Elettromagnetismo per Fisica 2 - Appunti

Sorgenti di campo Magnetico

L’espressione matematica che permette di calcolare il campo magnetico in qualsiasi punto dello spazio in funzione della corrente che produce il campo prende il nome di legge di Biot-Savart. Il campo magnetico dB_B in un punto P, prodotto da un elemento di lunghezza ds_B di un filo percorso da corrente continua I è il risultato delle seguenti osservazioni:

• Il vettore dB_B è perpendicolare sia a ds_B (orientato nel verso della corrente) che al vettore orientato da ds a P.
• Il modulo di dB_B è inversamente proporzionale ad r, dove r è la distanza fra ds_B e P.
• Il modulo di dB_B è proporzionale alla corrente I ed alla lunghezza ds_B dell’elemento ds_B.
• Il modulo di dB_B è proporzionale al seno dell’angolo fra i vettori ds_B ed r.

Riassumendo in espressioni vettoriali:

dB_B = (μ₀I/4π) (ds_B × r̂)/r²

μ₀ è chiamata permeabilità magnetica del vuoto ed

ha valore μ₀ = 4π × 10^-7 T ∙ m/A

Il campo dB⃗ in questione è quello generato

dalla corrente che scorre nel tratto dS⃗. Il campo

magnetico totale sarà la somma vettoriale di tutti i

campi generati dalla corrente che scorre in ogni

tratto dS⃗ per tutta la lunghezza del filo e quindi:

B⃗ = (μ₀ I / 4π) ∫ (dS⃗ × r^) / r²

N.B.

Integrando un vettore il risultato dovrà essere

un vettore

Secondo la legge di Biot-Savart un campo

magnetico è prodotto da un elemento isolato di

corrente ma a differenza di una carica elettrica

un elemento di corrente localizzato in un punto

non esiste.

contribuisce in O con un campo elementare d_B perpendicolare ed entrante nel foglio. Inoltre, per ogni punto di AC, ds è sempre perpendicolare ad r per cui |ds x r| = ds.

Applichiamo quanto detto all'equazione di Biot-Savart

B = ₀ I ds₄ r²

B = ₀ I ds = ₀ I₄ r²

S = a Θ

B = ₀ I a Θ = ₀ I₄ r²

Nel caso limite in cui dobbiamo calcolare il campo magnetico al centro di una spira circolare of filo di raggio R nella quale scorre la corrente I dobbiamo supporre Θ = 2π. Sostituendo nella formula

B = ₀ I 2π = ₀ I₄ r²

Allo stesso modo definiamo il Coulomb:

Il Coulomb è la quantità di carica che in 1s attraversa una qualunque sezione di un conduttore percorso da una corrente continua di 1A

Essendo un percorso chiuso, possiamo utilizzare la legge di Ampere calcolando, per ciascun lato (di lunghezza l e larghezza w) l'integrale di B·ds. Lungo i lati 2 e 4, B è perpendicolare a ds ed il loro prodotto vettoriale è quindi zero; lungo il lato 3, B = 0; solo il lato 1 contribuirà all'integrale

∫B·ds = B∫ds = BL

Il secondo membro della legge di Ampere è proporzionale alla corrente con catena I. Se NI è il numero totale di spire nel tratto di solenoide di lunghezza l, la corrente totale nel rettangolo è NI. Applicando la legge di Ampere

∫B·ds = Bp = μ₀NI

Sia poi m = N/l ossia il numero di spire per unità di lunghezza.

B = μ₀N/l I = μ₀ m I

Questa equazione è valida solo nei punti che si trovano al centro di un solenoide molto lungo. Relativamente alle estremità di questo solenoide il campo sarà la metà di quello al centro.

