Appunti lezioni Geometria

Notazione

N = {1, 2, 3...} Numeri Naturali

N₀ = N ∪ {0}

0 = |∅| Insieme Vuoto

Z = {...-2, -1, 0, 1, 2...}

Q = P/q

P.9 ∈ Z

9≠0

P/q = P'/q' ⇔ Pq' = P'q

Esempio

3/2 = 6/4

(3,2) Parentesi Tonde = Sistemi Ordinati

{3,2} Parentesi Graffe = Insieme Non Ordinati

(3,2) + (2,3)

Inclusioni

NOTAZIONE

N = {1, 2, 3 ...} Numeri Naturali

N₀ = N ∪ {0}

0 = |∅| Insieme Vuoto

Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...}

Q = p/q

p, q ∈ Z q ≠ 0

- Classe di Equivalenza

p/q = p'/q' ⇔ pq' = p'q

ESEMPIO

3/2 = 6/4

(3,2) Parentesi Tonde = SISTEMI ORDINATI

{3,2} Parentesi Graffe = INSIEME NON ORDINATI

(3,2) + (2,3)

INCLUSIONI

N C N₀ C Z C Q

• +
• +
• +
• +
• SOMMA
• ⊗
• ⊙
• ⊛
• ⊙
• (se sono c'è o non c'è)
• ×
• −
• −
• −
• DIFFERENZA
• ×
• ×
• ×
• ×
• MOLTIPLICAZIONE

1 1 1 1 (le memorie di)

Divisione

Anello Campo

Proprietà della somma

(1)

(a+b)+c = a+(b+c) Proprietà associativa

(2)

a+0 = 0+a = a Esistenza dell’elemento neutro

(3)

a+(-a) = 0 = (-a)+a Esistenza dell’opposto

(4)

a+b = b+a Proprietà commutativa

NB (linguaggio tecnico specifico)

Quantificatori:

Sono 2: “∀” per ogni, tutti “dato comunque”

“∃” esiste

Ogni formula necessita di un quantificatore

Esempio

2 N := { numeri Pari }

= “spiegare Devono”

2N := {2n} Linguaggio specifico matematico tecnico

—> SBAGLIATO (non c'è il quantificatore)

2N := {2n | ∀m ∈ ∪}

—> significa "tale che"

—> CORRETTA

DEFINIZIONE

Sia X un insieme un'operazione su X è una funzione che ha come dominio

X × X := {(x, y) | ∀ x, y ∈ X}

—> coppia ordinata

—> si legge X prodotto cartesiano X con codominio X

Un'operazione ⊛ su X è quindi una funzione che ha un certo dominio e un certo codominio

⊛ : X × X -> X

Dominio -> Codominio

(x, y) -> x ⊛ y

—> "freccia" "mappa in" "la in"

ESEMPIO

+ : N × N -> N

x : 2 × 2 -> 2

non ESEMPIO =

-: ℕ × ℕ → ℕ

÷: ℤ × ℤ → ℤ

{ queste due espressioni non sono applicazioni }

DEFINIZIONE

Un gruppo è una coppia (G, ∗) dove G è un insieme e ∗ è un'operazione che gode delle seguenti proprietà:

PROPRIETÀ

1. Associativa(g ∗ h) ∗ k = g ∗ (h ∗ k)    ∀ g, h, k ∈ G
2. Elemento neutro∃ e ∈ G t.c.    g ∗ e = g = e ∗ g    ∀ g ∈ G
3. Elemento opposto∀ g ∈ G   ∃ h ∈ G t.c.    g ∗ h = h ∗ g = g.

*Il gruppo che gode della proprietà commutativa è definito gruppo commutativo

4. Commutativa (Abeliano)g ∗ h = h ∗ g    ∀ g, h ∈ G

ESEMPIO

(2, +)(Q, +)(Z, ∅2, ∅3, ×3) → *così risulta un gruppo commutativo.

G ⇒ Amplifica *modificare *differenza

(ℚ \ {0}, x) gruppo commutativo

Non Esempi

• (ℤ, x) non è un gruppo
• (ℚ, x) non è un gruppo

NOTAZIONE

La moltiplicazione di numeri non la scriviamo con la regolazione posiziona

2 ∙ 3 = 2 × 3

ab = 2 × b

∀a, b ∈ ℕ, ℤ, ℚ

DEFINIZIONE

Un CAMPO è un insieme K dotato di 2 operazioni.

• + : K x K -> K "somma"
• ∙ : K x K -> K "prodotto"

t.c.

1. (K, +) gruppo commutativo
2. (K \ {0_{K}}, ∙) è un gruppo commutativo
3. Proprietà distributiva rispetto alla somma

a + (b ∙ c) = ab + ac t.c. ab, c ∈ K

ESEMPIO

• (ℝ, +) è un campo R = numeri reali
• (ℝ \ {0}, ∙) è un campo