Appunti fisica 1

Moto Uniformemente Accelerato

Il moto uniformemente accelerato è un moto in cui l'accelerazione è costante in funzione del tempo.

• a(t) = dv(t)/dt → Accelerazione istantanea
• dv(t) = a(t)dt
• v(t) = v₀ + ∫_t0^t a(t')dt' → dove t' è una variabile ausiliaria per distinguere dall'estremo di integrazione t.
• v(t) - v₀ = ∫_t0^t a(t')dt' → dove v₀ = v(t₀)

Fissando l'accelerazione costante, poiché ci troviamo nel moto uniformemente accelerato.

• a(t) = cost
• v(t) = v₀ + a ∫_t0^t dt = v₀ + a (t - t₀)

v(t) = v₀ + a (t - t₀) → Velocità istantanea nel moto uniformemente accelerato (valida per l'accelerazione positiva e/o negativa)

Mi voglio ricavare la legge oraria nel moto uniformemente accelerato

• v(t) = v₀ + a (t - t₀)
• x(t) = dx/dt = v(t)
• dx = v(t)dt → ∫_x0^x dx = ∫_t0^t v(t')dt'
• x(t) - x₀ = ∫_t0^t [v₀ + a (t' - t₀)]dt'
• x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀) + a/2 (t - t₀)²

Dove

• t₀ = istante iniziale in cui si verifica il moto
• v₀ = v(t₀)
• x₀ = x(t₀)

Moto Armonico Monodimensionale

Il moto armonico è caratterizzato da un'accelerazione né nulla né costante.

Esempio:

La velocità di un punto che si muove di moto rettilineo è espressa dalla relazione:

v(t)=αt² + v₀ dove α = 2 m/s³, v₀ = 5 m/s

Calcolare la velocità media e l'accelerazione media nell'intervallo di tempo [t₁, t₂] (definito)

• dove t₁ = 2 s, t₂ = 5 s

1. Calcolo espressione della velocità

v(t) = αt² + v₀

2. Calcolo l'espressione dell'accelerazione

a(t) = d(v(t))/dt = 2αt

3. Calcolo il valore medio sapendo che:

g(t) = 1/(t₂ - t₁)∫_t1^t₂g(t)dt

Applico questa definizione per la velocità media ed accelerazione media.

4. Calcolo velocità media

v̄ = 1/(t₂ - t₁) ∫_t1^t₂[αt² + v₀] dt =

= 1/(t₂ - t₁) αt³/3 |_t1^t₂ + v₀(t₂ - t₁) =

= α/3(t₂³ - t₁³) + v₀ → espressione analitica della velocità media

→ 2/3(5³ - 2³) + 5 = 34 m/s

→ velocità media in [t₁, t₂]

Moto armonico: accelerazione (non) costante

1. Legge oraria in funzione del tempo

x(t) = A sen(ωt + ψ) = Δ armon(2πft + ψ)

2. Velocità in funzione del tempo

v(t) = dx(t)/dt = Aω cos(ωt + ψ)

3. Accelerazione in funzione del tempo

a(t) = dv(t)/dt = -Aω² sen(ωt + ψ)

a = -ω²x(t)

d²x/dt² = -ω²x(t) = 0

Equazione differenziale del secondo ordine dell'oscillatore armonico

dove x(t) = A sen(ωt + ψ)

4. Condizioni iniziali del moto armonico

x(t) = A sen(ωt + ψ)

x₀ = x(t=0) = A sen ψ

v(t) = Aω cos(ωt + ψ)

v₀ = v(t=0) = Aω cos ψ

Calcolo parametri del moto armonico

Considerando queste relazioni, possiamo ricavare anche i valori di A e ψ negli istanti iniziali del moto armonico

x₀ = A sen ψ ⟹ sen ψ = x₀/A

v₀ = Aω cos ψ ⟹ cos ψ = v₀/Aω

tan ψ = x₀/v₀

ψ = arctan(x₀ω/v₀)

Sapendo che

sen²ψ + cos²ψ = 1

(x₀/A)² + (v₀/Aω)² = 1

A = √(x₀² + (v₀/ω)²)

9) DETERMINO IL VALORE DI V_TH E CI ASSERIAMO CHE SIA MAGGIORE V₀

v(t) = 2πgAcos(2πt + φ)

V_TH = 2πgA = 1.73; 0.113 = 2.13 m/s

=> v₀ È INCLUSO NELL'INTERVALLO (-V_TH, V_TH), QUINDI V_TH = 2.13 m/s

È CONDATTIBILE?

t = 0

v_TH 0 V_TH 0 V_TH 0

A QUALE ISTANTE DI TEMPO LA VELOCITÀ ASSUME IL SUO VALORE MASSIMO PER LA PRIMA VOLTA?

t = t_TH

v(t) = V_THcos(2πft + φ)

