Appunti Fisica 1

CINEMATICA

Lo spostamento è il cambiamento di posizione rispetto al tempo. Ho bisogno di vettori per sapere dove si spostano gli oggetti, si deve quindi scoprire modulo, direzione, verso.

Sono lo STESSO vettore

2 segmenti orientati sono equipollenti sono se hanno le tre caratteristiche uguali.

\(\vec{v}\) → vettore

\(|\vec{v}|\) → modulo del vettore è un numero reale affiancato da unità di misura >0

• \(V\)
• \(\lambda \in \mathbb{R}\)
• \(\vec{v} \in V\)

• \(\mathbb{R} \times V \to V\)
• \(\vec{v}\)
• \(\lambda\vec{v}\)

|λ\(\vec{v}\)| = |λ||\(\vec{v}\)|

Somma di Vettori

a b s = a + b

regola del parallelogramma

Le proprietà sono:

• b + a = a + b commutativa
• associativa

a b a + (-b)

elemento neutro è un vettore di modulo zero o

a + o = o + a = a

Prodotto scalare

V × V → ℝ associare un numero reale

a b → a·b = |a| |b| cos φ

Le proprietà sono:

• |a||b| ≤ a·b ≤ |a||b|
• [a, a] = |a|² simmetrica
• (cos2 cos(π−φ)=cosφ)

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = 0

i ∙ j = j ∙ k = k ∙ i = 1

conseguenza del fatto che sono ortogonali

a⃗ ∙ b⃗ = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z

a⃗ ∙ a⃗ = |a⃗| ∙ |a⃗| ∙ 1 = a²

P. SCALARE =

a⃗ ∙ a⃗ = aₓ² + a_y² + a_z² = > |a⃗| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

Correzione

a⃗ ∧ b⃗

(PRODOTTO VETTORIALE)

i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0

i ∧ j = -j ∧ i = k

j ∧ k = -k ∧ j = i

k ∧ i = -i ∧ k = j

a⃗ ∧ b⃗ = (aₓi + a_yy + a_zk) ∧ (bₓi -j_y + b_zk) =

=0 - a_x b_y (k∧j) + a_y b_y (j∧j) + a_z b_y (k∧j) - a_x b_y (i∧k) + a_y b_y (j∧k) + a_z b_y (i∧i) + a_x b_z (i∧k) + a_y b_z (j∧k) + a_z b_z (k∧k)

=Ca_yb_z - a_zb_y Di + Ca_zb

CINEMATICA

Il movimento è il cambiamento di posizione al variare del tempo e per poterlo cogliere un punto di riferimento

OP⃗ = r⃗(t) vettore posizione

tali: i, j, k

r⃗(t) = x(t)i₁ + y(t)j₁ + z(t)k

e ci associo 3 assi cartesiani orienti la cui origine punto di riferimento

La traiettoria è l’insieme dei punti in cui l’oggetto può trovarsi durante il moto

s(t) -> PC(t) lunghezza dell’arco di curva

s = ascissa curvilinea

s(t) = legge oraria e la funzione che associa ad ogni istante

istante t una posizione

traiettoria = legge oraria -> r⃗(t) DESCRIZIONE INTRINSECA

Per descrivere la traiettoria ci vuole una funzione che metta in relazione r⃗(s) e SC(s)

r⃗(s(t))

_d t

_ds = lim

Δs→0

[t(s+Δs) - t(s)] / Δs

La derivata di un vettore è perpendicolare al vettore di partenza

_dt 1

_ds^⊥ t

E inoltre diretta sempre verso la concavità della curva

dt

_ds ci sono solo informazioni geometriche

[_dt]^-1

[_ds]

t n

_pc

n

_n

_ds^⊥

⊥

È POSITIVO PER CONVENZIONE

Moto uniforme

La sua velocità scalare non cambia mai

s(t) = v_s ∀ t

s(t) = s(t_o) + ∫_to^t v_s dt' = s(t_o) + v_s∫_to^t dt'

= s(t_o) + v_s C(t,t_o)

Moto uniformemente vario

a_s(t) = a_so ∀ t

v_s(t) = v_s(t_o) + ∫_to^t a_s dt' = v_so + a_so (t - t_o)

v_s(t) = v_so + a_so (t - t_o)

Applico la (1)

s(t) = s_o + ∫_to^t dt' [ v_so + a_so (t - t_o) ] = s_o + ∫_to^t dt' v_so + ∫_to^t a_s (t - t_o) dt'

s(t) = s_o + v_so(t-t_o) + a_so∫_to^t(t-t_o) dt'

= s_o + v_so(t-t_o) + 1/2 a_so (t-t_o)²

= s(t_o) + v_so (t-t_o) + 1/2 a_so (t-t_o)²

Se t_o = 0 ⇒

v_s(t) = v_so + a_s t

s(t) = s_o + v_so t + 1/2 a_so t²

Il piano è definito da j₁ e v_o.

Si fa un sistema di assi cartesiani, uno dei quali parallelo all'accelerazione.

Si fa un esempio reale:

a₂ = -g k

(distanze piccole)

k₁ = j/g → g = -g k   g = 9,8 m/s²

v_o2 = v_ox i + v_oz k

_r2 = _ro + _vo t + ½ _ao t²

_r2 = (C_xo + v_ox t) i + y_o j + (C_zo + ½ j t² + v_oz t) k

v_¯2 = v_o2 + a₂ t

_r¯₂ = v_ox x + (v_oz - g t) k

• x = x_o + v_ox t
• y = y_o
• z = z_o + v_oz t - ½ g k t²

• v_x = v_oz
• v_y = 0
• v_z = v_oz j t

a_¯2 = a_o = -g k

v_¯² = v_oz² x + v_{¯o2 k}

Si pone l'origine nel punto di partenza → x_o = y_o = z_o = 0

• x = v_px t
• y = 0
• z = v_oz t - ½ g t²

Vogliamo trovare l'equazione della traiettoria, una relazione tra x e z.

Moto Circolare

s(t) = ϕ

Si considera la semiretta che passa per O, il raggio OC e l'angolo Θ.

Θ(t) = ^s(t)/_R     x definizione

s(t) = R Θ(t)

ṡ(t) = R Θ̇(t)

Θ̇(t) = ^dΘ/_dt = ω(t) è la derivata di un angolo rispetto al tempo. E' la velocità angolare. È scalare.

s(t) = RΘ(t) = Rω(t)

n² = ṡ² + ^ṡ²/_R = m - a_t + a_n

ṡ = ωR

Θ̇R ∨R → ṡ = ωR = Θ̇R

Θ = ω = ϕ