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La soluzione dell'equazione delle onde

La soluzione che dipende dall'equazione delle onde sarà una soluzione dalla variabile spaziale x e dalla variabile temporale t. L'equazione delle onde è sempre un'equazione del secondo ordine lineare, e se la scriviamo con x appartenente a R^n avremo un'equazione che rappresenta una corda. Se n=1 diventa una corda unidimensionale, se n=2 una membrana vibrante.

Per risolvere l'equazione possiamo usare il metodo di separazione delle variabili. Cioè, tra tutte le soluzioni della corda vibrante, andiamo a cercare particolari soluzioni, scritte come una funzione che dipende solo da x e una che dipende solo da t.

L'idea è quella di costruire la soluzione della nostra equazione della corda vibrante, sovrapponendo le infinite armoniche utilizzando il metodo di sovrapposizione.

Il prototipo di equazione ellittica significa che trovo delle caratteristiche non reali. Per esempio, per lo studio...

della equazione di Laplace, che descrive il caso stazionario e indipendente dal tempo dell'equazione di diffusione (equazione del calore). La posizione di equilibrio di una membrana perfettamente elastica è una funzione armonica, cioè una soluzione dell'equazione di Laplace, dove il laplaciano di u è uguale a zero: ∇²u = 0. Più in generale, l'equazione di Poisson svolge un ruolo importante nelle teorie dei campi conservativi, come quelli elastici e magnetici, dove il vettore campo è il gradiente di un potenziale. L'equazione di Laplace studia problemi stazionari, indipendenti dal tempo, e la soluzione u dipende solo dalle variabili spaziali x e y, che variano in un dominio omega contenuto in R^2. Le soluzioni armoniche sono anche funzioni

Le linee caratteristiche di 123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145

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Landreigno
A.A. 2020-2021
64 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Landreigno di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Equazioni differenziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Collini Tiziana.