Appunti di algebra e geometria (7)

5)

u = i + k

v = i + j

Si determinino i vettori ortogonali ad u e v

t ⟨u⟩ ⇒ ⟨t, u⟩ = 0

k ⟨v⟩ ⇒ ⟨k, v⟩ = 0

t = ai + bj + cj a, b, c ∈ ℝ

⟨t, u⟩ = 0

⟨t, v⟩ = 0

Insieme cercato:

{ai + bj + ck : c = b = 0 e b, c ∈ ℝ} =

{a i - a j - a k | a ∈ ℝ}

lezione 10 - 15/10/18 - 10:24 a 12:05

Siano:

spazio dei vettori , K^m, M_m,n (K)

Esercizio 1

H = { ( x y ) ∈ |ℝ|^2 : xy = 0 } = { one x } ∪ { one y }

È un sottospazio vettoriale ? No

xy = 0 ⇒ x = 0 o y = 0

0 ∈ H

Linee rigate al posto dei reali (due rette)

u = i + k

v = i + j

Si determinino i vettori ortogonali ad u e v

t ∈ u ⇒ <t, u> = 0

t ∈ v ⇒ <t, v> = 0

t = ai + bj + ck a, b, c ∈ ℝ

<t, u> = a + c = 0

<t, v> = a + b = 0

c = 0

b = -a

Insieme cercato:

{ai + bj + ck : c = b = 0, a, b, c ∈ ℝ} =

={ai - aj - a| a ∈ ℝ}

Spazi vettoriale

H = { (x y) ∈ ℝ² : xy = 0 } = {one x} ∪ {one y}

È un sottospazio vettoriale? No

xy = 0 ⇒ x = 0 or y = 0

0 ∈ H

Ultimi appunti del vettore per reale (due rette)

Esempio 2

^{( _xz)}∈ ℝ³:^{x=0 e y=0}

È un sottospazio vettoriale, sommando due vettori, la loro somma rimane nel sottospazio.

Esempio 3

H = ^<_xz>∈ ℝ³ : x - y ≥ 0

quindi ➔ ^_xz

verifica:

• ^₀₀∈ H ⇒ OK
• Prendiamo un elemento di H e lo moltiplichiamo per una scalare e vediamo se appartiene ancora a Hd (^{_xz)= (_{d xd z})∈ H con d ∈ ℝ}
• Somma tra vettori di H(^{_xz)+(_x'z')= (_{x + x'z + z'})∈ H}

Da questo verifica si può dire che H è un sottospazio vettoriale

Esempio 4

H = {p ∈ ℝ[x] : deg p ≤ 105}

- 0 ∈ H si (polinomio zero)

p ∈ H, d ∈ ℝ, dp

deg(dp) = d ≠ 0 : deg p ≤ 105

d = 0 : 0 ≤ 105

quindi dp ∈ H

- p, q ∈ H

deg(p+q) ≤ 105

H è un sottospazio

Esempio 5

V spazio dei vettori

H = {v ∈ V : ⟨v, v₀⟩ = 0}

- 0 ∈ H perché ⟨0, v₀⟩ = 0

- d ∈ ℝ, v ∈ H

⟨dv, v₀⟩ = d ⟨v, v₀⟩ = 0

quindi v ∈ H

- v, w ∈ H

⟨v+w, v₀⟩ = ⟨v, v₀⟩ + ⟨w, v₀⟩ = 0

v ∈ H, v+w ∈ H

Esempio 6

Fissi n₀ ∈ V

H = {n ∈ V : n₁n₂ = 0}

・0 ∈ H perche 0 ∧ n₀ = 0

・n ∈ H ⇒ ∃ r ∈ ℝ (d, r) ∧ n₀ = 2 (n ∧ n₀) ⇒ d ∧ n₀

・w, n ∈ H ẃ ᵢ nᵢ ᵢ

(n + w) ∧ n₀ = n ∧ n₀ + w ∧ n₀ = 0 n + w ∈ H

APPLICAZIONE LINEARE

Prendiamo V, W due spazi vettoriali

Un'operazione :

f : V → W

L’operazione f è detta lineare se :

Proprietà

1. f(dv) = d f(v) ∀ v ∈ V e ∀ d ∈ ℝ
2. f(v + v’) = f(v) + f(v’) ∀ v, v’ ∈ V

esempio

f : ℝ → ℝx ↦ a x

a ∈ ℝ

Lezione 10 - 19/10/18 11:15 a 12:00

Temi di applicazioni lineari

1. Identità:
   • V → V
   • v ↦ v
   assolut lo stesso elemento so è valida per ogni insieme

Prendiamo V come spazio vettoriale generale, l'identità vale sempre

2. V spazio dei vettori, v₀ ∈ V fisso v₀ ≠ 2
   • f: V → V
   • v ↦ <v₂, v₀> v₀
   • g: V → V
   • v ↦ v ∩ v₀
   verifica che f è lineare:
   • f(α v) ↦ ‹α v, v₀› v₀ = α ‹ v, v₀› v₀ = α f(v₀)
   • f(v+v') = ‹ v + v', v₀› v₀ = ‹ v₁, v₀› v₀ + ‹ v', v₀› v₀ = f(v) + f(v')

