Appunti Fisica generale 1

FISICA GENERALE 1 1 m: distanza percorsa dalla luce in un

Δt

tempo

GRANDEZZE FISICHE 1 m=c∗Δt

- Devono essere quantificabili

(campo R ordinato) Dove c è la velocità della luce,

- Utilizzo di strumenti di misura 1

Δt= s

(affidabili e non discutibili) 299792458

- Si ricorre alla metrologia per

definire grandezze fisiche e unità La misura del tempo è definita dagli

di misura orologi atomici

DEF: 1s: è il tempo per avere 9192631770

133

oscillazioni della riga (?) del cs

Una grandezza è la proprietà di un

fenomeno che può essere misurata Le unità di misura si definiscono

quantitativamente. operativamente.

DEF: La massa è una “quantità di materia”.

Un'unità di misura è una quantità È una costante di proporzionalità tra la

prestabilita di una grandezza fisica che forza applicata e l’accelerazione. La

viene utilizzata come riferimento massa dipende dalla costante di Plank:

condiviso per la misura di quella −34

grandezza. [J∗s ]

h=6,626∗10

PROPRIETÀ DEI CAMPIONI DELLE U.M. Da queste grandezze fondamentali si

ottengono quelle derivate:

Invariabiltà (non cambia nel

 [ ]

tempo) m

Δs

= =

V

Riproducibili (semplice,

 m [ ]

Δt s

facilmente accessibile) [ ]

Preciso (misurabile con

 m ∗1

pochissima incertezza) [ ] [ ]

s m

ΔV

= = =

a

Ci deve essere accordo

 [ ]

m [ ]

Δt 2

s s

SISTEMA INTERNAZIONALE sulle [ ][ ]

Kg m

U.M. è il sistema comunemente usato, [ ]

=m∗a = =

F N

x x 2

[ ]

aggiornato periodicamente s

È un sistema decimale

 Km/h m/s

Passaggio da a :

Si basa su MKS(A)

 [ ]

Km

M (metro) – lunghezza

o [ ]

∗1000 m

[ ]

h

K (chilogrammo) – massa

o [ ]

∗1 h

S (secondo) – tempo [ ]

o 1 Km =¿

V

A (ampere) – corrente

o [ ]

3600 s

elettrica [ ]

m

∗10

V

¿

Con queste 3 si possono costruire tutte [ ]

36 s

le grandezze della meccanica

Newtoniana. DEF:

Ogni U.M. ha un “campione”, la Le cifre significative sono le cifre che

metrologia quindi è la scienza della hanno un riscontro reale.

formazione dei campioni. ES: se la lunghezza di un tavolo

l=1,2365

l La cinematica è quel ramo della

ha 5 cifre significative. meccanica newtoniana che si occupa di

Per il prodotto/rapporto si mantiene il descrivere quantitativamente il moto

numero di cifre significative del numero dei corpi, indipendentemente dalle

che ne ha meno. cause del moto stesso.

VETTORI Riduzionismo

3

Considero , lo spazio euclideo

(R)

E Si cerca di individuare tra tutti i

tridimensionale, che è una terna fenomenti che accadono all’oggetto

destrorsa. quelli necessari, si isolano quelli

superflui e si tiene conto di quelli

Ogni vettore è descritto da 3 numeri essenziali, per uno studio semplificato

Reali, le coordinate rispetto all’origine. (approssimazioni).

Il vettore cambia coordinate in base al Se le dimensioni dell’oggetto studiato

sistema di riferimento. La somma tra sono molto piccole rispetto all’area su

vettori si esegue con la regola del qui agisce, allora le dimensioni sono

parallelogramma. trascurabili e lo si associa a un punto

Per rappresentare la direzione di un materiale.

vettore di usano i versori, che sono Variabili per lo studio dei corpi

vettori di modulo 1. Serve un sistema di riferimento

^

Si indicano con i. (cartesiano). La posizione dell’oggetto

(punto materiale) è definita da un

´ P

⃗

r ≡ O P

vettore posizione , dove 0

0

⃗

Se è un vettore con punto di

A è il punto iniziale.

applicazione O e punto finale

⃗ ´ Devo trovare come varia nel tempo il

( ) ⇒

P x , y , z A ≡ OP

a a a vettore posizione.

⃗

Posso esprimere quindi il vettore A t

Se al tempo l’oggetto si trova nel

come combinazione lineare dei versori 1

P

punto allora il vettore posizione

normali: 1 ´

t ⃗

r ≡ O P

nell’istante è .

