Appunti, Formulari e metodi di risoluzione sui Limiti, continuità e Taylor

LIMITI DI FUNZIONI

. .

Operazione Denizione Traduzione

"Per ogni positivo, esiste un

ε

corrispondente positivo tale che,

δ

∀ε ∃ ∀x |x − | ⇒ |f −

> 0 δ > 0 : : x < δ (x) l| < ε ε

ε 0 ε

f (x) = l

lim per ogni incluso in

x

x→x 0 , si ha che è

−

(x δ , x + δ ) f (x)

ε ε

0 0

compreso in "

−

(l ε, l + ε)

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente tale che, per ogni

δ x

∀M ∃ ∀x |x − | ⇒

> 0 δ > 0 : : x < δ f (x) > M M

M 0 M

f (x) = +∞

lim incluso in , si ha che

−

[x δ , x + δ ]

0 0

M M

x→x supera comunque M"

0 f (x)

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente tale che, per ogni

δ

∀M ∃ ∀x |x − | ⇒ −M

> 0 δ > 0 : : x < δ f (x) < M

M 0 M

−∞

lim f (x) = incluso in , si ha

−

x (x δ , x + δ )

0 0

M M

x→x che è comunque minore di -M"

0 f (x)

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente positivo tale che, per

N

∀M ∃ ∀x ⇒

> 0 N > 0 : > N f (x) > M

lim f (x) = +∞ ogni che supera , si ha che

x N f (x)

x→+∞ supera comunque M"

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente positivo tale che, per

N

∀M ∃ ∀x ⇒ −M

> 0 N > 0 : > N f (x) <

−∞

lim f (x) = ogni che supera , si ha che è

x N f (x)

x→+∞ comunque più piccolo di "

−M

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente positivo tale che, per

N

∀M ∃ ∀x −N ⇒

> 0 N > 0 : < f (x) > M

lim f (x) = +∞ ogni minore di , si ha che

−N

x f (x)

x→−∞ supera comunque "

M

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente positivo tale che, per

N

∀M ∃ ∀x −N ⇒ −M

> 0 N > 0 : < f (x) <

−∞

lim f (x) = ogni minore di , si ha che è

−N

x f (x)

x→−∞ comunque più piccolo di "

−M

"Per ogni positivo, esiste un

ε

corrispondente positivo tale che, per

N

∀ε ∃ ∀x ⇒ |f −

> 0 N > 0 : > N (x) l| < ε

lim f (x) = l ogni che supera , si ha che è

x N f (x)

x→+∞ compreso in "

−

(l ε, l + ε)

"Per ogni M positivo, esiste un

corrispondente positivo tale che, per

N

∀ε ∃ ∀x −N ⇒ |f −

> 0 N > 0 : < (x) l| < ε

lim f (x) = l ogni minore di , si ha che è

−N

x f (x)

x→−∞ compreso in "

−

(l ε, l + ε)

Metodi consigliati

Forme Indeterminate

Forme ammesse Scomposizione polinomi;

0

a a −∞

= +∞ a> 0 = a< 0 Limiti notevoli goniometrici;

0 0 0 Limiti notevoli con logaritmo.

−∞

+∞ ∞

a = a> 0 a = 0 a> 0 ∞ Scomposizione polinomi.

∞

a ±∞

∀a ±∞ ∀a

=0 =

±∞ a 0

0

±∞ · ±∞ ±∞ · ∓∞

a = a > 0 a = a< 0 Combinazione di limiti notevoli.

∞± ∞ ∀a · ±∞

a = (±∞) (±∞) = ·∞

0 Limiti notevoli con logaritmo.

a a

∞ ±∞

∞ ∞ ±∞

= a> 0 = 0 a< 0 Razionalizzazione;

∞−∞

a a

−∞ −∞ −∞

= +∞ a > 0 = a > 0

pari dispari Scomposizione polinomi.

±∞ 0

±∞ =0

= ±∞

0 0

±∞ Limiti notevoli con logaritmo.

−∞

+∞ ∞

+∞ +∞

+∞ = +∞ =0 ±∞

1

∞ −∞ − ∞ −∞ Limiti notevoli con esponenziale.

+∞ + = +∞ =