Appunti, Formulari e Metodi di risoluzione per l'esame di Elettromagnetismo e Circuiti

Z

1 ρ(x , y , z ) dτ 0 0

× −

Z

µ I dl (~r ~r )

~ 0 0

− ~

(~r ~r )

E = B =

0 3

|~r − |

4πε ~r 0 3

|~r − |

4π ~r

0

Costanti: 2 Costanti:

−12 C −7 H

• ·

ε = ε ε ε = 8, 854 10 • ·

µ = µ µ µ = 4π 10

0 r 0 0 r 0

2

·m

N m

Densità di carica: Densità di corrente:

• dq = ρdτ dq = σdS dq = λdl ~ ~

• ·

dI = J d

S

Forza corrispondente: ~ ~ ~ ~ Forza corrispondente:

• F = q E d F = Edq Id~l

~ ~ ~ ~

• × ×

F = q~v B d F = B

Momento corrispondente: d~l)

~ ~

R Momento corrispondente:

• ×

M = (

E dq (d~l

~ ~

H

• × ×

M = I ~r B)

Tipi di campo: Tipi di campo:

• •

1 λ

q σ µ I N

carica: lo: piano:

~ ~ ~ lo: solenoide:

0

~ ~

E = r̂ E = R̂ E = n̂ B = t̂ B = µ I

2 0

4πε r 2πε R 2ε 2πR L

0 0 0

~z

λR µ m

~

anello (sul suo asse): anello (sul suo asse):

~ 0

~

E = B =

2 2 3/2

2ε (z + R ) 2 2 3/2

2π (z + R )

0 Q

Q µ I µ I

sfera: cilindro:

~

~ 0 0

~ ~

~r E (~r ) = r̂

E (~r ) = B (~r ) = ~r B (~r ) = r̂

est

int int est

3 2

4πε R 4πε r 2

2πR 2πr

0 0 Teoremi utili:

Teoremi utili: •

• I

Z Q Ampere:

Gauss: ~

~

tot

~ ~ ≡ ·

Γ(B) B dl = µ I

≡ ·

Φ(E) E d

S = 0 tot

ε 0 ~

~ ∂ E

ρ ∂ B II Maxwell: IV Maxwell:

I Maxwell: III Maxwell: ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ∇ · ∇ × −

B =0 B = µJ εµ

∇ · ∇ × −

E = E = ∂t

ε ∂t Potenziale Vettore:

Potenziale elettrico: •

• 0 0 0 0 ~ 0

Z

1 ρ(x , y , z ) dτ Z

µ I dl

~ ~ 0

~ ~ ~ ~

−

∇V

E =

V = ∇ ×

A = B = A

0

|~r − |

4πε ~r 0

|~r − |

4π ~r

0 Spira:

Dipolo: ~ • ≡

m

~ IS n̂

• ≡

p

~ q d Meccanica Spira:

Meccanica Dipolo: ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ∇ − · ×

F = m

~ B U = m

~ B M = m

~ B

∇ −~ · ×

F = p

~ E U = p E M = p

~ E ×

µ m

~ ~r

·

1 p

~ ~r Potenziale Spira: 0

~

Potenziale Dipolo: A(~

r ) =

V (~r ) = 3

4π r

3

4πε r

0 Corpi rigidi ruotanti:

Corpi rigidi: dm = SdI = Sωdq/2π = Sωρdτ /2π

dp = rdq = rρdτ Q 3Q

esempio sfera:

Q Q 2

esempio cilindro: dτ = r sinθdrdθdφ ρ = =

dτ = rdrdφdz ρ = = 3

τ 4πR

2

τ πR h Z Z

Z ω

2

≡ ρdτ =

m = Sdi = π(r sin θ)

p p = zρdτ =

z 2π

R 2π π

+2R +h/2 2π Z Z Z

3Q ω

Z Z Z

Q 3

4

= π r dr dφ sin θ dθ =

= rdr zdz dφ = 0 3

2 4πR 2π

πR h 0 0 0

−2R −h/2 0 5 2

ρ R 4 ωQR

3ωQ

se ho trovo :

