Appunti di Equazioni Differenziali EDO (Equazioni Differenziali alle derivate Parziali) Parte 3

Revisionato il 09/07/2026

di Landreigno

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Argomenti trattati Teoria EDP Parte 3:EDP - equazioni differenziali alle derivate parzialiEDP del 1° ordineEDP a coefficienti costantiEquazione del trasportoMetodo delle …

Esame Equazioni differenziali

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. Collini Tiziana

Università Politecnico di Milano

A.A. 2020-2021

64 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Equazioni differenziali - parte 3

Problema di Cauchy su una superficie

Andiamo a ricercare non più una linea, ma una superficie. Anche qui possiamo applicare un problema di Cauchy e gli chiediamo che la soluzione sia unica e soddisfi il PDC. Tra le infinite superfici, determino quella superficie che contiene una particolare linea che soddisfi il PDC.

Per trovare la soluzione di questa equazione alle derivate parziali, possiamo operare, sotto determinate ipotesi, provando a scrivere l’equazione di questa superficie, utilizzando lo sviluppo in serie. Date le derivate parziali rispetto a x o rispetto a y, vado a calcolare lo sviluppo in serie dell'u, calcolato in x, y(x). Quindi derivo il PDC, lo sostituisco nella mia equazione e ottengo una u_y, primo sviluppo della mia superficie. Derivo ulteriormente e faccio una serie di Taylor.

Equazione delle onde

La soluzione che dipende dall'equazione delle onde sarà una soluzione dalla variabile spaziale x e dalla variabile temporale t. L'equazione delle onde è sempre una equazione del secondo ordine lineare, e se la scriviamo con x appartenente a Rⁿ avremo un'equazione dove l'equazione di una corda. Se n=1 appare la corda vibrante. Se n=2, membrana vibrante.

Per risolvere l’equazione possiamo usare il metodo di separazione delle variabili. Cioè tra tutte le soluzioni della corda vibrante, andiamo a ricercare particolari soluzioni, scritte come una funzione che dipende solo da x e una che dipende solo da y.

L’idea è quella di costruire la soluzione della nostra equazione della corda vibrante, sovrapponendo le infinite armoniche utilizzando il metodo di sovrapposizione.

Equazione ellittica

Prototipo di equazione ellittica significa che trovo delle caratteristiche non reali. Per esempio, per lo studio dell’equazione di Laplace serve la temperatura di un corpo omogeneo e isotropo in condizioni di equilibrio (la soluzione dipende solo dalle variabili spaziali e non studiando problemi in equilibrio temporale u=u(x,y) perché abbiamo dipendenza dal tempo). L’equazione di Laplace descrive il caso stazionario, indipendente dal tempo dell’equazione di diffusione (equazione del calore). La posizione di equilibrio di una membrana perfettamente elastica è una funzione armonica (le funzioni si dicono armoniche, le soluzioni dell’equazione di Laplace, cioè le soluzioni di u^! u=0).

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