Amalgamazione per memoria

3. Prendiamo A ∈ M_m,m(lK):
   • a₁₁     a_1m     a_m1     a_mm
   • q_i,j ∈ lK

   m righe ed m colonne

   T : M_m,m(lR) → M_m,m(lK) A ⇐ a_ij     → a₁₁    a_1m       a_m1    a_mm

In altri termini:

A = ( a_{i j}) i = 1,... m j = 1,... n

la trasposta = A^t ( a_{j i}) j = 1,... m i = 1,... n

esmp. di trasposizione

1) A = ^t =

• 4 -10
• 0 14
• 7 63

2) B =^t =

• 3 2
• 1 55

3) C =^t =

• 1 2 7
• 3 0 11
• 0 7 2
• -2 0 2

4) x =

x^t = (x₁, ..., x_m) ∈ ℳ_1,n (ℝ)

t.e è un'applicazione lineare

Verifichiamo

t : ℜ_2,3 (ℝ)

• ℝ_2,3
• ℝ_2,3
• ℝ_3,2

• q₁₁ q₁₂ q₂₂
• q₂₁ q₂₂ q₂₃)
• (q₂₁ q₂₂)

esempio numerico

A = ^{0 1}_{1 0}

ℝ² → ℝ²

^x_y⇒^{0 1}_{1 0}^x_y= ^y_x

esempio

A = ^{2 5} _{-1 2}^{3 -2}

ℝ² → ℝ³

^x_y⇒^{2x + 5y}_{-x + 2y}^{3x - 2y}

rimo ³_-1→ ¹_-5¹¹

Moltiplicando il punto per A si ha una rotazione di 90°

esempio

A: |k^m → |k^m

mxm Ax ← lineare

• A(λx) = λ Ax verifica

• A (x+z) = Ax + Az verifica

APPLICAZIONI COMPOSTE

V → f X → g Y → U

lineare     lineare

V → f(V) X → g∘f(V) Y

V → g∘f

     ↑ composizione ↓ composizione

g∘f : V → U,    g∘f(x) = g(f(x))

esempio

ℝ² → ( 0 -1 ) → → ( 0 -1 ) → ℝ²

    (1 0      (1 0

( x ) → ( y ) → (-x)

y    x    y

             ↑

(-1 0 ) ( x ) ( 0 2 ) ( y )

  _{-1 / β}↓        

     Riflessime rispetto ad y

esempio

𝒵_m,m(𝔬) → 𝒵_m,m(𝔬) → 𝒵_m,m(𝔬)

A → A^ᵀ     

Proposito di matrici

( 0 -1 ) ( 0 1 ) = ( -1 0 ) ( 2 0 ) ( 1 0 )  ( 0 1 )

( 0 1 ) ( 0 -2 ) = ( 2 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 )  ( 0 2 )

L'ordine è importante e non si può cambiare

OSSERVAZIONE

A ∈ M_m,n(K) B ∈ M_n,l

• Se n sono uguali è possibile fare il prodotto
• Se n NON sono uguali non è possibile fare il prodotto

quindi

AB = | a₁₁ … a_1m || ⋮ ⋯ ⋮ || a_m1 … a_mm |× | b₁₁ … b_1l || ⋮ ⋯ ⋮ || b_m1 … b_ml |=| ∑_i=1^m e_1ib_i1 ⋯ ∑_i=1^m e_1ib_il || ⋮ ⋯ ⋮ || ∑_i=1^m a_mib_i1 ⋯ ∑_i=1^m a_mib_il |∈ M_m,l(K)

|K^l ←^B→ Kⁿ ←^A→ |K^l|

• X ←→ BX ←→ A(BX) o ABX
• X ←→ ABX  dove A ∈ ℝ_2,3(K)

DEFINIZIONI

APPLICAZIONE LINEARE DI NUCLEO fSe f: V → W un’applicazione lineare, il nucleo di f è denominato "Ker", perciò si può scrivere :

Kerf: { v∈V : f(v) = 0 }

APPLICAZIONE LINEARE DELL'IMMAGINE DI fSe f: V → W un’applicazione lineare di f "Im" si può scrivere come :

Imf: { w∈W : ∃ v∈V : f(v) = w }

PROPOSIZIONESia f: V → W un’applicazione lineare allora il nucleo della funzione Kerf e l’immagine della funzione Imf sono sottospazi vettoriali rispettivamente di V