~ ~ ~

∇ ·

E, ρ(x, y, z) E = 2π =

=

ε 3

8πR 5 3 5

Conduttori:

• Induttori:

•

σ

Proprietà: ~ ~

~ ~

E = 0 E = n̂ E = E dΦ(B) dI

Proprietà:

int S t1 t2 −L

ε =

dt dt

Condensatori:

• Induttori:

•

R ρdτ

Q

Capacità: oppure R

C = C = E dl

Φ(B)

Induttanza: oppure f em

R

∆V Edl L = L =

I dI/dt

Capacità condensatori: Induttanza induttori:

R R S

sferico: piano:

1 2 2

N

C = 4πε C = ε solenoide:

0 0 L = µ I

−

R R d 0

2 1 2

L

l

cilindrico: b

µ Ih

C = 2πε cavo coassiale: 0

0 L = ln

ln(R /R )

2 1 2π a

Z

ε Z

1

Energia condensatore: 0 Energia induttore:

2 2

U = E dτ U = B dτ

2 2µ

0

2

1 Q 1 1

se condensatore piano: se solenoide:

2 2

U = = C∆V U = LI

2 C 2 2

Somma condensatori: Somma induttori:

−1 −1

X X

1 1

in Serie: in Parallelo: in Serie: in Parallelo:

X X

C = C = C L = L L =

s i s i

// //

C L

i i

Dielettrici: Ferromagneti:

• •

d~

p d m

~

Vettore Polarizzazione Elettrica: Vettore Polarizzazione Magnetica:

~ ~

P = M =

dτ dτ

Vettore Spostamento Elettrico: Vettore Campo Magnetico:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

≡

D ε E + P = ε

E ≡ −

H B/µ M = B/µ

0 0

χ

χ χ

Proprietà: Proprietà:

~

~ ~ ~ ~ ~

≡ −1)

D (χ ε

P = ε χ E = ≡ −1)

M = B = χ

H (χ µ

r

0 r

ε µ µ

r

Densità di polarizzazione: Densità di corrente amperiana:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

· − ∇ · × ∇ ×

σ = P ~n ρ = P J = M ~n J = M

p p S V

H µ

D ε µ Passaggio nei ferromagneti:

Passaggio nei dielettrici: n1 1

t1 1 1 H = H =

D = D = t1 t2

n1 n2 H µ

D ε µ n2 2

t2 2 2 Circuiti Magnetici:

Circuiti Elettrici: •

• Z Z

Forza Elettromotrice: Forza Magnetomotrice:

~ ~

f em = Edl = ∆V f mm = Hdl = NI

Z dl

l

Z

l dl µ oppure

Riluttanza:

Resistenza: oppure resistività

1 R

R

≡ =

=

R = ρ R = ρ (ρ ) µS µS

S S µ

2 Somma riluttanze:

Somma resistenze: −1

−1 −1 X

1

X X

1 1 in Serie: in Parallelo:

X

in Serie: in Parallelo: R R R

X = =

R = R R = s i // R

s i // R

R i

i i Legge di Hopkinson: RΦ(B)

Legge di Ohm: N I =

∆V = RIR Legge dei nodi: Legge delle maglie:

X X

Leggi dei nodi: Leggi delle maglie:

X X Φ(B) = 0 F =0

I =0 ∆V = 0 Legge di Felici:

Legge conduttori con dielettrico: −

QR = Φ(0) Φ(t)

CR = ρε 

φ = φ + φ

 1 2

I = I + I 

1 2 R(φ

 −

N I = 2Rφ + φ )

1 2 1

−

V = 2RI + R(I I )

1 2 1 R R(φ

 −

0 = (3R + )Φ + φ )

0 2 1 2

 −

0 = (3R + R )I + R(I I )

