Appunti fisica 1

Moto Uniformemente Accelerato

Il moto uniformemente accelerato è un moto in cui l'accelerazione è costante in funzione del tempo.

• a(t) = dv(t)/dt → Accelerazione Istantanea

• dv(t) = a(t) dt
• ∫^v _v₀ dv(t) = ∫^t _t₀ a(t′) dt′ → Dove t′ è una variabile ausiliaria per distinguere dall'estremo di integrazione, t.
• v(t) − v₀ = ∫^t _t₀ a(t′) dt′ → Dove v₀ = v(t₀)

Fissando l'accelerazione costante, poiché ci troviamo nel moto uniformemente accelerato:

• a(t) = cost
• v(t) = v₀ + ∫^t _t₀ a dt = v₀ + a (t − t₀)

• v(t) = v₀ + a (t − t₀) → Velocità istantanea nel moto uniformemente accelerato (valida per l'accelerazione positiva e/o negativa)

Mi voglio calcolare la legge oraria nel moto uniformemente accelerato:

• v(t) = v₀ + a (t − t₀)
• x(t) = ∫ dx = v(t)
• dx = v(t) dt → ∫^x _x₀ dx = ∫^t _t₀ v(t) dt′
• x(t) − x₀ = ∫^t _t₀ [v₀ + a (t − t₀)] dt′

• x(t) = x₀ + v₀ (t − t₀) + a/2 (t − t₀)² → Legge oraria per il moto uniformemente accelerato/decelerato

Dove

• t₀ È l'istante iniziale in cui si verifica il moto.
• v₀ = v(t₀)
• x₀ = x(t₀)

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

IL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO È UN MOTO IN CUI L'ACCELERAZIONE È COSTANTE IN FUNZIONE DEL TEMPO.

⇒ a(t) = \(\frac{dv(t)}{dt}\) ⇒ ACCELERAZIONE ISTANTANEA

⇒ dv(t) = a(t) dt

⇒ \(\int_{v_0}^{v}\) dv(t) = \(\int_{t_0}^{t}\) a(t') dt' ⇒ _{DOVE t' È UNA VARIABILE AUSILIARIA PER DISTINGUERLA DALL'ESTREMO DI INTEGRAZIONE t.}

⇒ v(t) - v₀ = \(\int_{t_0}^{t}\) a(t') dt' ⇒ DOVE v₀ = v(t₀)

FISSANDO L'ACCELERAZIONE COSTANTE, POICHÉ CI TROVIAMO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO:

⇒ a(t) = cost

⇒ v(t) = v₀ + a \(\int_{t_0}^{t}\) dt = v₀ + a (t - t₀)

⇒ v(t) = v₀ + a (t - t₀) ⇒ _{VELOCITA ISTANTANEA NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO (VALUTA PER L'ACCELERAZIONE POSITIVA E/O NEGATIVA).}

MI VOGLIO RICAVARE LA LEGGE ORARIA NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

⇒ v(t) = v₀ + a (t - t₀)

x(t) = \(\frac{dx}{dt}\) = v(t)

⇒ dx = v(t) dt ⇒ \(\int_{x_0}^{x}\) dx = \(\int_{t_0}^{t}\) {v₀ + a(t-t₀)} dt

x(t) - x₀ = \(\int_{t_0}^{t}\) [v₀ + a (t - t₀)] dt'

⇒ x(t) = x₀ + v₀(t-t₀) + \(\frac{a}{2}\)(t - t₀)²

DOVE

• t₀ È L'ISTANTE INIZIALE IN CUI SI VERIFICA IL MOTO.
• v₀ = v(t₀)
• x₀ = x(t₀)

Moto Armonico Monodimensionale

Il moto armonico è caratterizzato da un'accelerazione che vale a zero e ne è costante l'esempio.

La velocità di un punto che si muove di moto rettilineo è espressa dalla relazione:

v(t) = αt² + v₀ dove α = 2 m/s³, v₀ = 5 m/s

Calcolare la velocità media e l'accelerazione media nell'intervallo di tempo (t₁ + t₂) (delimitato)

Dove t₁ = 2 s e t₂ = 5 s

Svolgimento

1. Espressione della velocità v(t) = αt² + v₀
2. Calcolo l'espressione dell'accelerazione a(t) = dv(t)/dt = 2αt
3. Calcolo il valore medio sapendo che: g(t) => g̅ = (1/(t₂ - t₁)) ∫[t₁, t₂] g(t)dt

Applico questa definizione per la velocità media ed accelerazione media.

4. Calcolo velocità media v