Appunti equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

y' = f(t)g(y)

f(t) sia definita su un intervallo I ⊆ ℝ

g(y) 〃 〃 〃 〃 J ⊆ ℝ

Soluzioni costanti

Prop. φ(t) = K ∀ t ∈ I è sol. dell'eq. diff. ⟺ g(K) = 0

y = K punto di equilibrio o stazionario per l'eq. diff.

Teorema di Peano (esistenza locale delle soluzioni)

f continua in un intervallo I che contiene t₀

g continua in un intervallo J che contiene y₀

⇒ ∃ un intervallo aperto I₀ ⊂ I, ∃ I₀ ≠ ∅ I₀ ⊂ R derivabili

φ'(t) = f(t)g(φ(t))

φ(t₀) = y₀ soddisfa la condizione

{ y' = ³√y

y(0) = 0

questo problema di Cauchy ha infinite soluzioni

f(t) = 1

g(y) = ³√y è continuo in y = 0

Oss

φ'(t) Ñ f(t) Ñ g(φ(t)) Ñ ⇒ φ(t) è continua su I₀

cont. per ip. cont. su I

⇒ φ ∈ C¹(I₀)

Equazioni Differenziali

y' = f(t) g(y)

f(t) sia definita su un intervallo I ⊂ ℝ

g(y) " " " " J ⊂ ℝ

Soluzioni costanti

Prop. φ(t) = K ∀ t ∈ I è sol. dell'eq. diff. ⟺ g(K)=0

y = K punto di equilibrio o stazionario per l'eq. diff.

Teorema di Peano (esistenza locale delle soluzioni)

{ y' = f(t) g(y)

φ(t₀) = y₀

f continua in un intervallo I che contiene t₀

g continua in un intervallo J che contiene y₀

⇒ ∃ un intervallo aperto I₀ ⊂ I, ∃ J₀ ⊂ J, ∃ φ : I₀ → ℝ derivabile e t.c.

{ φ'(t) = f(t) g(φ(t))

φ(t₀) = y₀

⇐ soluzione dell'eq

⇐ soddisfa la condizione

{ y' = ³√y

y(0) = 0

f(t) = 1

g(y) = ³√y è continua in y = 0

Oss

φ'(t) , f(t) , g(φ(t))

cont. per i.p.

Cont. su I.

⇒ φ(t) è continua su I₀

⇒ φ ∈ C¹(I₀)

Definizione

f: I ⊆ ℝ → ℝ è lipschitziane, con costante di Lipschitz h > 0 se

• ∃ h > 0 t.c. ∀ x₁, x₂ ∈ I: |f(x₁) - f(x₂)| ≤ h |x₁ - x₂|
• se x₁ ≠ x₂
  • |(f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁)| ≤ h

f(x) = √x non è lipschitziane in un intorno di 0 perché

lim_x→x0 (f(x) - f(0))/x → +∞

∀ h, ∃ B(0) - x ∈ B(0) → (f(x) - f(0))/x → +∞

1. f è lipschitziane in I → f è continue su I
2. f è di classe C¹ in I → f è lipschitziane su I

Teorema di Cauchy/Picard-Lindelof

Esistenza e unicità locale della soluzione

1. y^' = f(t) g(y)
2. y(t₀) = y₀

f continua in I₁ ⊆ I₁ &; f ∈ ℝ cont t.

g lipschitziane in I₂ ⊆ ℝ cont t.

• → ∃ I₀ ⊆ I₁ → ∃ φ ∈ C¹ su I₀
  • (φ^'(t₀), y₀) =
• ψ: I₀ → ℝ

E ∃ ∃ l'unica soluzione del prob. di Cauchy su I₀

Sol globali = sol. definite su I₀,

Teorema dell'intervallo massimale

y': f(t) g(y)y(t₀) = y₀

f continuo su Ig lipschitziano su J

=> ∃ un intervallo massimale di definizione della soluzione φ(t) del prob. di Cauchy. Intervallo (α, β) è tale che:

Per t → β^-, φ(t) si avvicina alla frontiera di I × J

ossia:β = sup I

φ(t) si avvicina a d oppure a c, se c, d sono gli estremi di I × J

Metodo risolutivo per le equazioni a variabili separabili

y' = f(t) g(y)

f continuo su Ig continuo su J

y₀ ∊ J t₀ ∈ I

Teorema di Peano => esiste la soluzione

1. Se g(y₀) = 0 => φ(t) = y₀ è soluzione dell'eq. diff. ∀t ∈ I
2. g(y₀) ≠ 0 => per il teorema del segno ∃B(y₀ - ε) t.c.
   • g(y) ≠ 0 ∀ y ∈ B(y₀) e g(y) ha segno costante
   • e sgn g(y₀) = sgn g(y(t₀)) ∀ y ∈ B(y₀)

y'(t) = f(t) g(y(t))poiché g(y(t)) ≠ 0 divido per g(y(t))

1/g(y(t)) . y'(t) = f(t)

∀ t + c. y(t) ∈ B(y₀)

∫1/g(y(t)) . y'(t) dt = ∫f(t) dt

ϕ è continue su I ⇒ ∃ F(t) prim di f su I

∫_t0^t g(ϕ(t)) y'(t) dt

sostituisco y = y(t)

⇒ ∫_y0^y 1/g(ϕ) dy

1/g(ϕ) è continue su B(y₀) ⇒ ∫_y0^y 1/g(y) dy = G(y) + c

se G invertibile,

y₀