Appunti di algebra e geometria (7)

(5) u = i + j + k

v = i + j

Si determinino i vettori ortogonali ad u e v

t u => <t, v> = 0

t v => <t, u> = 0

t = ai + bj + ck

a, b, c ϵ R

<t, u> = 0

<t, v> = 0

{ c+b = 0

{a+b+c = 0 { c = -a

{ a+b = 0 { b = -a

Insieme cercato:

{ ai + bj + ck : c = b = -a, a, b, c ϵ R}

=

{ a(-i - j - k) | a ϵ R }

Lezione 10 - 15/10/18 - 10:24 e 12:05

H = ( ^x/_y ) ϵ |R|² : xy = 0

= { one x ¹ U one y }

È un sottospazio vettoriale? No

xy = 0 => x = 0 بمعلى الي=0

0 ϵ H

Esempio 2

^x₂ ^y₃ ^z₂

è un sottospazio vettoriale, sommando due vettori, la loro somma rimane nel vettore.

Esempio 3

H =

quindi x ≧ ^x_z

verifica:

• (0/0/0) ∈ H ⇒ OK
• Prendiamo un elemento di H e lo moltiplichiamo per un coefficiente e vediamo che appartiene ancora a H. d(^x_z) = d^x_z,^y_z,^z_z ∈ H con d ∈ ℝ
• Somma tra vettore di H (^x_z + ^x'_z') = (^{x + x'}_{z + z'}) ∈ H

In altri termini:

A = (a_ij) _{i = 1,..., n j = 1,..., m}

le trasposte:

A^t = (a_ji)_{i = 1,..., mj = 1,..., n}

Esempi di trasposizione

1. A = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 7 & -10 \\ 2 & 63 \\ \end{bmatrix}\)
2. A^t = \(\begin{bmatrix} 1 & 7 & 2 \\ 0 & -10 & 63 \\ \end{bmatrix}\)
3. B = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 55 \\ \end{bmatrix}\)
4. B^t = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 55 \\ \end{bmatrix}\)
5. C = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 7 & 11 & 2 \\ \end{bmatrix}\)
6. C^t = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 3 & 4 & 11 \\ 0 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
7. x = \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \\ \end{bmatrix}\) ∈ \(\mathbb{K}^m = \mathbb{M}_{m, 1}(\mathbb{K})\)

x^t = (x₁, ..., x_m) ∈ \(\mathbb{M}_{1, m}(\mathbb{K})\)

t^t è un'applicazione lineare

Verifichiamo:

t: \(\mathbb{R}_{2, 3}(\mathbb{Q}) \rightarrow \mathbb{R}_{3, 2}(\mathbb{Q})\)

\(\begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} & q_{13} \\ q_{21} & q_{22} & q_{23} \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} q_{11} & q_{21} \\ q_{12} & q_{22} \\ q_{13} & q_{23} \\ \end{bmatrix}\)