1

^ 1 1

⃗ ´ ^ ^

∗ + ∗ ∗

A ≡ OP=x i y j+ z k

a a a

^

^ ^

Dove sono i versori normali

i, j , k

X , Y , Z .

sugli assi

⃗ =( )

Se è un vettore allora il

C x , y

modulo:

√

| |

⃗ 2 2

= +

C x y

2 α

In . Se è l’angolo tra C e

(

E R) Se conosco tutti i punti che l’oggetto

l’asse X allora: attraversa in tutti gli istanti ottengo la

y traiettoria dell’oggetto stesso. (formata

=

tan α da tutti i punti)

x La descrizione del moto è contenuta nei

CINEMATICA ⃗ (t)

r

vettori posizione . Dove t è

DEF: l’istante temporale.

DEF:

Lo spostamento è la differenza tra due Riduco l’intervallo di tempo.. sempre di

vettori posizione calcolati in due istanti. più.. facendo tendere a 0 l’intervallo di

t

tempo, facendo quasi coincidere 2

⃗ =⃗ −⃗

Δ s r r

1 0 t

con , quindi la traiettoria dello

1

( )−⃗ ( )

⃗ =⃗ spazio tempo diventa tangente al

Δ s r Δt r 0 grafico della funzione dello spazio

( ) ( )

¿ ⃗ −⃗

r t+ Δt r t tempo.

t Δt

è il “tempo iniziale”, è la Δt →0, t ≈ t

2 1

differenza tra il tempo iniziale e finale. −x

x

Δx 2 1

= = =¿

v lim lim

Definiamo quindi la velocità media x −t

Δt t

Δt →0 Δt → 0 2 1

[ ]

m

⃗

Δ s

¿ ^ >≔

v ( )−x ( )

x t+ Δt t

[ ]

Δt ¿ =¿

s lim Δt

Δt → 0

LEGGE ORARIA: ∈

¿ ∗tan

v α , v R

x x

Equazione che indica il modo in cui ( )

dx t

⃗

d r

variano le coordinate dell’oggetto (x) in = =x́

…= dt dt

funzione del tempo (t). Cioè la derivata della funzione legge

Usando la legge oraria si può costuire il oraria nel punto. (rapporto

grafico spazio-tempo. incrementale)

Sulle ordinate lo spazio x, sulle ascisse α

il tempo t. Dove rappresenta l’angolo tra la

“tangente” al grafico nel punto e l’asse

del tempo t.

La velocità istantanea rappresenta la

rapidità con cui varia la funzione

(velocità) intorno al punto. [..]

Essendo le coordinate ortogonali tra

loro, possono essere studiate

separatamente.

La velocità media nel grafico è dx dy dz

proporzionale a alla tangente = = =

v , v , v

x y z

dt dt dt

dell’angolo α tra il segmento tra i punti

e la parallela al tempo.. 3

Per calcolare la velocità in , se

(R)

E

−x

x

2 1 ^

⇒ ∈ ^ ^

=v∗tan α , v R ( ) ( ) ( )

⃗ =x (t)

r t t i+ y t j+ z k

−t

t 2 1 Calcolo la derivata

VELOCITÀ ISTANTANEA ⃗

d r d ^

^ ^

( )

( ) ( ) ( )

= + +

x t i y t j z t k

dt dt ^

d dx x∗d i

^ ^

( )

( ) = +

x t i i ⏟

dt dt dt

0

⃗

d r dx dy dz 2 2 2 2 ⃗

d x d y d z d r

^

^ ^ ^ ^ ^

= + +

i j k ¿ i+ j+ k=

⏟ ⏟

dt dt dt dt 2 2 2 2

d t dt dt dt

⃗ V

(t )

V x Che è l’accelerazione istantanea.

^

^ ^

⃗ ( )=V +V

V t i j+V k {

x y z ⃗ (

r t)

Si può dimostrare che questo vettore è ⃗

d r ⃗

= (t)

V

tangente al vettore nello spazio nel variabili cinematiche dt

punto considerato. 2 ( )

⃗

d r t =⃗ (t )

a

Rappresento il grafico velocità-tempo 2

dt

come la derivata della funzione spazio-

tempo. Se il grafico della funzione spazio tempo

è una parabola, allora il grafico della

velocià è rappresentato da una retta,

quindi l’accelerazione è costante. (vedi

funzioni convesse e derivate)

Questo moto è detto uniformemente

accelerato. Non tutti i moti sono

uniformemente accelerati. Questo in

particolare è il moto di un oggetto che

cade.

Osserviamo quindi il caso

dell’accelerazione costante.

La variazione della velocità nel tempo si

chiama accelerazione. Quindi il grafico Per “tornare indietro” dall’accelerazione

della ∆Velocità in funzione del tempo allo spostamento, è necessario

rapprersenta il grafico integrare.

dell’accelerazione. MOTO UNIFORMEMENTE

( )−V ( )

+Δt

V t t ACCELERATO

x x

¿ ¿ =

a x Δt

È l’accelerazione media sull’intervallo di

tempo Δt.

