {

z

− − −

cos x = 1 sin x cos 2x = cos x sin x = 2 cos x 1 Z Z Z

N (x) R(x)

dx = Q(x)dx + dx

D(x) D(x)

2 2

−

sin x = 1 cos x sin 2x = 2 sin x cos x 2