Appunti e esercizi svolti, Analisi 1, Loreti

ANALISI MATEMATICA 1

Paola Loreti

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

AA 2012-2013

Primo anno - Primo semestre

PROGRAMMA

Numeri reali e le funzioni reali. Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Coniugio, prodotto, reciproco, potenze, radici. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Esempi ed esercizi. (Rif [D]) Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotone, funzioni lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse, il principio di induzione. Media aritmetica e geometrica (Rif [D]). Esempi ed esercizi. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Fattoriale e coefficiente binomiale. Il binomio di Newton. Esempi ed esercizi. Limiti di successioni. Definizioni e prime nozioni. Successioni limitate. Operazioni con i limiti. Forze intermienta. Teoremi di confronto. Alcune proprietà dei limiti di successioni. Alcuni limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero e il π. (Rif [D]). Irrazionalità di e e ln 2 (Rif [D]). Esercizi ed esempi. Successioni di Cauchy (senza dimostrazione). Esempi. La serie geometrica. Criteri di convergenza (senza dimostrazione). Serie alternate. Serie assolutamente convergenti. Serie non negative. La serie geometrica. La serie armonica. Criteri di convergenza (senza dimostrazione). Serie alternate. Serie assolutamente convergenti. Serie non negative. Definizioni. Lunghezza di un arco di curva. Esempi. Esempi di proprietà dei limiti di funzioni reali. Funzioni continue. Definizione. Alcuni teoremi sulle funzioni continue. Operazioni con le funzioni continue. Definizione di derivata. Operazioni con le derivate. Derivata delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni composte. Segni delle derivate. Studio di funzioni. Retta tangente. Esempi ed esercizi. Infinitesimi e infinitamente grandi. Teorema di Fermma e Rolle e di La grange. Il teorema di L’ Hopital (senza dimostrazione). Esercizi ed esempi. Formule di Taylor nel calcolo dei limiti. Serie di potenze, integrali definiti. Il metodo di sostituzione, integrali immediati. Integrabilità delle funzioni continue. Tecniche di calcolo numerico della media. Teoremi ed esercizi. Primitive di funzioni reali e tecniche della media integrale. Primitiva. Integrale indefinito. Integrale definito. Geometria del teorema fondamentale. Integrazione per parti, per sostituzioni e arc del finite figure plane. Esempi ed esercizi serie di Taylor del limitato del primo ordine. Problemi di Cauchy. Definizione. Esempi e esercizi. Tecniche di risoluzione ordinari con differenti costanti. Equazione omogenea. Equazioni in omogenee. Esempi ed esercizi.

Elementi di topologia in Rⁿ. Disuguaglianze di Young e Holder, e Minkowski (senza dimostrazione). Insiemi compatti. Funzioni ai valori reali. Massimi e minimi relativi. Funzioni continue su insiemi compatti: teorema di Weiestrass (senza dimostrazione). Limiti e continuità. Derivate parziali. Differnziabilità. Derivate successive. ln R². teorema del differenziale. In R² calcolo di massimi e minimi vincolati in semplici problemi. Esempi ed esercizi.

Criterio integrale per le serie numeriche.

La nozione di insieme è un concetto primitivo

Insiemi numerici più conosciuti:

• (dei num. naturali) N = {1, 2, 3, ...}
• (dei num. interi) Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• (dei num. razionali) Q = {... 1/2 ...}
• (dei num. reali) IR = {... [radice quadrata di] 2, ...}
• (dei num. complessi) C = {...}

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C

Simboli utilizzati quando si parla di insiemi:

Esempi: x ∈ N (INCLUSO)

Esempi: 3 ∉ N (ESCLUSO)

A ∪ B = { x ∈ A [o] x ∈ B} (UNIONE)

A ∩ B = { x ∈ A [e] x ∈ B} (INTERSEZIONE)

L'insieme Q contiene tutte e quelle soluzioni date dai rapporti di due numeri interi escludendo il n-esimo al denominatore

Q = ^m/_n ; m, n ∈ Z ; n ≠ 0

Dato un qualunque insieme A si definisce INSIEME DELLE PARTI DI A quello che ha come elementi tutti e i possibili sottoinsiemi di A.

Esempi: A = {1, 2, 3} P(A)

P(A) = { {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} }

Il numero degli elementi in P(A) è calcolato come 2^**n con **n** = il numero di elementi dell'insieme A

Gli insiemi rispettano [sempre] la proprietà riflessiva: A = A

[...]

E inoltre prodotti seguono proprietà: COMMUTATIVA : A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A

[...]

ASSOCIATIVA : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(...) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Particolarità: A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

CONCETTO DI SOMMATORIA DI ELEMENTI (DA k₀ A k_n):

Proprietà nella somma di più elementi: (∀ x_i ∈ ℕ)

Vero

Falso

Regola che denota due sommatorie uguali

Proprietà:

1. kx = 1 → n
2. kx = 1 → n

Regola per sommare i primi "n" numeri

Esempio: n = 100

Esempio: 3⁵ = 3∙3∙3∙3∙3

Proprietà del prodotto di più elementi:

aⁿ = a∙a∙a…

n volte

Proprietà:

1. (a^m)ⁿ = a^m+n

Scrivendo: x = bⁿ quando b > 0

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE:

5/10/12

X₁, X₂, ..., X_n > 0 per ogni positivo: X₁ > 0 ∀ n ∈ N

X₁ > X₂ - - - - > 1

DIMOSTRARE TRAMITE PRINCIPIO DI INDUZIONE

1. per n = 1
2. X₂ ≤ 7 > 1, 7 > 1

1. Ipotesi

Hp: X₁ X₂ - - - X_n > n

1. DIMOSTRARE CHE
2. X₁ + X₂ + - - - + X_n + X_n+1

PROCEDIMENTO:

• Considera il caso in cui il fattore non fosse 2
• IPOTESI _n+1

1. Consideriamo
2. X₁ - - - - - X_n

Questa ipotesi è vera per ₃

Ipotesi: X₁ < 1

DIMOSTRARE CHE

Hp: X₁ + X₂ + - - - + X_n > n per H₀

Ip.

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx + n(n-1)x²/2

x>0

Th.

(1+x)^m+n ≥ 1 + (m+n)x + (m+n)(m+n-1)x²/2

Poniamo V.E.P.A.

1. (1+x)∙1+x = x(x+1) - x(x+1) = VERA
2. x=x

Porta verso il passo di chiusura:

• (1+x)^m+1 = (1+x) ∙ (1+x)^m

≥ (1+nx) + nx(n-1)x/2 ≥ 1 + nx · (1+x)>1

≥ 1 + nx x + n(n-1)x²/2 + x² + nx(n-1)x³

= 1 + (n+1)x + n(n+1)x²/2 + n(n-1)/2

≥

1 + (n+1)x + n(n+1)/2 x² ≥ 0 poiche (x>0)

Riscrivendo, si nota:

• (1+x)^m+1 ≥ 1 + (n+1)x + n(n+1)x²/2

Allora:

(1+x)^m+n = (1+x)^m (1+x)ⁿ

> 1 + (n+1)x + n(n+1)x²/2

C.V.D.

Dimostrazione (non per induzione):

aⁿ - 1 ≤ a-1/m (∀n∈N)

Dove: x = (a-1)/m

(1+ x)^m = (1+ x)ⁿ

Segue:

(1 + a^-1/x) ≥ a

x(1+x)^m/aⁿ ≥ a^-1 + a/m

≥ a^-1/x

√ a - 1 ≤ a^n-1 ≤ a^-1 C.V.D.