Supponiamo che la spira che racchiude l'area A sia immersa in un campo magnetico B. Il flusso magnetico concatenato sarà BAcost con ϑ angolo di incidenza tra campo magnetico e la normale alla spira. Pertanto:

ℰ = -d/dt(BAcosϑ)

Una f.e.m. può quindi essere indotta quando:

• Il modulo di B varia nel tempo
• La superficie racchiusa dal circuito varia
• L'angolo ϑ varia
• Si verificano combinazioni delle precedenti

F.e.m. nei circuiti in moto

Un conduttore rettilineo di lunghezza L si muova attraverso un campo magnetico uniforme, entrante nel foglio. Supponiamo che il conduttore sia soggetto a un'opportuna forza che ne permetta il movimento a velocità costante e perpendicolare al campo.

Sugli elettroni del conduttore agisce la forza magnetica pari a q*v_xB diretta lungo il filo di lunghezza L e perpendicolare sia a v_- che a B_. A causa di questa forza gli elettroni si muovono polarizzando il conduttore.

F.e.m. indotte e campi elettrici indotti

La corrente elettrica è legata alla presenza di un campo elettrico che esercita una forza sulle particelle cariche. Allo stesso modo possiamo legare la corrente indotta in una spira conduttrice alla presenza di un campo elettrico originato da nel conduttore in seguito alla variazione del flusso magnetico si è creato un campo elettrico. Più generalmente un campo magnetico variabile genera un campo elettrico nello spazio vuoto (non serve la corrente di prova).

Questo campo elettrico indotto a differenza del campo elettrostatico non è conservativo:

• Consideriamo una spira conduttrice di raggio r immersa in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano. Se B varia nel tempo sulla spira viene indotta una f.e.m. _{= -duphi/dt}.

L’induzione di una corrente sulla spira implica la presenza di un campo elettrico presumibilmente tangente alla spira in ogni suo punto. Il lavoro necessario per fare compiere ad una carica di prova q un giro completo è qepsilon; il lavoro fatto invece sulla carica sarà qepsilon(r) - qepsilon(2ttr).

Correnti Parassite

Quando un pezzo di metallo si muove in un campo magnetico in tutto il corpo del metallo vengono generate delle correnti indotte dette correnti parassite. Possiamo dimostrare tutto ciò sperimentalmente osservando un pendolo metallico che oscilla in un campo magnetico. Quando la piastrina entra nel campo magnetico la variazione di flusso indurrà nella piastrina una f.e.m. che mette in movimento gli elettroni del metallo producendo vortici di correnti parassite. In accordo con la Legge di Lenz il verso di queste correnti è tale da creare campi magnetici che si oppongono alle cause che hanno prodotto le correnti. Per questa ragione le correnti parassite create nella piastrina posti magnetici che sono respinti dal magnete si origina così una forza che si oppone al movimento, dando origine ad una forza frenante che prima o poi fermerà il pendolo.

Le correnti parassite sono spesso usate come mezzi di sicurezza nelle macchine utensili; sono usate nel sistema frenante delle metropolitane poiché, diminuendo progressivamente alla velocità del treno, garantiscono una frenata dolce.

In molte altre applicazioni risultano pero scomode.

N.B. Kirchhoff è valido rigorosamente SOLO per i circuiti a corrente continua ma, a meno dell'irraggiamento alle energia, risulta una buona approssimazione

∑ - iR - L di/dt = 0

Risolviamo la differenziale sostituendo x = (ε/R) - i quindi dx = -di

^x _x₀ L/R dx = ^t ₀ dt //integro

x - x₀ = ^t ₀ R/L //risolvo

ln x - ln x₀ = -R/L t //calcolo l'antilogaritmo

x = x₀ e^-Rt/L

Poiché in t = 0, i = 0 => X₀ = ε/R

Posso quindi riscrivere l'ultima equazione come

ε/R - i = ε/R e^-Rt/L //metto in evidenza ε/R

i = ε/R (1 - e^-Rt/L)

Questa equazione descrive come la presenza di un induttore agisce sulla corrente che cresce o decresce secondo una legge esponenziale. Quando t->0 anche (1 - e^-Rt/L) -> 0 e non vi sarà più la legge esponenziale