Appunti di equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Un’equazione differenziale è un’equazione in cui incognita è una funzione e in cui compaiono le derivate della funzione incognita.

Equazione Differenziale Ordinaria:

Un’equazione differenziale ordinaria (EDO), è un’equazione differenziale la cui incognita è una funzione di una sola variabile. In generale una EDO è scritta nella forma:

f(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

Essendo f una funzione a valori reali definita in un sottoinsieme di Rⁿ⁺² e x la variabile della funzione incognita y.

Una EDO si dice:

• di ordine n se n è l’ordine massimo dell’incognito della funzione incognita che compare nell’equazione.
• lineare se f è lineare in rispetto a y, y', ..., y⁽ⁿ⁾
• autonoma se f non dipende da x
• omogenea se f è omogenea rispetto a y, y', ..., y⁽ⁿ⁾
• in forma normale se la derivata di ordine massimo è esplicitata in funzione delle altre, in una forma del tipo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', ..., y^(n-1))

Soluzione di una EDO

Sia \( y^{(n)} = f(x, y, y', y^{(n-1)}) \) una EDO in forma normale, con \( f \) funzione a valori reali definita e continua in \( A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \).

Una funzione \( y: I \to \mathbb{R} \) definita in un intervallo \( I \subseteq \mathbb{R} \) non banale e di classe \( C^n \) in \( I \), è una soluzione della EDO se, per ogni \( x \in I \), si ha:

\( (x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(n-1)}(x)) \in A, \)

\( y^{(n)}(x) = f(x, y(x), y'(x), \ldots, y^{(n-1)}(x)) \).

y: I -> R si dice soluzione massimale della EDO se non è una restrizione di altre soluzioni.

Teorema:

Ogni soluzione non-massimale è la restrizione di una massimale.

y: I -> R si dice soluzione massimale a destra (sinistra) se non è una restrizione di una funzione soluzione definita in un intervallo più ampio a destra (sinistra).

Teorema di Kamke:

Sia f: A -> R continua in A c R^{n+1} aperto.

Il grafico di una soluzione massimale a destra (sinistra) della EDO

\( y^{(n)} = f(x, y, y', y^{(n-1)}) \)

non può essere contenuto in un sottoinsieme chiuso e limitato di A.

Problema di Cauchy

Sia f: A -> R continua in A c R^{n+1} aperto, sia

\( y^{(n)} = f(x, y, y', y^{(n-1)}) \) una EDO in forma normale.

Sia \( P_0 = (x_0, y_0, y'_0, \ldots, y_0^{(n-1)}) \in A \), il problema di Cauchy consiste nella ricerca delle soluzioni della EDO che verificano le n condizioni:

\( y_c(x) = y_0, \quad y'_c(x) = y_1, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)} = y_{n-1} \)

Dette condizioni iniziali.

L'insieme delle soluzioni di una EDO si chiama soluzione generale o integrale generale.

METODO DI VARIAZIONE DELLA COSTANTE

Si dà y'=a(x)y+b(x) una soluzione particolare y_p(x) di tale equazione si può trovare nella forma:

y_p(x) = C(x)e^A(x)

Essendo Ac(x) una primitiva di a(x).

Risulta quindi che tale y_p(x) è una soluzione se e solo se C(x) è una primitiva di b(x)e^-A(x). Quindi un soluzione generale è data da:

y(x) = Ce^A(x) + e^A(x)∫b(x)e^-A(x)dx

EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE

Una EDO si dice lineare del secondo ordine se è del tipo:

y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = b(x)

Essendo a₁, a₂, b funzioni continue in I∈R, b(x) è detto termine noto.

Se b(x) = 0, l’equazione si dice omogenea.

SOLUZIONE GENERALE

Se dà y''e y'=

a₁(x)y' + a₂(x)y = b(x).

Una EDO lineare del secondo ordine, la sua soluzione generale si ottiene sommando la soluzione generale dell'omogenea associata

y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = 0

con una soluzione particolare della non omogenea.

