Appunti Fondamenti della rappresentazione

Appunti del corso di fondamenti della rappresentazione

Cenni storici sulle proiezioni ortogonali

- Gli architetti nel mondo antico avevano già sperimentato la possibilità di rappresentare.

- I Sumeri e gli Egiziani raffiguravano le loro opere in pianta e alzato.

- In epoca romana Vitruvio, con il "De Architettura", descrive un sistema di rappresentazione basato su due piani: orizzontale e verticale.

- Proseguendo nel tempo cresceva l’esigenza di un metodo oggettivo basato su rigorosi procedimenti geometrici.

- Rappresentazione per risalire in modo inequivocabile all’oggetto rappresentato.

- Gaspard Monge nel 1798 codificò il "metodo della doppia rappresentazione ortogonale".

- Viene considerato il padre della geometria descrittiva.

- Dimostrò che un oggetto tridimensionale risultava perfettamente definito dalla doppia proiezione ortogonale.

Obiettivi delle proiezioni ortogonali

- L’obiettivo fondamentale delle proiezioni ortogonali è quello di porre in relazione elementi di tre dimensioni con forme a due dimensioni.

- Sistema reversibile: una volta determinata l’immagine bidimensionale è possibile ritornare all’oggetto mediante operazioni inverse.

- Si conserva il parallelismo.

- Gli elementi di riferimento consistono in due piani disposti ortogonalmente che dividono lo spazio in quattro diedri (= spazio delimitato da due semi-piani).

- Due centri di proiezione posti all’infinito con direzione perpendicolare ai due piani di riferimento π₁ e π₂, quello orizzontale e quello verticale.

- I due piani vengono definiti con π₃.

- La configurazione può anche prevedere tre piani detto anche fianco o π₃.

- Possono essere aggiunti anche altri piani oltre ai due canonici π₁ e π₂.

- La retta di intersezione fra π₁ e π₂ viene detta linea di riferimento o linea di terra.

- La L.T. può anche essere omessa.

Rappresentazione di elementi geometrici

• La proiezione del punto
• La proiezione del segmento
• La rappresentazione del piano
• Rappresentazione di solidi
• Rappresentazione delle scale
• Rappresentazione di un piano obliquo rispetto agli assi ortogonali
• Segmenti obliqui: ricerca della lunghezza mediante metodo della rotazione
• Segmenti obliqui: ricerca della lunghezza reale mediante metodo del ribaltamento
• Rappresentazione di un elemento posto su un piano obliquo rispetto ai piani di proiezione

Metodo della rotazione

- Parallelepipedo con base inclinata di 40° rispetto a PO.

- Nel PV, si traccia una retta obliqua rispetto alla LT secondo l’angolo assegnato.

- Si centra con il compasso nel punto che funge da perno della rotazione e si riportano con archi di circonferenza le misure degli spigoli della base fino alla retta inclinata determinando così le nuove posizioni dei vertici.

- È a questo punto possibile procedere proiettandoli nei piani PO e PL secondo il metodo solito.

Sezioni con il piano secante α obliquo rispetto a due dei piani di proiezione: metodo del ribaltamento

- Dato l’oggetto non sezionato, si procede ad individuare le tracce t′′α e t′α del piano α secante sui piani di proiezione PO e PV, determinando i punti d’incontro del volume dato con α, individuando così nel PV la sezione del solido.

- Si proiettano poi questi nuovi vertici sul PO e sul PL.

- Per ottenere la grandezza reale della sezione occorre ribaltare sul PV il piano secante mediante una rotazione intorno alla t′′α e riportando quindi con il compasso dal PO le proiettanti ortogonali sul ribaltamento della t′α, determinando così i punti che, una volta uniti, formano la vera forma della sezione.

La proiezione assonometrica

Cenni storici

- Al secondo quarto del XIX secolo ci fu un notevole incremento degli studi e delle ricerche arrivando così all’affermazione ad un settore speculare alla geometria descrittiva: l’assonometria.

- Agli studi parteciparono grandi studiosi inglesi, tedeschi e italiani.

- I primi saggi vennero pubblicati in Inghilterra da William Farrish.

- Questo saggio trattava di ricerche sulle prospettive parallele ortogonali applicate al disegno tecnico.

