Appunti elettromagnetismo lezione 2

Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale la convenzione delle linee di forza. Le linee di forza sono linee a cui il flusso in ogni punto del campo è tangente allo stesso. Inoltre in ogni sezione il campo viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all'intensità del campo.

Q è positiva il campo si dice che è uscente dalla carica

Q è negativa il campo si dice che è entrante nella carica

23/09/2016

Riprendendo dalla definizione di campo elettrico che definito come la perturbazione dello spazio creato da una o più cariche a cui rispondono altre cariche abbiamo definito operativamente riprendendo una carica puntiforme _Q(1) _Q(2)

Il campo creato da questa carica lo descrivo a partire dalla legge di Coulomb esercitata su una carica q che chiamando carica di prova posso misurare la forza che agisce sulla carica q divido per la carica q ottengo il risultato che non dipende dalla carica di prova.

F_1,2 = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{z_{1,2}^2}\)

E_1,2 = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{z_{1,2}^2}\)

La forza va come 1/z² è attrattiva se le due cariche hanno segno opposto e repulsiva se le due cariche hanno lo stesso segnoattrattiva

N.b. carica q non deve perturbare la carica Q che crea il campo per questo si definisce il campo come

E = lim _q->0 \(\frac{F_q}{q}\)

E = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{z^2}\)

[E] = Volt/m

Campo elettrico generato da un sistema di cariche

Per la rappresentazione grafica dei campi è usuale la convenzione delle linee di forza.

Le linee di forza sono linee a

flusso in ogni punto del campo e tangente ad ogni linea di

forza inoltre in ogni regione il campo viene disegnato un

numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale

all'intensità del campo.

Q

Q è positiva

il campo si sa

dice che si usa

carica

Q

Q è negativa

il campo si dice

che si entrare nello

carica

23/09/2016

Riprendendo dalla definizione di campo elettrico che definito come

la perturbazione dello spazio creato da una o più cariche ai cui presenti

carico

Q(1)

Q(2)

Il campo creato da questa carica lo descrivo a partire dalla legge

di Coulomb esercitata su una carica q che chiamato carica di prova

Possiamo misurare la forza che agisce sulla carica q divido per la carica

q ottengo un risultato che non dipende dalla carica di prova

F₁₂=¹/_4πε0 Q₁Q₂/^z2₁₂

= ¹/_4πε0 Q₂ Q₁^z₁₂

la forza va come 1/z² è attrattiva se le due cariche hanno

segno opposto è repulsiva se le due cariche hanno lo stesso

segno attrattiva.

N.B. La carica q non deve perturbare la carica Q che crea il campo,

per questo si definisce il campo come

E = lim F_q/q = E = ¹/_4πε0 Q/^z3

[E] = Volt/m

Campo elettrico generato da un sistema di cariche

Si supponga di avere due cariche fisse _q1 e _q2 su un solido sperimentalmente verifica che dato:

La forza subita dalla carica q è pari alla somma vettoriale delle forze di Coulomb esercitate su q singolarmente da q1 e da q2. Il campo elettrico E (z) generato nella posizione z da q di un sistema costituito da due cariche q1 e q2 è rappresentato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati in z da q1 e q2. Questo risultato è detto principio di sovrapposizione per il campo elettrico.

E(z) = E₁(z) + E₂(z) = 1 / (4πε₀) * Q₁ / (z - z₁)² + 1 / (4πε₀) * Q₂ / (z - z₂)²

In generale

E(z) = 1 / (4πε₀) ∑ Q_i / (z - z_i)²

Ex.

Verificato il caso di due cariche poste sullo stesso asse simmetria, calcolare rispetto dell’origine

-q /2 ——9—— q/2

Ex = (o, o, o)

E₁ = (d, o, o)

E₂ = (q/2, o, o)

E₁ = (q/2, o, o)

∥∥z₁ - z₂∥∥ = (q/2, o, o)

X ——— P

→ (q, o, o)

=> E_x = E_1x + E_2x = 1 / (4πε₀) * q / (d² + q² / 4)^3/2 = q_x

E_x = E_1x + E_2x

²

=> E_y = E_1y + E_2y = 1 / (4πε₀) * q / (d² + q² / 4)^3/2 = q_x

^{-q /2}

E_z = E_1z + E_2z = q / 4πε₀ (d² + q² / 2)^3/2

Potenzo calcolare anche le componenti del campo

∑θ = q / (d² + q² / 4)

=> E = −q / 4πε₀ (1⁻²/ (2/3)^χ)

Il sistema di due cariche uguali ed opposte poste ad una certa distanza è chiamata dipolo elettrico e il prodotto della carica q per la distanza tra le cariche si chiama momento di dipolo.

qℓ = momento di dipolo

Il campo elettrico è proporzionale al momento di dipolo del sistema di due cariche.

