Appunti Elettrotecnica

Condensatore

(Dinamico, lineare, tempo invariante)

F [v] C (Capacità) [F]

J_c = C ^dV/_dt

In regime stazionario (V = cost e i_c = cost), il condensatore dipende in un circuito aperto.

V = cost

C ^dV/_dt = 0 C ^dV/_dt = i_cos

t ⁰/_-∞ i(t) dt = C V(t)

∫^t_-∞ i(t) dt = C ∫^V₀ dV t^V₀ = V(t) - V(t₀) = 1/C ∫_-∞^t

A C

∫^t_-∞ i(t)d = 1/C ∫_V0 i(t) dt

P_c = V(t)J_c (t) = V(t)C ^{d V (t)}/_{d t} = ∫^t_-∞[ 1/2 d(CV²(t))

P_c = V(t)J_c (t) = ^d(CV²(t))/_2dt = 1/2 ^d[CV²(t)]/_dt

U_c = 1/2 CV²(t)

Energicamente passivo

Induttore

(Dinamico, lineare, tempo invariante)

V = L ^diL/_dt

A (P) C ^di_cos⊘

∫^t_t0 V(t)j = ∫^t_t0 ^d(λi(t))/_dt dt λ∫^t_t0(V(t)j) = λ(i(t)∫E

P_t = V(t)J_c(t) = ^di(Li²(t))_d / = 1/2

U_c = 1/2 L²(t) _dt

Variabile di stato energicamente passivo

Base di definizione

Base corrente

Base tensione

Le funzioni variano con continuità (non varia istantaneamente)

Ne (Amp.:) G_anV

C_dV AM_M(t)G_anV

V i

dV = G_anV AM_M(t) → EQUAZIONE DIFFERENZIALE

dt C

Equazione

differenziale: linee ordinaria a

coefficienti costanti di primo grad

V. R_th + E_th(t) di

dt

Esempio

e(t) = e(0) -> E(t) = Et/T V(0) = V_o t_o = 1 s

• e(t) -> e(t)-V
  • KCL
  • V_CL = V_o C dv/dt = (R + r₁) e(t)-V
  • -dV/dt - V/2RC = 1/2C e(t) + 1/2 e(t)
  • dV(t) = e(t)/2RC - 1/2 e(t) = (R + r1)
• d(t) = e(t)/2RC - (2+1)/2RC e(t)

Se R = 2r

Se generatore pilotato va via

• se 2 ? 5 O ? 3 ?
• se R ? 2v ? 3 23 ? 3

2. e(t) = Et/T

• X₁ (t) = 2 t
• dX(t) + 1/2 e(t + 2p)/dt

d = A/2RC -> e(t) - 27/3 e(t + p)/2RC

V_c = E [-(W_rC - S)

+

+ W_rc]

e^-t/W_rC

V_c(t) = Re_[Vce^jωt] = E

(WC

cos(wt + φ_(WC))

cos(wt + w_nt wc)]

Σ (w_rc) (w_rc w_nt - sinω

Siamo in regine sinusoidle:

Equazl:

Vr = E_in - V_c

Vr = -E - V_c - VE²

I

E = C

E

dt

I = E(t(h

dI

E

E R

• dVc
• dt

- I_r

w

V_c =

Ve_r - V₂

τi

d

I

Tc

Ve

π

• e
• π

sistem (cnvi)

Fe

1. n

2. 1

I

E cos (wt + φ)

Δ

in

AC:

E(t) e

E

E (t)

E V_c

V

I(t) τ I

I_C

E dV_c

Ve =

I

E

ve

E

E

2^dt

VC

Z (jω) = R (jω) + j X (jω)

• X (jω) = 0
• X (jω) < 0
• X (jω) > 0

4 tipi di impedenze

Y (jω) = 1 / Z (jω)

G (jω) = 1 / R (jω)

B = 1 / X (jω)

Z (jω) = R (jω) + j X (jω) / Z² (jω) = R² (jω)

• v
• i_c
• i
• j (1 / ωC)

• v
• i_c = V / R
• i_c = jωC V
• i = (1 / jωC V)
• R + 1 / jωC = V - Z_eq
• Z_eq = R 1 / jωC = R jωC = - 1 / ωC
• j / jωC = jωC = 1
• V_R = R
• Y 1 / x (1 / ωC)

Z_eq = R 1 / ωL jωC (1 - jωRC) / 1 ω(L - ωL) = ω₂C = Z = R (1 - jωRC) / 1 ωL =

• R
• ωRC R
• ωL

Z_eq = R / jωL C

X (jω)

R = 1 / jωL C

• V
• Z_L
• V_m = Z_L

~ Σ I² V

Regime multifrequenziale

e(t) = Σe_icos(ω_it)

C dV_c------- = A_R

dt

 

V_c + ------- e₁ - V_c A_C

1----- V^e(t) τ

Spengo il generatore

V_c^e(t)

V_C = 1 ---------------- e^-t/3RC₃ V_C

----------------- RC

V_c

= e^{-t/2rc+ Ve_V cos(wt)e-3RC}

 

Spengo E

--------------------------------cos(wt) +wrc sin(wt)

Re{ Å ± } = P > 0

Q = Q = Q < 0

Cos| | = P ^Å

Y_{Å = arcos (p^Å)Å}

Re{ Å ±} = P < 0

Cos| | = P ^{| Å I Åin attricp_P}

• Le funzioni complete
• Es. ^{p7. P} (

Let{ _y

osc = xc_{1 wc}

• v = jwcv
• v =^{in onica'd}
• is c=³(_{1wc ^{3 1}}

1 P _{oscp^{P < /p>}}

Funzione Gradino

• Indicate con 1(t) / u(t)

12/05/2023

1(t) =

• 0, t << 0
• 1, t > 0

In t=0 si ha discontinuity Il "salto" è infinito | 1(0-) - 1(0+) | = 1 ∞

u(-t)

w(t) = 1(t-t₁) - 1(t-t₂)

w(t): Funzione Finestrella

Esempio (modo 2)

V₀(t) = V_C

V_C(t) = V₂

V_C(t) = t ≥ t_s = F₂ V₀(t) = V₁ t ₁ = t ≥ t_S λ ₂ + λ ₃

V_C(t)

V_C(t)=

V_C(t)

V_C(t) (t

V_C(t)

K₂ = V₀

Legge di Ampère - Laplace

• Campo B prodotto da una spira, correnti di forme cilindriche (chiuse)

_B = _µ₀I_r²/(2_πR^³)

∆_{V = ∆I}/∆t = ∆H_m

∆B = (∆_I × ∆^A₁)_t = µ₀I_r²/2

∆B = (µ₀I / 2_π)(r²)/ (r²) dl

B = ∮ (µ₀/4_π)(I dl × r̂)/r²

LEGGE DI AMPERE-MAXWELL

∮_CB ⋅ dl = μ₀i + μ₀ε₀ d/dt ∫_S E ⋅ dS

Sc. ∮_CB ⋅ dl = μ₀i —> ottengo legge di Ampere e KCL

∮_CB ⋅ dl = μ₀ i + μ₀ε₀ d/dt ∫_S E ⋅ dS —> PERIC. DI CONTOR. DELLA CARICA

MUTATORI MUTUANZA ACCOPPIATI

M. MUTUA INDUITANZA

(Poi esame destinate a leg, cariche … … sensore segna che gli ist. indutivi lavora norm.)