Appunti Fondamenti della rappresentazione

DIFFERENZA TRA PROIETTIVE E PROSPETTIVE:

→PROIETTIVE: due forme geometriche che si deducono l’una dall’altra mediante un

numero finito di operazioni di proiezione e sezione

→PROSPETTIVE: due forme geometriche che si deducono l’una dall’altra mediante due

sole operazioni (una sezione e una proiezione)

Omologia: prodotto di due prospettività nello spazio (corrispondenza logica tra due cose)

- due figure sono corrispondenti quando derivano una dall’altra, con due operazioni di

proiezione ⍺ ⍺’

- è una doppia prospettività quando e sono sovrapposti

- è completamente nota se si conosce il centro dell’omologia e l’asse dell’omologia

- proprietà;

1. le rette formate dai punti si incontrano nel centro

2. le rette corrispondenti si incontrano nel centro

- TEOREMA DI DESARGUES: due triangoli appartenenti a due piani distinti

- casi particolari di omologie:

1. AFFINITA’: quando il centro è improprio ( se è ortogonale, affinità ortogonale,

altrimenti obliqua)

2. OMOTETIA: quando la retta è impropria e i due piani sono paralleli 8

Omotetia:

crea figure simili e corrispondenti

sono trasformazioni del piano che dilatano o contraggono gli oggetti proiettandoli dal centro

senza modificare la figura e le sue proporzioni

-possono essere:

1. dirette

2. inverse

3. inverse simmetriche

Trasformazioni geometriche

è una corrispondenza biunivoca tra due punti del piano, ha una legge

PROIEZIONI ORTOGONALI (L.3)

→appartengono al gruppo della geometria descrittiva, nelle PROIEZIONI PARALLELE

- la geometria descrittiva è quella parte di geometria che consente di rappresentare

oggetti su un piano attraverso dei sistemi di proiezione

→partendo da Sumeri e Egizi, si iniziò ad affrontare il problema della rappresentazione del

tridimensionale in 2D

- romani, per la progettazione di opere usano il disegno di piante e prospetti

→il principio della proiezione è quello di vedere l’oggetto da un punto di vista/proiezione, da

cui partono dei raggi, detti rette proiettanti che passano per l’oggetto intersecando un piano

su cui si proietta l’immagine dell’oggetto

- forma una rappresentazione piatta

- consentono di rappresentare tutte le caratteristiche di forma e misura necessarie per

costruire un oggetto

- adatte per rappresentare particolari meccanici

le DOPPIE PROIEZIONI ORTOGONALI di Monge

→un oggetto 3D viene perfettamente definito da ALMENO due proiezioni ortogonali, una

non basta:

- PIANTA = prima proiezione = proiezione sul P.O.

- ALZATO = PROSPETTO = seconda proiezione = proiezione sul P.V.

realizzare entrambe sullo stesso foglio si effettua una rotazione di 90°

⇒per

→gli elementi di riferimento sono:

- P.O. e P.V.

- due centri di proiezione posti all’infinito e in direzione perpendicolare ai due piani

+alla pianta e all’alzato viene spesso aggiunta una terza proiezione, posta sul piano P.L.

perpendicolare ai due precedenti.

→elementi fondamentali del sistema delle proiezioni ortogonali:

- i 3 piani

- piano di rotazione

- linea di terra (retta di intersezione tra P.O. e P.V.

- traccia verticale del piano laterale

- le proiezioni in pianta, fronte, lato

- le linee di riferimento (anche sul piano di rotazione 9

→la distanza della proiezione dell’oggetto sul P.V. dalla L.T. corrisponde alla quota (z), la

distanza di quella sul P.O. dalla L.T. è l’aggetto (y)

→ la proiezione ortogonale di una retta genera due rette: una sul P.O. e una su P.V.

- nel caso di una retta perpendicolare ad uno dei piani, la proiezione sul piano a cui è

perpendicolare sarà un punto

- le rette parallele al P.O. sono dette orizzontali, sul P.O. risulta inclinata e sul P.V.

parallela alla L.T.

- le rette parallele al P.V. sono inclinate sul P.V. e parallele alla L.T.

PROIEZIONE DI PIANI:

- piano inclinato ai piani di proiezione: le tracce del piano risultano inclinate rispetto

alla L.T.

- piano parallelo al P.V.: sul P.O. la traccia è parallela alla L.T., sul P.V. non si è

rappresentazione in quanto la traccia corrispondente è all’infinito

- piano parallelo a P.O: la traccia sul P.V. è parallela alla L.T. mentre su P.O. non c’è

rappresentazione perché la sua traccia è all’infinito

- piano al P.O. e inclinato a P.V: traccia sul P.O. inclinata alla L.T., su P.V.

⊥ ⊥

- piano al P.V. e inclinato a P.O: traccia sul P.O. , inclinata sul P.V.