Vettore sopra lo stesso sistema ma in cui il punto P è sullo stesso asse delle cariche.

E ⇒ _-q/2 ^q/2 ⇒ ^{q - q}

E ⇒ ^{-q 9 q}

E ⇒

E = ⁹[ ^{1 1} ] = ^q[ ^{2q x} ]

4πε0 (x - a/2)² (x + a/2)² 4πε0 (x² - a/4)²

dove p = Qℓ momento di dipolo

Il campo elettrico a grandi distanze va come ¹

x³

La carica può essere all'interno di un certo volume, ad esempio se voglio sapere il numero di elettroni in un cm³ di rame

n_e/cm³ _ATOMO ATOMI ^{MOLI g 2 N_e 6} ≃ 2,7 ⋅ 10⁴

cm³ cm A A

Prenendo un volumetto dt e vediamo la carica dq contenuta all'interno. Quindi possiamo introdurre il concetto di distribuzione di carica descritto da una densità spaziale di carica ρ definita dallo relazione:

dq = ρ(x,y,z) dI

dove dI = dx/dy/dz è l'elemento di volume attorno al coordinate x,y,z

dq è la carica contenuta in tale elemento di volume

ρ(x,y,z) = densità volumetrica di carica essa una funzione fortemente variabile nello spazio e nel tempo

Assendo dN/da ≃ zero da valori abbastanza grande nelle posizione dove te degli elettroni, il nulla negli spazi interpenetrazioni. Essa quindi:

dρ = l

dI

Consideranto una distribuzione di carica continua che occupa lo posizione di spazio z; il campo elettrico E nel punto P di posizione x si ottiene:

E =

4πε₀

[ ρ(x,y,z’)(z’ - z’)]

√[(x-x’)²+(y-y’)²+(z-z’)²]^3/2 ]

dz’ dy dz’

dove x y z sono le coordinate dell'elemento di volume diq

capita spesso che le cariche siano distribuite localizzate

in una regione tridimensionale te definire un dominio

godale ddn approssimato da una superficie distribuzione superficiale

o da una linea distribuzione lineale in que sti casi conviene

introdurre la denaita superficiale

dq = (x,y,z)dS

dq = (x,y,z)dl

ex. distribuzione di carica lineare filo indefinito con

ti di carica uniforme

dq= dx

debbiato vedere quali componenti

abbiate quial sono nulle

posono scegliere l'ordine dove

socio no perche il filo e

indefinito e la distribuzione

caricase uniforme

non ha lo componente vertical

le a dq – dq.

symmetrico che larea un

campo elettrico eguale ed oppo-

sto che annulla la compo-

ti vertente riguardo di un

ordine e passa sul filo.

ei viene creato solo sulla componente orizzontale

E = 1/ 4 ( )

ridv 2 z

oppure 1 ( )

e ex/cos p

dx /

x

x z = t cotes

q E 1

lme bos che ogio ld E /

-( t

cos

coses

i t aola

0

il campo va come

1/

Ex.

Distribuzione carica lineare su un anello

• λ è uniforme
• Nel punto diametralmente opposto di dq, i due campi generati si annullano ⇒ il campo non ha componente orizzontale
• Se ruoto tutte le componenti ortogonali dell'asse sono a due a due nulle
• Devo considerare solo la componente verticale

dq = λ de

E = λR

d dq = λR dφ

E_z = ∫ dE cosθ = 1/4πε₀ ∫ λR dφ / (R² + z²)^3/2

= λR/4πε₀ ∫^2π₀ z dφ / (z² + R²)^3/2

Vedere cosa succede quando il punto in cui voglio calcolare il campo

z >> R

≈ λR/3ε₀ = 1/z² = λ2πR/4πε₀ = Q/4πε₀ 1/z²

come se tutta la carica fosse concentrata nel centro dell'anello

Ex. Distribuzione di carica superficiale su un disco

• Le simmetrie sono le stesse del caso dell'anello

σ = dq/dS

E_z = ∫ dE cosθ = 1/4πε₀ ∫ σ dS / (z² + 2z)^3/2

dS = 2π z dφ

∅ ∮ z dφ dz = 2π ∫ z dz = πR²

∅ ∮ z dφ dz = _∅⊃^∅ => _∅⊃

= ∅

SE _∅⊃ == R_::= 0,

z_c = ∅F_E

Dobbiamo sviluppare la funzione

simile ∆ ( 1 - x² ) = z x ≥ ...

ESTRASE _∅⊃

POSTO R² / z = x

=> E E_2πr

∅

Come se stessa calcolando un campo generato da un campo

infinito ( _E ) =

UNIFORME

Linee di campo

Una curia e' una linea del campo ( _E ) �AE1; ^E

Se la curia e' orientata ciobjetto nei tro e' vicio

incampo del campopost._INO_1

E P esame cer ninja e ( _E ).