0 2 1 2 NI φ 2

V ⇒

φ = B =

2 0

⇒

I = V = R I R

15R + S

2 R 0 2

0 0

15R + R 0 Elettromagneti:

Circuito RLC in serie: •

• B = B 0

v = Ri

R I B B 0

~

~

NI = H dl = l + x

di µ µ µ

v = L r 0 0

L dt µ µ N I

0 r

⇒ B =

− −

v = f v v 0

C R L l + µ x

r

Circuito RLC in parallelo: Curva di Isteresi:

• • Interseco il graco della curva di

isteresi di un magnete con la retta

1 che lega e e trovo il

B H

v

i =

R punto di lavoro

R (H , B )

L L

del magnete.

− −

i = i i i

L R C

dv

i = C Isteresi

(

C B = B(H) ( )

dt −

B = (µ N I lµ H)/d

0 0

.

Onde Elettromagnetiche: .

.

~ ~

Z dΦ( B) f em 1 dΦ( B)

Legge di Faraday-Neumann-Lenz: Equazione corrente circuito resistivo:

.

~

~

• −

E dl = I = =

B

dt R R dt

.

.

Vettore di Poynting: ~ ~ ~

• I = E× H .

.

~ ~ ~

2 2 2 r

| | |

E| E| E| µ

Proprietà: Onda piana: Onda sinusoidale: Onda sferica:

~ ~ ~ ~

2

| | | ≡

I| = = Z|

H| I| = I(r)| = Z

B B B

. 2

Z 2Z 2Zr ε

.

Z

dU

Teorema di Poynting: Il modulo di è l'intensità dell'onda elettromagnetica.

~ ~ ~ ~

− ·

= E Jdτ + Φ(

I) I

B B

dt

~ ~

E B

Note per calcolare : Note per calcolare :

l'integrazione diretta l'integrazione diretta

Calcolare svolgendo diretta: Calcolare svolgendo diretta:

~ ~

E B

1. Parti dallo studiare ; 1. Parti dallo studiare ;

~ ~

d

E d

B

2. Verica se il campo totale è solo una com- 2. Verica se il campo totale è solo una

ponente; componente ( in questo caso non lo è);

~

d B

( dE cos θ

ES. 3. Esegui il prodotto vettoriale tra e ;

~ ~

d E = dE = dl ∆~r

z ·

dE z 0 0

~

ES. ×(~ −~

dl r r ) dl

= sin θ

0 0

3 2

|~r −~r | |~r −~r |

3. Parametrizza la distanza -punto;

dl 4. Parametrizza la distanza -punto;

dl

p

0 0 0 0

2 2 2

− − −

|~r −~r | (x x ) + (y y ) + (z z )

= √ p

0 0 0 0

2 2 2

|~r −~r | − − −

= (x x ) + (y y ) + (z z )

ES. 0 2 2

|~r − | ≡

~r r = R + z ES. 0 R R

|~r − | ≡

~r r = =

cos(π/2−θ) sin θ

4. l' integrazione in è intesa lungo il corpo

dl 5. l'integrazione in è intesa lungo il corpo

che emette il campo, quindi gli estremi di dl

che emette il campo, quindi gli estremi di

integrazione devono coprire tutto il corpo. integrazione devono coprire tutto il corpo.

ES. b 2πR

R R

→

dl dl ES. b +∞

a 0 R R

→

dl dl

−∞

a

5. Verica se le variabili che descrivono la di- 6. Verica se le variabili che descrivono la di-

stanza corpo-punto compaiano anche per

P stanza corpo-punto compaiano anche per

descrivere il corpo stesso. P

descrivere il corpo stesso.

ES. -lunghezza anello: R

2πR

√ ES. -lunghezza lo: R

R →

ES. -distanza : θ

dl = dθ

2 2

R + z 2

tan θ sin θ

ES. -distanza : R

(ma è costante, non varia l'integrazione)

R sin θ