⊥ ⊥

PROPRIETA’ delle PROIEZIONI ORTOGONALI

1. dimensioni di segmenti o figure piane // al piano di proiezione rimangono tali anche

nelle proiezioni

2. spigoli // nell’oggetto = spigoli // nelle proiezioni

3. angoli su piani // al piano di proiezione, rimangono invariati nella proiezione

APPLICAZIONE DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE IN ARCHITETTURA

gli elaborati grafici sono spesso riconducibili al metodo di monge: effettuare tante proiezioni

ortogonali di un oggetto su diversi piani di proiezione ciascuno // a una faccia del solido:

- PIANTA: proiezione ortogonale di una sezione orizzontale eseguita da piani posti ad

un’altezza di 1,2/1,5m rispetto al calpestio

- PROSPETTI: proiezione che utilizza un piano verticale // ad una facciata

- SEZIONI: proiezione che usa un piano verticale che seziona il soggetto

- COPERTURA: proiezione della vista dall’alto 10

ASSONOMETRIE (L.4)

CENNI STORICI

→prima di essere codificata, veniva utilizzata intuitivamente sia nella pittura antica, sia in

quella medioevale

- veniva usata per progetti di costruzioni militari e disegni di rilievo

→Lambert e di Monge nel 1700 intuiscono e fondano una teoria unitaria per la

rappresentazione

→nel 1800 Pohlke e Weisbach fondano i concetti attuali dell’assonometria

→ nel XX viene usata dalle avanguardie del cubismo e costruttivismo per rappresentare

l’architettura

CARATTERISTICHE

→realizza una visione 3D innaturale in cui gli oggetti lontani hanno la stessa dimensione di

quelli vicini a differenza della prospettiva

→le rette parallele nella realtà restano tali anche nel disegno, esaltando la qualità in ambito

progettuale

→mantiene la precisione volumetrica

→rispetta i rapporti dimensionali tra oggetti

ELABORAZIONI ASSONOMETRICHE

- spaccati assonometrici

- esplosi assonometrici

→usata per la rappresentazione 3D in CAD

PROPRIETA’

→possiede il requisito di realizzare una corrispondenza biunivoca tra oggetto e immagine

→il suo principio è quello di proiettare un oggetto 3D da un centro di proiezione all'infinito su

un piano assonometrico

→il suo scopo è quello di costruire sul foglio uno schema apparentemente 3D che rispettino i

rapporti metrici delle figure

→è una proiezione ortogonale a cui viene introdotta una TERNA TRIORTOGONALE di piani

(xy, yx, xz) e di assi in cui è rappresentato l’oggetto

ELEMENTI DI RIFERIMENTO:

- centro di proiezione

- piano assonometrico

- terna di assi x y z: è il sistema di riferimento CARTESIANO tridimensionale, cioè gli

elementi geometrici utili per posizionare un oggetto nello spazio. E’ costituito da tre

rette (assi cartesiani) passanti per un punto, ognuna con un verso di percorrenza.

- unità di misura definite dai segmenti Ux, Uy, Uz

- un piano , detto quadro assonometrico sul quale si forma l’immagine, può essere

π

inclinato rispetto al terna di assi o // ad uno di essi

- direzione di proiezione assonometrica: direzione dei raggi proiettanti

- assi assonometrici ottenuta dalla proiezione degli assi cartesiani

- rapporti di riduzione per riportare le misure sugli assi 11

TIPI DI ASSONOMETRIE

parte della famiglia delle proiezioni parallele, ne esistono 2 tipologie:

- ASSONOMETRIE. ORTOGONALI = gli assi cartesiani sono tra loro, direzione di

⊥

proiezione al quadro

⊥

divise in:

1. isometrica

- assi formano 3 angoli uguali di 120°

- rapporto di riduzione è uguale per tutti gli assi = 0.816, ma vengono

usate le misure reali per convenzione

- piano di proiezione ortogonale alla direzione di proiezione

1. dimetrica

- 2 angoli uguali, uno diverso

- rapporto di riduzione diverso solo per il terzo asse

2. trimetrica

- 3 angoli diversi

- rapporti di riduzione tutti differenti

- ASSONOMETRIE OBLIQUE = assi cartesiani NON sono tra loro; l’inclinazione

⊥

dell’asse y rispetto ad x e z può essere scelta a piacimento (generalmente 135°) e si

riduce l’unità di misura Uy di o.5; il centro di proiezione assonometrico non è

ortogonale al quadro.

divise in:

1. cavaliera dimetrica (frontale)

- assi x e z formano un angolo retto, angolo con y di 135°

- rapporto di riduzione solo sull’asse y = misure dimezzate

2. cavaliera isometrica

3. militare (planimetrica)

- assi x e y formano un angolo retto, gli altri angoli sono si 120° e 150°

- misure reali su tutti gli assi (z a piacimento) → monometrica

- piano // al quadro

- spesso usata per rappresentare l’urbanizzato per la sua facilità di

comprensione e realizzazione nonostante sia innaturale

TRIANGOLO FONDAMENTALE

→è un triangolo che viene individuato dall’intersezione di un piano con gli assi x, y, z

→è anche detto triangolo delle tracce siccome ha per lati le tracce del piano sui piani

assonometrici

→è un qualunque triangolo con i vertici sugli assi assonometrici e ciascun lato ad un asse

⊥

→se si proietta O al quadro, si ottiene O’ che unito con gli angoli del triangolo ricava le

⊥

proiezioni degli assi

→se questo è un triangolo equilatero, si ottiene che gli assi formano tra loro angoli di 120° e

si ha un’assonometria isometrica; c’è un fattore di riduzione di 0.816 rispetto alla grandezza

reale

→se il triangolo è isoscele, si ottengono 2 angoli uguali e uno no, quindi due rapporti uguali

e uno no = assonometria dimetrica

→se il triangolo è scaleno, si ottengono angoli tutti diversi, con rapporti tutti diversi; è quindi

un’assonometria trimetrica 12

PROSPETTIVE (L.5)

→è una proiezione centrale, detta conica, con un punto di vista da punto PROPRIO

→è un modo per rappresentare la percezione reale, dimostrando le cose come appaiono,

però non come sono realmente

→si ottiene proiettando i singoli punti di una figura ad un centro di proiezione posto al finito

sopra un piano detto quadro non passante per il centro di proiezione

Rappresentazione medioevale:

- linee parallele hanno più punti di fuga