EDO lineari del 2° ordine a coefficienti costanti:

Siano a₁, a₂ ∈ R e b ∈ I∈ R cn classe Ce∞, l’equazione:

y'' + a₁y' + a₂y = b(x)

E detta lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, per risolverla quindi si devono fare due passaggi:

1) Trovare la soluzione omogenea associata

2) Trovare una soluzione particolare della non omogenea

EQUAZIONI DI EULERO-CAUCHY

L'equazione differenziale di Eulero-Cauchy è una equazione lineare del tipo:

xⁿy''(x) + a_n-1x^n-1y'(x) + a₀y = f(x)

Consideriamo il caso canonico di equazioni del secondo ordine:

x²y'' + xay' + by = f(x)

Supponiamo che sia x ≠0, e cerchiamo soluzioni nella forma:

y = x^λ   =>   y' = λx^λ-1  ,   y'' = λ(λ-1)x^λ-2

Sostituendo si ha:

λ(λ-1)x^λ + aλx^λ + bx^λ = 0

=> λ(λ-1) + aλ + b = 0

È l'equazione caratteristica del problema. Si possono avere 3 casi:

1. λ₁, λ₂ reali distinti   allora   x^λ₁e   x^λ₂ sono una base della soluzione
2. λ₁ = λ₂ = λ reale, allora   x^λ   x^λln|x| sono una base
3. λ₁₂ = α ± iβ complesso coniugato allora   x^α cos(βlnx),   x^α sin(βlnx) sono basi

METODO DI RIDUZIONE DI ORDINE

Sia data una EDO del secondo ordine lineare:

y'' + a(x)y' + b(x)y = 0, supponiamo di saper che y₁(x) è soluzione del problema, allora una seconda soluzione indipendente si può ottenere come:

y₂(x) = C(x)y₁(x)

E sostituendola nella EDO si determina la condizione che deve soddisfare C(x).

SISTEMA COMPLETO: {ϕ_n} è completo in (a,b) rispetto a una classe di funzioni sì↔:

lim_n→∞ ∫_a^b (f_n(x)−f(x))²dx=0 ∀f

se si verifica ciò, si parla di convergenza in norma quadratica. SISTEMA CHIUSO {ϕ_n} è chiuso in (a,b) rispetto a una classe di funzioni sì ↔:

⟨f,ϕ_n⟩ =0 ∀n⇒f=0 f≠0

ossia se un'unica funzione nulla ortogonale a tutte ϕ_n è la funzione identicamente nulla.

ORTOGONALITÀ DELLE AUTOFUNZIONI DI S-L:TEOREMA: In un problema di S-L reso omogeneo:

• ∫_a^b [p(x)u′(x)]′+q(x)u(x)+λw(x)u(x)=0
• u(a)=0(u′) e u(b)=0
• u(a) cos α+u′(a) sin α=0
• u(b) cos β+u′(b) sin β=0

a autofunzioni appartenenti a autovalori diversi, corrispondono autofunzioni ortogonali su (a,b) con peso w(x).

DIMOSTRAZIONE:y₁L₂y₂−y₂L₁y₁=y₁(r₂y₂)′−y₂(r₁y₁)′=\ldots=[Ry₁y₂,y₂y₁]¹

essendo inoltre:y₁L₁y₁=y₂L₂y₂=(λ₁−λ₂)ωy₂y₁, si ha:(p>λ₁−λ₂)ωy₂y₁=[Ry₁y₂,y₂y₁]¹ e quindi integrando:

(λ₁−λ₂)∫_a^bωy₂y₁dx = [V_b(y₁,y₂)−V_a(y₁,y₂)]

quindi se λ₁≠λ₂≠0 e se è verificata la condizione a destra, allora y₁ e y₂ sono ortogonali in (a,b).La condizione a destra è banalmente verificata per un problema S-L non-omogeneo.