- L’autore discute delle difficoltà di applicazione riguardo le proiezioni ortogonali e della prospettiva.

- L’opera di Farrish venne diffusa in altre nazioni europee, acquisì molta importanza in Germania, dove gli studiosi cercarono di renderla più accessibile a tutti.

- In particolare, Weisbach passò dallo studio della proiezione isometrica a quello dell’assonometria.

- A Weisbach si deve anche la costruzione fondamentale dell’assonometria ortogonale.

- Fu però grazie a Giovanni Codazza che si ebbe la codificazione rigorosa dal punto di vista teorico.

- Si inizia con il descrivere la rappresentazione del punto fino ad arrivare a parlare di problemi grafici più complessi.

- L’italiano Quintino Sella aggiunge anche che per rappresentare completamente una figura non basta la proiezione assonometrica ma è necessaria la raffigurazione di una delle proiezioni ortogonali.

- Prima delle precisazioni di Sella il processo di rappresentazione tra spazio e piano bidimensionale era immediato, quindi senza il passaggio intermedio costituito dalle proiezioni ortogonali, cosa che complicava molto l’esecuzione.

Elementi di riferimento dell’assonometria

Prevede un centro di proiezione improprio o all’infinito: ciò significa che per rappresentare un qualsiasi oggetto su un piano di quadro vengono utilizzati raggi proiettanti paralleli fra loro, ma solo con questi dati è impossibile risalire dall’immagine assonometrica alla posizione spaziale di partenza. Per questo viene introdotta una terna ortogonale di piani. Gli elementi di riferimento dell’assonometria sono dunque:

• π₁, π₂, π₃, le cui intersezioni determinano tre assi x, y, z e un punto comune detto O. Tre piani ortogonali (origine dei tre assi).
• Quadro (piano di rappresentazione).
• Un’unità di misura.
• Una direzione assonometrica indicata con S ∞.
• Se la direzione di S ∞ è perpendicolare al quadro l’assonometria viene detta ortogonale, se la direzione di S ∞ è obliqua rispetto al quadro si ottiene un’assonometria obliqua.

Le tipologie di assonometrie ortogonali

• Isometrica: Gli assi formano tre angoli uguali. Il rapporto di riduzione è lo stesso.
• Dimetrica: Gli assi formano due angoli uguali e uno diverso. Rapporto di riduzione uguale per due assi e diverso per il terzo.
• Trimetrica: Gli assi formano tre angoli tutti diversi fra loro. Rapporto di riduzione diverso per ogni asse.

Le tipologie di assonometrie oblique

• Cavaliera monometrica (militare): Gli assi x e y formano un angolo retto. Su tutti gli assi vengono usate le misure reali. Tuttavia in alcuni casi è concesso di ridurre di 2/3 sull’asse delle altezze.
• Cavaliera dimetrica (frontale): Gli assi x e y formano un angolo retto. Si applica una riduzione delle dimensioni soltanto sull’asse delle profondità.

Scala grafica di riduzione

1. Data la terna assonometrica xyz.
2. Prolungo l’asse x e l’asse y.
3. Traccio le perpendicolari all’asse x e all’asse y da un punto a piacere (A, B).
4. Abbiamo così la proiezione sul piano assonometrico dei tre assi e le tracce del piano assonometrico con i piani del triedro elementare.
5. Trovare il punto medio di AB e tracciare la semicirconferenza di diametro AB.
6. Prolungare l’asse y fino ad incontrare AB in H e la semicirconferenza in O.
7. Unire B e A con O. Il triangolo BOA costituisce la forma di BAO’, trovata attraverso il ribaltamento intorno ad AB.
8. Fissare la misura di un segmento unitario (es. 1 cm) e riportarlo sugli assi xyz da O’ determinando il punto E.
9. Da E, tracciare la parallela a O’O fino ad incontrare il cateto OA in D.
10. Il segmento OD, che rappresenta la vera misura sul piano assonometrico di O’E, indica il coefficiente di riduzione del segmento unitario sull’asse z.
11. Il medesimo procedimento viene poi applicato sui restanti assi x e y, determinandone così i relativi coefficienti di riduzione assonometrica.