Appunti e esercizi svolti, Geometria, Capparelli

Geometria

Prof. Stefano Caparrelli
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica - La Sapienza
1^° anno, 1^° semestre
aa. 2012-13
Tutor: Prof. Roberto Garra

Testi consigliati

(I primi due della lista sono i libri di testo veri e propri. Gli altri possono essere di utile consultazione)

1. S. Caparrelli - A. Del Fra: Geometria, Esculapio, 2010
2. W. Keith Nicholson: Algebra Lineare, dalle applicazioni alla teoria, McGraw-Hill 2002
3. P. Maroscia: Geometria e Algebra Lineare, Zanichelli, 2002
4. S. Caparrelli - A. Del Fra: Esercizi di Geometria, Esculapio, 2012 (Errata Corrige del libro di esercizi)
5. M. Bordoni: Geometria Analitica, Esculapio, 2001
6. F. Bisi, F. Bonsante, S. Brivio: Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica, La Dotta, 2013

Programma

Insiemi. Unione, intersezione, complementarietà di un insieme. Insieme delle parti. Principio di induzione. Prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni. [1, Capitolo 1]

Se X è un insieme con almeno due elementi su X² sottinsieme relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Relazioni d'ordine: insieme classi e relazioni tra classi. Relazioni di congruenza. [1, Capitolo 1]

Principio della buona ordinazione. Il teorema degli isomorfismi. Classi di equivalenza e funzioni. Funzioni iniettive, suriettive. Inversa di una biiezione. Simmetria delle relazioni in generale e delle equivalenze. Completare l'aria per trovare una relazione. [1, Capitolo 1]

Insiemi numerici. Intervalli. Estremi superiori e inferiori. Induzione e numeri reali: struttura di campo di R ed il Q. Il principio di buona ordinazione. Ordine in R. Numeri Naturali. Fondamenti del calcolo infinitesimale. Completa tura degli in numeri razionali. Intorni di numeri reali. Rappresentazione di numeri reali. L'irrazionale come estremo superiore. Rappresentazione degli interi e numeri razionali in base qualsiasi. Limiti. Notazione: successioni monotone e bndate. Estremo superiore e opposti.

Insierne. Unione, intersezione, complementarietà di un insieme. Insieme delle parti. Principio di induzione. Prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni. [1, Capitolo 1]

Essere un insieme con almeno due elementi su X² sottinsieme relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Relazioni d'ordine: insieme classi e relazioni tra classi. Relazioni di congruenza. [1, Capitolo 1]

Insierni numerici. [1, Capitolo 1] Razionalità e logica di numeri reali: struttura di campo di R ed il Q. Rappresentazione di numeri reali. Intorni di numeri reali. Rappresentazione decimale di numeri razionali. Prima caratteristica della funzione.

Concetto di dimensione. Base canonica (naturale, standard) di Rⁿ. Prodotto scalare in Rⁿ. Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio vettoriale nell'insieme delle matrici. [2, Capitolo 1], [4, Capitolo 2]

Trasposizione di matrici e proprietà. Matrici simmetriche. Introduzione al metodo di eliminazione di Gauss. Matrice di un sistema lineare. Matrice completa di un sistema. Operazioni elementari sulle equazioni. [2, Capitolo 1]

Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala ridotta. Pivot. Metodo di soluzione dei sistemi lineari mediante la riduzione a scala. [2, Capitolo 1]

Interpretazione di un sistema secondo le colonne. Rango di una matrice come numero dei pivot. Cenni al teorema di Rouche-Capelli. Condizione di incompatibilità di un sistema: sistema omogeneo. Rango della matrice comoeta, equivalente, rengo di diversi di rango a diverso di colonne. Sistemi di Cramer. Lineare solo soluzioni pivot. [1, Capitolo 1]

Moltiplicare tra matrici; prodotto righe per colonne. Proprietà del prodotto tra matrici, anche non commutativo. Matrici ortogonali. Matrici invertibili. [1, Capitolo 1], [1, Capitolo 1]

Algorithmo di inversione e condizioni equivalenti: pivot. [2, Capitolo 1, (1.5)] Conclusione della dimostrazione del teorema sulle condizioni equivalenti. Matrici elementari. Proprietà delle matrici elementari. Una matrice è invertibile se e solo se il prodotto di matrici elementari. Generalizzazione dell'algoritmo di inversione. Fattorizzazione di una matrice A: [2, Capitolo 1, 1.6]

Definizione di determinante usando i prodotti competenti. Regola di Sarrus. Primo Teorema di Laplace. [1, sez.3.3] Operazioni elementari e proprietà del determinante. [2, Capitolo 2]

Confronti e complementi algebrici. Dimostrazione del Teorema di Binet (o del prodotto). Determinazione matriciale della inversa. Una matrice è invertibile se solo se il suo determinante è diverso da zero. Matrice aggiunta. Formula di augmentazione. [2, Capitolo 2]

Costruzione dei primi comici: determinante di formula. Formula per la moltiplicazione. Teste di Cramer minorax. Rango minore di un intera simulazione.

Criteri per siluare un quadrato di spezzata, rosa e trasposizione senza rango maggiore. Esercitazione per le due domande specifiche nella sostituzione.