Appunti di equazioni differenziali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Un'equazione differenziale è un'equazione la cui incognita è una funzione e in cui compaiono le derivate della funzione incognita.

EQUAZIONE DIFFERENZIALE ORDINARIA

Un'equazione differenziale ordinaria (EDO), è un'equazione differenziale la cui incognita è una funzione di una sola variabile. In generale una EDO è scritta nella forma:

f(x, y, y^', ... y⁽ⁿ⁾) = 0

Essendo f una funzione a valori reali definita in un sottoinsieme di R_n+2 e x la variabile della funzione incognita y,

Una EDO si dice:

• di ordine n se n è l'ordine massimo dell'incognita che compare nell'equazione.
• lineare se f è lineare in rispetto a y, y^', ..., y⁽ⁿ⁾.
• autonoma se f non dipende da x.
• omogenea se f è omogenea rispetto a y, y^', ..., y⁽ⁿ⁾.
• in forma normale se la derivata di ordine massimo è esplicitata in funzione delle altre, in una forma del tipo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y^', ... y^(n-1))

Essendo f una funzione a valori reali definita

Equazioni Differenziali

Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione e in cui compaiono le derivate della funzione incognita.

Equazione Differenziale Ordinaria:

Un'equazione differenziale ordinaria (EDO), è un'equazione differenziale la cui incognita è una funzione di una sola variabile. In generale una EDO è scritta nella forma:

f(x, y, y'_..., y⁽ⁿ⁾) = 0

Essendo f una funzione a valori reali definita in un sottoinsieme di Rⁿ⁺² e x la variabile della funzione incognita y.

Una EDO si dice:

• Di ordine n se n è l'ordine massimo della derivata della funzione incognita che compare nell'equazione.
• Lineare se f è lineare rispetto a y, y'_..., y⁽ⁿ⁾.
• Autonoma se f non dipende da x.
• Omogenea se f è omogenea rispetto a y, y'_..., y⁽ⁿ⁾.
• In forma normale se la derivata di ordine massimo è esplicitata in funzione delle altre, in una forma del tipo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y'_..., y^(n-1))

Essendo f una funzione a valori reali definita in un sottoinsieme di Rⁿ⁺¹

Soluzione di una EDO

Sia _{y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y',..,y^(n-1))} una EDO in forma normale, con f a funzione a valori reali definito e continuo in _{A ⊂ Rⁿ⁺¹}, una funzione y : I -> R definita in un intervallo I ⊂ R non banale e di classe Cⁿ in I, è una soluzione dell'EDO se, per ogni _{x ∈ I}, si ha:

(x,y(x),y'(x),..,y^(n-1)(x)) ∈ A, y⁽ⁿ⁾(x) = f(x,y(x),y'(x),..,y^(n-1)(x))

y : I -> R si dice soluzione massimale della EDO se non è una restrizione di altre soluzioni.

Teorema:

Ogni soluzione non-massimale è la restrizione di una massimale.

y : I -> R si dice soluzione massimale a destra (sinistra) se non è una restrizione di una soluzione definito in un intervallo più ampio a destra (sinistra).

Teorema di Kamke:

Sia f : A -> R continua su A⊂Rⁿ⁺¹ aperto.Il grafico di una soluzione massimale a destra (sinistra) della EDO _{y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y',..,y^(n-1))}non può essere contenuto in un sottinsieme chiuso e limitato di A.

Problema di Cauchy

Sia f : A -> R continua in A ⊂ Rⁿ⁺¹ aperto, sia _{y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y',..,y^(n-1))} una EDO in forma normale e sia _{P0 = (x0,y0,y1,..,yn-1) ∈ A}, il problema di Cauchy consiste nella ricerca delle soluzioni della EDO che verificano le n condizioni:

y(x₀) = y₀, y'(x₁) = y₁, .., y^(n-1)(x₁) = y_n-1

dette condizioni iniziali.

L'insieme delle soluzioni di una EDO si chiama soluzione generale o integrale generale.

TEOREMA DI ESISTENZA DI PEANO

Sia f: A ➝ ℝ continuo su un A ⊆ ℝⁿ aperto, allora per ogni (x₀, y₀, y₁, ..., y_n-1) ∈ A, l'eq. la edo

y⁽ⁿ⁾ = f (x,y,y',...y^(n-1))

ammette almeno una soluzione che verifica le condizioni iniziali:

y(x₀)=y₀ , y'(x₀)=y₁ , ... y^(n-1)(x₀) = y_n-1

TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ

Sia f: A ➝ ℝ continuo in Δ ⊆ ℝⁿ aperto e derivabile rispetto a y,y',... y^(n-1) con continuità , allora per ogni (x₀, y₀, y₁, ..., y_n-1) ∈ A l’eq. edo y⁽ⁿ⁾=f (x,y,y'...y^(n-1))

ammette una e una sola soluzione massimale che verifica lo condizioni ini