Se voglio calcolare l’accelerazione

istantanea nel punto calcolo il limite: Supponiamo

( )−V ( )

V t+ Δt t d V ( )

( )=

⃗

x x x a t a ,0, 0

= =

a lim x

x Δt dt

Δt →0 ( )=a

⇒ a t

Che è la derivata della funzione x x

velocità-tempo quindi la derivata dV x

=

Sapendo che , si può fare

a

seconda della funzione spazio-tempo. x dt

Quindi il vettore accelerazione è l’integrale facilmente.

⃗ d V

d V d ^

^ ^

( ) x

( )=

⃗ = +V +V =¿

a t V i j k ⇒a ∗dt= ∗dt

x y z x

dt dt dt

( ) ( ) ( )

V t V t

d dx dy dz t dV

^

^ ^ ∫ ∫ ∫

¿ + + =¿

i j k x

⇒ =¿

a dt= dt= d V

dt dt dt dt x x

dt

t ( ) ( )

V t V t

0 0 0

1

( )

( )

¿ −V

V t t 2

( )=x

⇒ +V =0

x t t+ a t , se t

x x 0 0 0 x 0

2

t

∫ ( )

( ) = +V

V t a dt t MOTO UNIFORMEMENTE

x x x 0 ACCELERATO (1D)

t 0

a

Se è costante ⇒ ⃗ =(a

⃗ =¿ a , 0,0)

a costante,

x x

( )=V ( ) ( )

⇒ +a −t

V t t t Per ricavare la legge oraria si procede

x x 0 x 0 con integrazioni successive.

Che è il grafico di una retta =¿

a costante

x

( ) ( )

( )−V ⇒

=V

a t−t t t

x 0 x x 0 ( )=V +

V t at

0

( )

( ) −V

V t t

x x 0

⇒a = 1

x t−t 2

( )=x +V

x t t+ a t

0 0 0 2

t

Che è l’accelerazione media tra e Il parametro in questo caso è t, il

t .

0 tempo.

Il passo successivo è passare dalla Si può eliminare il tempo da una delle

velocità allo spostamento, quindi fare equazioni:

una doppia integrazione. ( )−V

V t

Dato che 0

( )=V ⇒

+

V t at t=

0 a

( )

dx t

( )=

V t 1

x 2

dt ( )=x ⇒

+V

x t t+ a t

0 0 2

( )

dxdt

( )

⇒V t dt= dt=dx ( )

2

( )−V ( )−V

∗V

V t V t

1

x 0 0 0

( )=x

⇒ + +

x t a

0 a 2 a

t

∫ [ ]

( ) ( )

+a

V t t−t dt=¿ Svolgo i calcoli…

x 0 x 0

t o 2 2

( )−V

⇒ =2 ( )

V t a x−x

x 0 x 0

( )

x t

∫ ( )

( )−x

¿ =¿

dx=x t t x−x

Allo spostamento corrisponde

0 0

( )

x t 0 2 2

( ) −V

una variazione di valocità .

V t

x 0

t t t x x

Con punto iniziale e finale ,

∫ ∫ ∫

( )

¿ + −

V t dt a t dt a t dt=¿ 0

x 0 x x 0 V

velocità iniziale e velocità finale

t t t 0

0 0 0 V .

x

t

∫

( )( ) ( )

¿ −a −t +

V t t−t t t a t dt Non è detto che un corpo si muova in

x 0 0 x 0 0 x ⏟

0 questo modo!

1 2 2

(t −t )

a x 0

2 a 1

x 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )−x

⇒ =V −a + −

x t t t t−t t t−t t a t

0 x 0 0 x 0 x 0

2 2 >

a 0

Supponiamo .

t x

∫ [ ]

( )

( )=x + +a

x t V t−t dt

0 0 x 0 =cost >0

a

Primo caso:

t x

o ⇒

=cost

a ( )

⇒ =V +at

V t

Se , la velocità cresce

x 0

linearmente

1 lasciamo cadere.. finchè non udiamo il

2

( )=x

⇒ +V

x t t+ a t

0 0 “toc”, ossia quando il sasso tocca il

2 fondo.

