Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sui Limiti, continuità e Taylor
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ESTRATTO DOCUMENTO
LIMITI DI FUNZIONI
. .
Operazione Denizione Traduzione
"Per ogni positivo, esiste un
ε
corrispondente positivo tale che,
δ
∀ε ∃ ∀x |x − | ⇒ |f −
> 0 δ > 0 : : x < δ (x) l| < ε ε
ε 0 ε
f (x) = l
lim per ogni incluso in
x
x→x 0 , si ha che è
−
(x δ , x + δ ) f (x)
ε ε
0 0
compreso in "
−
(l ε, l + ε)
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente tale che, per ogni
δ x
∀M ∃ ∀x |x − | ⇒
> 0 δ > 0 : : x < δ f (x) > M M
M 0 M
f (x) = +∞
lim incluso in , si ha che
−
[x δ , x + δ ]
0 0
M M
x→x supera comunque M"
0 f (x)
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente tale che, per ogni
δ
∀M ∃ ∀x |x − | ⇒ −M
> 0 δ > 0 : : x < δ f (x) < M
M 0 M
−∞
lim f (x) = incluso in , si ha
−
x (x δ , x + δ )
0 0
M M
x→x che è comunque minore di -M"
0 f (x)
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente positivo tale che, per
N
∀M ∃ ∀x ⇒
> 0 N > 0 : > N f (x) > M
lim f (x) = +∞ ogni che supera , si ha che
x N f (x)
x→+∞ supera comunque M"
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente positivo tale che, per
N
∀M ∃ ∀x ⇒ −M
> 0 N > 0 : > N f (x) <
−∞
lim f (x) = ogni che supera , si ha che è
x N f (x)
x→+∞ comunque più piccolo di "
−M
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente positivo tale che, per
N
∀M ∃ ∀x −N ⇒
> 0 N > 0 : < f (x) > M
lim f (x) = +∞ ogni minore di , si ha che
−N
x f (x)
x→−∞ supera comunque "
M
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente positivo tale che, per
N
∀M ∃ ∀x −N ⇒ −M
> 0 N > 0 : < f (x) <
−∞
lim f (x) = ogni minore di , si ha che è
−N
x f (x)
x→−∞ comunque più piccolo di "
−M
"Per ogni positivo, esiste un
ε
corrispondente positivo tale che, per
N
∀ε ∃ ∀x ⇒ |f −
> 0 N > 0 : > N (x) l| < ε
lim f (x) = l ogni che supera , si ha che è
x N f (x)
x→+∞ compreso in "
−
(l ε, l + ε)
"Per ogni M positivo, esiste un
corrispondente positivo tale che, per
N
∀ε ∃ ∀x −N ⇒ |f −
> 0 N > 0 : < (x) l| < ε
lim f (x) = l ogni minore di , si ha che è
−N
x f (x)
x→−∞ compreso in "
−
(l ε, l + ε)
Metodi consigliati
Forme Indeterminate
Forme ammesse Scomposizione polinomi;
0
a a −∞
= +∞ a> 0 = a< 0 Limiti notevoli goniometrici;
0 0 0 Limiti notevoli con logaritmo.
−∞
+∞ ∞
a = a> 0 a = 0 a> 0 ∞ Scomposizione polinomi.
∞
a ±∞
∀a ±∞ ∀a
=0 =
±∞ a 0
0
±∞ · ±∞ ±∞ · ∓∞
a = a > 0 a = a< 0 Combinazione di limiti notevoli.
∞± ∞ ∀a · ±∞
a = (±∞) (±∞) = ·∞
0 Limiti notevoli con logaritmo.
a a
∞ ±∞
∞ ∞ ±∞
= a> 0 = 0 a< 0 Razionalizzazione;
∞−∞
a a
−∞ −∞ −∞
= +∞ a > 0 = a > 0
pari dispari Scomposizione polinomi.
±∞ 0
±∞ =0
= ±∞
0 0
±∞ Limiti notevoli con logaritmo.
−∞
+∞ ∞
+∞ +∞
+∞ = +∞ =0 ±∞
1
∞ −∞ − ∞ −∞ Limiti notevoli con esponenziale.
+∞ + = +∞ =
DESCRIZIONE APPUNTO
Il file è un formulario di 3 pagine su tutto ciò che bisogna sapere per superare perfettamente l'esame di Analisi 1 per quanto riguarda gli esercizi coi limiti di funzioni, con la continuità e con i polinomi di Taylor.
Il file comprende formule e definizioni ma anche trucchi/consigli, metodi di risoluzione, esempi di esercizi e una lista di errori comuni da evitare.
Con le nozioni che ho scritto in quegli appunti sono stato l'unico dell' intero appello (circa 80 persone) ad aver preso 30/32 all' esame scritto di Analisi!
Gli appunti sono scritti in Latex, lo stesso programma che si utilizza per scrivere i libri di testo di Analisi.
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher marco.oste di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Vernole Paola Gioia.
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