Elettromagnetismo per Fisica 2 - Appunti

Sorgenti di campo magnetico

L'espressione matematica che permette di calcolare il campo magnetico in qualsiasi punto dello spazio in funzione della corrente che produce il campo prende il nome di legge di Biot-Savart.

Il campo magnetico ^dB in un punto P, prodotto da un elemento di lunghezza _ds di un filo percorso da corrente continua I, è il risultato delle seguenti osservazioni:

• Il vettore ^dB è perpendicolare sia a _ds (orientato nel verso della corrente) che al vettore r orientato da _ds a P.
• Il modulo di ^dB è inversamente proporzionale ad r, dove r è la distanza fra _ds e P.
• Il modulo di ^dB è proporzionale alla corrente I ed alla lunghezza _ds dell'elemento _ds.
• Il modulo di ^dB è proporzionale a ^sinθ dove θ è l'angolo tra i vettori _ds ed r.

Riassumendo in espressioni vettoriali:

1. ^dB = ^μ₀/_4π * I _ds x ^r / ^r²

Sorgenti di campo Magnetico

L'espressione matematica che permette di calcolare il campo magnetico in qualsiasi punto dello spazio in funzione della corrente che produce il campo prende il nome di legge di Biot-Savart.

Il campo magnetico dB in un punto P, prodotto da un elemento di lunghezza ds di un filo percorso da corrente continua I, è il risultato delle seguenti osservazioni:

• Il vettore dB è perpendicolare sia a ds (orientato nel verso della corrente) che al vettore r orientato da ds a P.
• Il modulo di dB è inversamente proporzionale ad r², dove r è la distanza tra ds e P.
• Il modulo di dB è proporzionale alla corrente I ed alla lunghezza ds dell'elemento ds.
• Il modulo di dB è proporzionale a sinθ, dove θ è l'angolo tra i vettori ds ed r.

Riassumendo in espressioni vettoriali:

dB = (μ₀ / 4π) ( I ds × r̂ ) / r²

μ₀ è chiamata permeabilità magnetica del vuoto ed ha valore

μ₀ = 4π ⋅ 10^-7 T ⋅ m/A

Il campo d^->B_-> in questione è quello generato dalla corrente che scorre nel tratto ds^->. Il campo magnetico totale sarà la somma vettoriale di tutti i campi generati dalla corrente che scorre in ogni tratto ds^-> per tutta la lunghezza del filo e quindi:

B_-> = ^μ₀I/_4π * ^{dS-> × r->}/_r³

N.B. Integrando un vettore il risultato dovrà essere un vettore

Secondo la legge di Biot-Savart un campo magnetico è prodotto da un elemento isolato di corrente ma, a differenza di una carica elettrica, un elemento di corrente localizzato in un punto non esiste.

Un elemento di corrente deve essere parte di una distribuzione estesa di correnti: deve esserci un circuito chiuso lungo cui le cariche possano fluire.

Campo magnetico attorno ad un filo conduttore sottile e rettilineo.

Figura A

O P₁rds = dxx

Figura B

O P₁rΘ₁ Θ₂y

Consideriamo un elemento di lunghezza ds che si trova a distanza r da P. La direzione del campo magnetico in P prodotto dalla corrente in questo elemento è perpendicolare ed uscente dal foglio perché ds × r è uscente dal foglio. Infatti tutti gli elementi di corrente Ids sono nel piano del foglio e danno nel punto P un campo magnetico perpendicolare ed uscente. Rimane da calcolare il modulo di B.

1. Calcoliamo il prodotto vettoriale ^ds x ^â. ^ds x ^â = [dx sin (^π/2 - Θ)] ^{j^} ± (dx cos Θ) ^{k^}
2. Sostituiamo il risultato nell'equazione di Biot-Savart d ^B = (d ^B) ^k = _{μ0 I}/^4π * _dx/[r²]
3. Dalla costruzione geometrica della figura A esprimiamo r in funzione di Θ r = _a/cosΘ
4. Dal triangolo rettangolo in figura A otteniamo che tanΘ = x/a (il segno ± perché ds si trova ad un valore di x negativo) e quindi si ottiene: x = ± a tanΘ
5. Differenziando (derivando) si ottiene: dx = ± a sec²Θ dΘ = -_{a dΘ}/^cos2Θ N.B. secΘ = ₁/cosΘ
6. Sostituiamo nell'equazione di Biot-Savart dB = _−μ0I