(t)

x avrà invece una forma Sapendo quindi che

parabolica, convessa o concava. 1

CADUTA LIBERA 2

( )=h−

y t g t

2

Chiamato anche “moto di caduta dei E che quando udiremo il “toc” il sasso

gravi”. y

dalla posizione iniziale si troverà

Il moto supponiamo sia influenzato solo nella posizione 0, e che conosciamo il

dall’attrazione terrestre. È importante ⇒

Δt

tempo trascorso

sempre avere presente le influenze in 1 1

gioco sul moto (forze). 2 2

⇒ ⇒

0=h− gΔ t h= gΔ t

2 2

In tutto ciò però andrebbe anche

⃗

⃗ =−g

a j considerato il tempo di propagazione

del suono “toc” da quando avviene

m

g=9,81 l’impatto a quando udiamo il suono. Ma

2

s t

dato che questo tempo sarà

s

Δt

decisamente inferiore a possiamo

trascurarlo, come si può osservare:

h

g è un numero che varia in funzione =

t s V

della posizione sulla superficie terrestre s

(sulla terza cifra decimale). m

=330

V h=10 m⇒

Con , e se

s s

g può essere chiamata “costante” se

siamo in condizioni ottimali ⇒ =30

t ms

s

(laboratorio). Che è abbastanza trascurabile.

Cosa più importante, se consideriamo

due corpi differenti (piuma e sasso) MOTO DI PUNTI MATERIALI IN 2

senza considerare gli attriti, gli oggetti DIMENSIONI

cadranno in maniera sincrona (se siamo Identifico un punto P nello spazio e lo

nel vuoto). posso identificare col vettore posizione

g è completamente indipendente ( )

⃗

r t .

dalla forma se siamo nel vuoto. Quindi è Se in un istante successivo l’oggetto

un’accelerazione universale. P

occuperà il punto , avrò un vettore

1

Applicando quindi le formule: ⃗ (t + )

r Δt

posizione .

=−g

a y Il luogo dei punti occupati dal corpo in

movimento in tutti gli istanti si chiama

( )=V + −¿

V t a t=V

y 0 y y 0 y traiettoria.

1 2

( )

⇒ = +

… y t y V t− g t

0 0 y 2

ESEMPIO:

Vogliamo trovare la profondità di un

pozzo h. Quindi prendiamo un sasso e lo ⃗ −⃗

⃗ V V

Δ V

La velocità media per definizione è f i

¿ ⃗ >¿ =

a Δt Δt

Δ⃗

r

¿⃗ >¿

V ⃗

Δt L’accelerazione è parallela a . Se

Δ V Δt

stringiamo gli intervalli di tempo

La velocità istantanea si otterrà al limite otteniamo quindi

considerando intervalli di tempo sempre l’accelerazione istantanea.

più piccoli. ( )

⃗ ΔV ΔV

Δ V

⃗

Δ r ^ ^

x y

⃗ = = =¿

a lim lim i+ j

=

v lim

⃗ Δt Δt Δt

Δt Δt → 0 Δt →0

Δt → 0 d V d V 2 2

( ) ( )=¿

⃗ =⃗ −⃗

Δ r r t+ Δt r t d x d y

^ ^ ^ ^

x y ⇒

¿ i+ j i+ j

2 2

dt dt dt dt

^ ^

( ) ( )

¿ −r −r

r i+ r j

fx ix fy iy Si osserva quindi che il vettore

¿ >¿

V ⃗

a

dell’accelerazione istantanea è

y ^

( )

−r

r j diretto verso la concavità.

fy iy

¿ >¿+

V ⏟

x Δt Per studiare l’accelerazione la si

¿ scompone in 2 componenti secondo 2

^

( )

−r

r i

⃗

Δ r direzioni relative alla traiettoria.

fx ix

⇒ = ⏟

Δt Δt

¿ Δr Δr

⃗

Δ r ^ ^

x y

=

lim lim i+ lim j

Δt Δt Δt

Δt→ 0 Δt → 0 Δt →0

dx dy

⃗ ^ ^

⇒ = +

V i j

dt dt ¿⃗

La velocità media è un vettore

>¿

V

⃗

Δ r

parallelo a .

Per quanto riguarda l’accelerazione: 1

⃗ 2

( )

⃗ =⃗ + + ⃗

r t r V t a t

0 0 2

Scomponiamo la terza equazione lungo

gli assi cartesiani

1 2

( )=x +V

x t t+ a t

0 x0 x

2

1 2

( )= +V

y t y t+ a t

0 y0 y

2

Si osservano 2 direzioni: una tangente Notiamo che queste due sono

alla traiettoria nel punto di applicazione indipendenti. Quindi i due moti possono

⃗

a

di , e un’altra perpendicolare a essere studiati separatamente. Questa

questa. viene chiamata separazione dei

movimenti.

⃗

a

Quindi si scompone nelle due

⃗ ⃗

a a

compinenti: (tangenziale) e Nel moto del proiettile si studia il

t c

(centripeta). movimento che fa un corpo sotto la

forza della gravità.