Appunti e esercizi svolti, Analisi 1, Loreti

Analisi matematica 1

Corso di laurea in ingegneria elettronica

Anno Accademico: 2012-2013

Primo anno - Primo semestre

Programma

Numeri reali e funzioni reali

Numeri reali e le funzioni reali. Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Coniugio, prodotto, reciproco, potenza, radici. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Esempi ed esercizi. (Rif [D])

Funzioni e rappresentazione cartesiana

Funzioni invertibili. Funzioni monotone, funzioni lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse. Il principio di induzione. Media aritmetica e geometrica (Rif [D]). Esempi ed esercizi.

Massimi, minimi ed estremi

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Fattoriale e coefficiente binomiale. Il binomio di Newton. Esempi ed esercizi.

Limiti di successioni

Definizioni e prime proprietà. Successioni limitate. Operazioni con i limiti. Funzioni monotone. Teoremi di confronto. Alcune proprietà dei limiti di successioni. Alcuni limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero e (Rif. [D]). Irrazionalità e del numero e (Rif [D]).

Serie numeriche

Successioni di Cauchy (senza dimostrazioni). Esempi di serie numeriche. Serie assolutamente convergenti. La serie geometrica. La serie armonica. Criteri di convergenza (senza dimostrazione). Serie alterne. Condizione necessaria.

Limiti di funzioni continue

Definizioni. Legame con le successioni. Limiti di funzione e continuità. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni. Discontinuità. Alcuni teoremi sulle funzioni continue. Funzioni continue e invertibili.

Derivate

Definizione di derivata. Operazioni con le funzioni derivabili. Derivate delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico dello studio della derivata. Retta tangente. Esercizi e esempi. Alcuni teoremi sulle derivate. Studio di funzioni. Massimi e minimi. Ruolo e di Lagrange. Funzioni crescenti. Teorema di L'Hopital (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi.

Serie e integrali

Formula di Taylor del secondo ordine. Serie di Taylor. Serie di ricerca. Integrali definiti. Il metodo di esempi insieme. Esempi ed esercizi. Integrabilità e cenni tecnici del calcolo simbolico: teoremi. Capacità di casi. Problema di Cauchy. Risoluzione di sistemi non lineari. Esempi di convergenza di teorie. Primitive. Integrali impropri. Polinomiali indefiniti. Integrazione per pezzi ad area di figure piane. Esempi ed esercizi di torneo del primo ordine. Forma integrale dei secondi ordini. Integrale alle due operande. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Equazioni omogenee. Equazioni in omogenee. Esercizi ed esempi.

Elementi di topologia in Rⁿ

Disuguaglianze di Young e Holder, e Minkowski (senza dimostrazione). Insiemi compatti. Funzioni a valori reali. Massimi e minimi relativi. Funzioni continue su insiemi compatti: teorema di Weierstrass (senza dimostrazione). Limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità. Derivate successive. In R²: teorema del differenziale. In R²: calcolo di massimi e minimi vincolati in semplici poliedri. Esempi ed esercizi.

Criterio integrale per le serie numeriche

Analisi matematica 1Paola LoretiCorso di Laurea in Ingegneria ElettronicaAA 2012-2013Primo anno - Primo semestrePROGRAMMANumeri reali e le funzioni reali. Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi: Numeri naturali, interi, razionali. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Coniugio, prodotto, reciproco, potenza, radici. Esponenziale complesso. Formula di Eulero. Esempi ed esercizi. (Rif [D]) Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotone. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse. Il principio di induzione. Media aritmetica e geometrica (Rif [D]). Esempi ed esercizi. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Fattoriale e coefficiente binomiale. Il binomio di Newton. Esempi ed esercizi. Limiti di successioni. Definizione e primo teorema di successioni. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Alcune proprietà dei limiti di successioni. Alcuni limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero e (Rif. [D]). Irrazionalità di numerore (Rif [D]). Successioni e serie numeriche. Successioni di Cauchy (senza dimostrazione). Esempi numerici di successione. Successioni al limite e successioni non negative. La serie geometrica. La serie armonica. Criteri di convergenza (senza dimostrazione). Serie alternate. Convergenza assoluta. Limiti di Cauchy per le funzioni continue. Definizioni. Legame con i limiti. Esempi e proprietà dei limiti.