=> ESSO v(t) SARA UGUALE A V_TH QUANDO IL VALORE DEL COSENO SARA' PARI A 1 E QUINDI L'ARGOMENTO È 0, 2π ecc

=> SE L'ARGOMENTO: 2πft + φ/2 = 2mπ

V_TH: => cos() = 1

2πft + φ = (2m+1)π

=> cos(τ) = 1

VO ESSERE CHE LA VELOCITÀ MASSIMA (IN MODULO) SIA MAGGIUNTA PER LA PRIMA VOLTA DALL'INTERVALLO NULLO

DATE LE CONDIZIONI INIZIALI ANALIZZIAMO SE VIENE RAGGIUNTO DALLA IL VALORE O_M OPPURE -A_M

11) GRAFICO X E V IN FUNZIONE DEL TEMPO

GRAFICO DELLE X

K₁₀(x) A

Δ

Q12

t(c)

A_A

GRAFICO DELLA VELOCITÀ

A un x ISTANTE VELOCITÀ NULLA

v(t) C_b(e)

-V_TH

=> LA VELOCITÀ ASSUME PRIMA IL VALORE MINIMO E POI IL VALORE MASSIMO. QUINDI IL PUNTO ASSUMERA' PER LA PRIMA VOLTA IL SUO VALORE MASSIMO IN T_TH

IL VERSO DEL VETTORE ζ SI STABILISCE

SEGUENDO IL VERSO ANTIORARIO:

PER FARLO DISEGNAMO IN "ORDINE":

PRIMA e POI B IN MODO TALE DA INDIVIDUARE

IL VERSO DEL VETTORE ζ

IN QUESTO CASO IL VERSO DI ζ È IL VERSO IN

BASSO.

I VETTORI SONO RAPPRESENTATI.... DA GRAFICI, DIO CHE REPRESENTANO

GRANDEZZE.... ESSI POSSONO ESSERE RAPPRESENTATI ATTRAVERSO GRAFICI, INSOMMA, E NON...

ζ

È UNA TERMINE LENTO LUMA, PERCHÉ IL

VETTORE X DEVE MUOVERE VERSO

SINISTRA, (VERSO ANTILOOMMAD)

PER NACCINUNCERE Y

AX

VOLIAMO REPRESENTARE IL VETTORE

ΔĮ MA THE ASSI, QUINDI POSSIMO

VEDERE CHE OTTENIAN UNA COMPONENETE

AX, AY & ΟΖ (AVIDEZION DIAI JUCIALISI)

ΔẐ = AX + Ạẏ + ΟΖ =

• AX Ẑ + AY Ṿ + ΟΖ Ẁ

DOVE ΑẌ = ΔẐ . İ

AY = ΔẐ . Ṿ

OZ = ΔẐ . Ẁ

ΔẐ = (OZ . A)Ẑ + (ΔẐ . Ṿ)Ṿ + (ΟΖ . ẏ)Ẁ

I VETTORI POSSONO ESSERE SOTTO BOANA DI CATTESIANE

Ẑ + ẞ = (AX Ẑ + AY Ṿ + ΟΖ Ẁ) + (BX Ṿ + BY Ẑ + Bẇ)=

SOMMARE DUE VETTORI SIGNIFICA SOMMARE DUE COMPONENI

CATTESIANE

x₀=Δxsen(ψ) → x₀ = x₀ → ψ=arsen(x₀/A)

ψ=arsen^(x₀/A)-arscos^{(0,0274/0,07)}=0,40rad (~23°)

calcolo v(t=0)=v(0)=0.1m/s

0,1 = uAcospψ = 1,55*0,07cos(0,40)=0,10m/s

Es.3 pag 169 nuovo antolini

Un punto materiale si muove lungo l’asse x con una legge oraria x(t)=t⁵-15t²+4.

• Determinare in quali istanti si annullano la velocità e l’accelerazione
• x(4)=t⁵-15t²+4
• Per qual t v(t)=0?
• Per qual t a(t)=0?

Svolgimento

1. Legge oraria x(t)=t⁵-15t²+4
2. Calcolo l’equazione della velocità
3. v(t)=^dx/_dt = 5t⁴-30t
4. Per quali attimi la v(t) si annulla? Trovo gli zeri di v(t)
5. 5t⁴-30t = 0 → t=0
6. → t(5t³-30)=0 → t³-30=0 → t³/3 = 36/6
7. → t³=30 → t=3
8. =0 -1,8_δ
9. La velocità si annulla per t=0.1 e t=1.82
10. Calcolo l’equazione dell’accelerazione a(t)=^dv/_dt = 20t³-30
11. Trovo gli zeri dell’accelerazione a(t³2/2)
12. →<sup>d₃(t)90=0_t3/6

2

13. L’accelerazione si annulla all’istante t=-1.41m/s