Appunti Fisica 1 - parte 1

r_C = x_C(t) û_x + R û_y

x_C(t) = Vc · t

r_A = r_C + (A - C)

r_A(t) = Vc · t û_x + R û_y - R seu Θ û_x - R cos Θ û_y

Vc · t = R · Θ(t)

Lunghezza arco blu.

Spazio percorso dalla ruota

r_A(t) = [ Vc · t - R seu ( Vc/R · t ) ] û_x + [ R - R cos ( Vc/R · t ) ] û_y

v_A(t) = [ Vc - R Vc/R cos ( Vc/R · t ) ] û_x + [ R Vc/R seu ( Vc/R · t ) ] û_y =

= Vc ( 1 - cos ( Vc/R t ) ) û_x + Vc seu ( Vc/R t )

A

t = 0

_Vc/_R t = 2π·n dopo un numero intero di giri

⇒_VA (t=0) = V_c · 0 û_x + V_c · 0 û_y = 0

Ho scoperto che si tratta di un moto di rotolamento in cui il punto di contatto ha velocità nulla.

V_c/_R · t = π

t = _Rπ/_Vc

⇒ _VA (t= _Rπ/_Vc) = Vc (1 - (-1)) û_x + V_c · 0 û_y = 2 V_c û_x

Se V_c/_R · t = π/2

t = _{π/2 R}/_Vc

⇉ _VA (t= _{π/2 R}/_Vc) = V_c (1 - 0) û_x + V_c · 1 û_y = V_c û_x + V_c û_y

v_c

ACCELERAZIONE

a_A (t) = V_c · V_c/_R sen ( _Vc/_R t) û_x + V_c · V_c/_R cos( _Vc/_R t) û_y

Reazioni vincolari

Quando studiamo un problema di cinematica in cui la traiettoria del punto materiale non è nota allora occorre usare le coordinate cartesiane e i versori öx, öy, öz.

Quando invece studiamo un problema in cui la traiettoria è nota allora occorre usare le coordinate intrinseche s e i versori ẑ e n̂.

Data una traiettoria nota per un punto materiale e supponiamo che la reazione vincolare della guida su cui il punto materiale si muove sia sempre perpendicolare alla guida stessa → guida ideale

Ipotizziamo che la guida giaccia su un piano orizzontale

→N = N · n̂

Trattandosi di una guida di tipo ottovolante N può assumere qualunque valore

→a = _s(t) ẑ + ^_s2(t)⁄_R n̂

F = m · →a

Il vettore 𝑘 è indicato con il nome di velocità angolare in cui la direzione del vettore indica l'asse di rotazione del sistema di rif. Oʼ.

r(t) = V(t) û_x + ẏ(t) û_y + ẑ(t) û_z

r^o(t) = V^o(t) = x⁰(t) û_x + y⁰(t) û_y + z⁰(t) û_z

x(t) û_x + ẏ(t) û_y + ẑ(t) û_z

+ x(t)∗𝑘∧û_x + yʼ(t) ∗𝑘∧ û_y + zʼ(t)∗𝑘∧û_z

r(t) = r^o(t) + r(t)

V(t) = V^o(t) + V(t) + 𝑘(t) x r(t)

a(t) = a^o(t) +

a(t) = a(t) + 𝑘∧V(t) + 𝑘(t) ∧r(t) r(t) + a(t) = a(t) = a(t) + a^o(t) + 𝑘(t) ∧ r(t) + 𝑘(t) ∧r(t) + 𝑘(t) x r(t)

a(t) = a(t) - a^T(t) - a_C(t)

m a(t) = m a(t)- ma^T(t) - ma_C(t)

F_VERE F_TRASAINATO F_CORIOLIS

W = _F·_v = m_a·_v = m _dv/_dt ·_v = m ½ _d(_v ·_v)/_dt

_d(_v ·_v)/_dt = _dv/_dt ·_v + _{v dv}/_dt = 2 _dv/_dt ·_v

_⃗ω = _̇û_z

_⃗a_o' = 0 o'non si muove

_⃗ᵠ = 0 ⃗

_⃗ω = costante

_⃗F_T = -m(_⃗a_o' + _⃗ᵠ_̇⃗r₁ + _⃗ω _⋂ (_ω⃗⋂r₁))

= -m(_⃗ω _⋂ (_ω⃗⋂r))

Supponendo di conoscere la velocità angolare del girello e poniamo un punto materiale m su di esso ad una distanza R dal centro O ≡ O'.

Quanto vale _⃗F_T agente su questo punto materiale.

(manodestra)

_ω⃗⋂r è un vettore diretto lungo y' con verso positivo e modulo:

WR sen π/2 = WR

_ω⃗⋂r = WR û_y'

_{ω(WR û}y') = -ω WR·sen π/2 û_x' = -_ω²R û_x'

_⃗F_T = m_ω²R û_x' FORZA CENTRIFUGA

Consideriamo la forza peso

F_p = -mg ȗ_y

L_AB = ∫_yA^y_B -mg ȗ_y ⋅ d ȗ_y = ∫_yA^y_B -mg = [-mg ]_yA^y_B =

= -mg _B + mg _A = mg ⋅ g ⋅ _A - mg _B = U(⃗_A) - U(⃗_B)

U(⃗) = mg ⋅

Il valore dell' eu. potenziale dipende dalla scelta del s.d.r.

F_P = -mg ȗ_y

T(A) + U(A) = T(B) + U(A)

0 + mg = 1/2 mv_f² + 0

v_f = √2g

Esercizio (Macchina di Atwood)

Con quale accelerazione si muovono le masse?

In questo caso T₁ e T₂ sono uguali perché filo e carrucola non hanno massa.

m₁ ⋅ g - T = m₁ ⋅ ẍ₁

y₁ = costante - y₂

Δy₁ = -Δy₂ ⟹ ẍ₁ = -ẍ₂

Se y₁ va in basso y₂ va in alto della stessa quantità

Le derivate mantengono lo stesso comportamento

m₂ ⋅ g - T = m₂ ⋅ ẍ₂

Sottraggo membro a membro

• m₂g / - m₁g + / - m₂ẍ₂ - M₁̇ẍ₁
• m₂g - m₁g = ẍ̇(m₂ - m₁)
• m₁g - m₂g = ẍ̇(m₁ + m₂)

ẍ̇ = ^{(m₁ - m₂)} / _{m1 + m2} ⋅ g

F_peso → EsternaF_elastica → Interna

I° CARDINALE CORPI ESTESI

r_CM = ∑_i m_ir_i / M_TOT

M_TOT · r_CM = ∑_i m_i r_i(t)

M_TOT v_CM = ∑_i m_i v_i(t) derivato rispetto al tempo

M_TOT a_CM = ∑_i m_i a_i(t) = ∑_i F_i = ∑_i F_int + ∑_i F_ext = 0

Le F_int si semplificano a due a due.

M_TOT a_CM = ∑_i F_i^ext I° CARDINALE

Se ∑_i F_i^ext = 0 → M_TOT a_CM = 0

→ Q̇ = M_TOT v_CM = costante

Q̇ quantità di moto totale del sistema

q̇_i = m_i · v_iquantità di moto di un punto materiale